TENSIONS EN FONCTION DES DÉRIVÉES DES DÉPLACEMENTS
g 17. — Expressions des six composantes des tensions en fonction des neuf dérivées du premier ordre des déplacements pour les corps isotropes. — Équations de leur équilibre, et de leur mouvement intérieur, où entrent les dérivées du second ordre des déplacements des points. — Conditions à la surface, exprimées aussi par les dérivées des déplacements.
Les équations du mouvement et de l'équilibre d'un corps élastique peuvent facilement prendre la forme définitive sous laquelle elles se présentent lorsqu'elles sont exprimées en w, v, w, et lorsqu'elles s'appliquent à un corps isotrope. En résolvant les équations (le) du § 4,
page 14, par rapport aux six composantes taa, tbb ou ixr, t et
en ayant égard aux expressions (28), § 15, de Sc, 3- g , on obtient
d'abord les expressions suivantes des tensions :
. E ( du n j __E (cv hr
** l + n|^ + 'l— ii)u T yz 2(1 + 9) V^ + h
,„, x ) f E ( cv n ) . E fow du
t E \fw r, j t = E__/Çw 8v\
« " 14-9)a + l-29,J (; " 2(1 + 9) \[y + dx) f);
on transformera les formules [x") des tensions en d'autres qui ne contiendront plus que les coefficients E et G, faciles à mesurer, et le nombre ß auquel on pourra attribuer une valeur arbitraire, dans les limites qui viennent d'être indiquées.
Ce sont les formules ainsi obtenues qui nous paraissent applicables aux corps solides amorphes, mais non isotropes, tels que les pierres, bois et métaux employés dans la construction des bâtiments ou des machines.
(Fin de la .Vo/e du § 10.)
(") En y mettant pour v sa valeur (34 d, p. 112) et eu égard à nos notations — = Zx
Bu . Et , . . .. ■
= — h or — ?r« » ces formules peuvent s ecrue
clj CX -UJ
trr = - . j"(i +i))3, + n5,.+ n 2.1 ; t = 5 e
T/y == » *--ï = » lzx = » ixy = • • • • î
et si l'on fait -. +; r: — - == / » ^-r-, — ; — - = m, elles reviennent aux for-
112 CHAr. I. — FORMULES FOMtAMENTALES.
dans lesquelles, pour abréger, on a désigné par u l'accroissement de l'unité de volume, comme dans l'équation (29) du § 15, p. 50 :
., ,, 0 II oV dw
<5W> » = Û + TJ, + 7V
Si maintenant on introduit ces valeurs dans les équations (50) du § 14, page 51, on obtient les équations du mouvement, exprimées en u, v, w sous la forme suivante, où m représente, avons-nous dit, la densité, ou la masse de l'unité de volume du corps,
tju E f fUi ê)*u d*u J 0v )
m7F~2(l + i)) \dx^df + 8* + i — 2i)&cj+A'
d*v E [f'-v frv d*v 1 dv\ v
(o4 e) { m ?— = L> , , — - t—, + 7— ; + srk "+■ à ô- — [ + Y ,
cl1 2 (1+9) I ex1 cy- oz1 1 — 29c y )
m d* — 2 (I + 9) j dx> + dtf^ dz^i — ïydz J +Z;
et les conditions limites deviennent, en introduisant les valeurs (54 c) des tensions dans les équations (25) de la fin du § 12, page 46 :
E i^/fu 9 \ (du dv\ (dw ïu\
Tcosüj=^-— — ■ 2 — +, ' y cosjj+ — + — cos(/+ -0 — h— cosr 2(1+9)1 \dx 1 — 2 9 ) \ty dx) \cx dzj
-,.)„ E [(du cv\ a(fv 9 \ (fv fu<\
(,»if) Tcosx.=77-j — + — cosy^+2 - — h : — -r-v )cosr/ + — +— cosr
2(i-ht))\\cy ex) \dy 1 — 21)7 V~ < >J)
E [(dw fu\ (dv . cw\ a(dw 9 \
5P = JTi— — ; c — h— eos;j+U- -f — COS7+2 t — \— — '-— v cos/ r 2(1+1)) \\dx cz \dz c y \dz 1 — 29 )
Tcosp = (
mules de Lamé (/) de la Note de la fin de notre g 16, page 78 :
( {'JU~ ' f:: — ; lZX ''.'?/ —
qui deviennent celles de M. Kirchoff en faisant / = 2&/k. Elles donneraient également celles (/) delà même note, page 7!», contenant, avec E, le coefficient d'élasticité G = /j. de résistance au glissement transversal ou à la torsion, au lieu de contenir t), en y faisant E 2i) E— 2G
Mais tout en continuant de se servir des formules de Clobscli, qui sont celles d'îsolropie à double coefficient, il est bon de se souvenir que, d'après l'expérience et le raisonnement, elles ne doivenl être appliquées aux corps élastiques durs qu'autant que des essais comparés d'extension longitudinale et de torsion autour d'un axe aussi longitudinal donneront
G = :E qui revient à / = /x. et que, lorsque le rapport de G à E est trouvé différent
de = , les formules (*•'') d'hétérotropie ellipsoïdale ou d'amorphic hélérotrope du n* 23 de la
même note, page 107, avec n = l ou environ, méritent plus de confiance.
§ 17. ÉQUATIONS GÉNÉRALES Dli L 'ÉQUILIBRE ET DU MOUVEMENT. 115
J'examinerai d'abord ces équations dans quelques cas particuliers simples. Il faut considérer comme tels ceux dans lesquels la surface des corps est exprimée par une équation simple elle-même, comme celle du cylindre ou de la sphère. Un avantage capital de ces formes régulières consiste en ce qu'on peut imaginer des situations d'équilibre, ou des sortes de mouvements simples aussi, pour lesquels le calcul s'abrège considérablement. Ainsi, pour la sphère, on peut admettre, par exemple, que chaque particule soit déplacée seulement suivant le rayon qui lui correspond et que toutes les particules situées sur des sphères concentriques à la sphère donnée se comportent de la même manière. C'est ce qui arrivera toujours lorsque les forces agissant sur la surface seront normales et distribuées uniformément, tandis qu'aucune force extérieure X, Y, Z n'agira sur l'intérieur. La situation ne sera nullement changée si, à l'intérieur, il existe un espace vide limité par une surface sphérique concentrique, et si sur cette surface intérieure sont également appliquées des forces normales et uniformément distribuées.
Mais il est plus important d'examiner des corps en forme de tige, d'une section quelconque. On cherchera d'abord les conditions d'équilibre de ces corps, et on en déduira des bases rigoureuses pour la résolution approximative des problèmes qui ont, dans la pratique, un rôle si important (*).
Ensuite, j'ajouterai à cette étude des considérations sur les plaques planes d'épaisseur finie, et la recherche de quelques-uns de leurs états d'équilibre, états qui, relatifs aussi à des corps cylindriques, se distinguent essentiellement des premiers en ce que, dans les plaques, ce sont les faces extrêmes ou bases, et dans les tiges, les faces latérales qui sont supposées n'être soumises à aucune force extérieure, ou n'en supporter que de constantes et uniformes comme la pression atmosphérique. Les deux premiers problèmes ainsi traités formeront une transition pour arriver à L'importante théorie des déformations élasliques des corps qui ont une ou deux dimensions très petites; théorie qui fera l'objet de la seconde partie de ce livre (**).
(') Ainsi que nous avons dit à la lin du g 5, ces problèmes importants, et dont les solutions sont presque les seules utiles, -sur les tiges, seront résolus pour le cas plus général et ordinaire où leur matière n'est isotrope que transversalement.
(**) Même observation ou généralisation quant à la contexture.
;. 18. — Équilibre d'une enveloppe sphérique (sphère creuse) soumise à des pressions normales et uniformément réparties.
Si les mouvements ou les déplacements à l'intérieur d'une sphère sont tels que chaque point ne se déplace que sur le rayon qui lui correspond; si, en môme temps, tous les points placés sur une même surface sphérique concentrique sont déplacés de la même manière, et si, enfin, le centre commun demeure en repos, alors, l'origine des coordonnées rectangles x, y, z étant ce centre, le parallélépipède construit sur celles d'un point après son déplacement est semblable à celui qui est construit sur les coordonnées de son emplacement initial, c'est-à-dire que les déplacements ?/, v, w du point sont proportionnels à ses coordonnées primitives x, y, z.
Si donc l'on pose
u=px , v = py , w=pz ,
p représente rallongement de l'unité de longueur : car les coordonnées x, y, z sont devenues respectivement, après le déplacement, x (\ -\-p), y (1 -+- p), z (1+ p). La fraction numérique p doit être la môme pour tous les points de chaque couche sphérique concentrique; p dépend donc seulement de la distance au centre qui est
et, s'il y a mouvement, du temps. Le problème sera entièrement résolu si l'on détermine cette fonction p du rayon vecteur r.
11 faut introduire les expressions précédentes dans celles (54 c) de
t t et dans celles (54 /) de T cos \6 Un remarquera d'abord
qu'à cause de la valeur ci-dessus de r, on a
( r x cr // ( r z
Si, en ayant égard à ces relations, on détermine les valeurs des quotients différentiels de u, v, w, on obtient
( Il .1 •' ( p '( x r < r
c v yz < p
Vx /• t r
i ir yz c p T~y~ r , r
'( iv ;.-' c p i z r c r
S 18. ÉQL'ILIBKE d'üRE SlilÈKL ISOTROPE. 115
(Il ( V ( II'
11 en résulte immédiatement pour la dilatation ■%- ■+• ^-~:
et la substitution dans les équations (34 c) donne le tableau suivant des tensions :
r , ,, (i-Hnio4-rK r- ^
, k i-'-' p ' ' ' ( r E «;ro
„ , e (l-f-ij)p-f-ij,.^./
t = — — ^ t.h+. (,\ , JL -' ; p
«y i+r)\ri>r l-2n ).' **~ i+t)7Jr;
ï3 l+n(r^r l—2i) )' ■» i-f-ij r #r"
Si l'on introduit ces valeurs dans les équations du mouvement, après y avoir effacé X, V, Z, puisqu'aucune force extérieure n'est supposée agir sur l'intérieur de la sphère, ces équations (30) du § 14 ou (34 e) du § 17 se réduisent à la seule équation qui suit, dont la solution déterminera p :
(56) m *± - E<1-'>) ! ti -i- * [? I
(0b) m 9P -(1-2 9) (l+o) W + r dr \
Pour k'S conditions concernant la surface, on les déduit des équations (54/). Si l'on remarque que, d'après la supposition faite, les forces extérieures agissent normalement; que, par conséquent, on a les angles ö=p, *=ç, ? — r, et que les cosinus des angles formés avec les axes par la normale, c'est-à-dire par le rayon de la sphère,
X II
sont égaux à -1 -> -> les équations (54 f) ou (23) se réduisent immédiatement à une seule :
M T = ll+„a-,9>+nif+<'-,),.g;.
Dans cette équation, T doit être considéré comme positif s'il représente une force de traction appliquée à la surface, et comme négatif s'il représente une pression. Lorsqu'il y a, dans l'intérieur de la sphère, un espace vide de forme sphérique, et qu'à l'intérieur de cet espace
H 6 ClI.VP. 1. — FORMULES FONDAMENTALES.
il s'exerce une autre pression, on établira une équation toute semblable pour la surface interne, avec une valeur dil'térente de T.
Examinons de plus près l'état d'équilibre. Pour cet état, le terme de l'équation (56), qui dépend de l'accélération, disparaît, et cette équation se réduit à
c r1 r ( r ou bien, si Ton multiplie par r*, à
L'intégration donne, c et c' étant deux constantes : et
■ mm ^ t'C(lf , C
En premier lieu, si nous considérons une spbère pleine, nous avons évidemment c=0 : car, sans cela, l'extension de l'unité de longueur au centre pour r = 0 serait infiniment grande. Donc
Dans le cas où la sphère est pleine, Vextension ou la contraction de l'unité de longueur, suivant la direction du rayon, est la même partout.
Si l'on désigne par p la pression qui agit snr la surface, par unité superficielle, en faisant, dans l'équation (57), T— — p et en remplaçant p par sa valeur c , l'on obtient
ou
Ke' 1 — 2 x) *■
D'après cela, les trois tensions I , ! , t , dont les valeurs sont données par les équations (r>,r>), deviennent égales entre elles et à — p; le corps entier se trouve dans un état de compression uniforme en buis ses points et dans toutes les directions.
Si, au lieu d'une spbère pleine, nous considérons une spbère creuse
t< d S . — ÉQUILIBRE D'UNE SPHÈRE ISOTROPE, 117
dont le rayon extérieur soit a et le rayon intérieur a', el si nous supposons la surface intérieure soumise à une pression p' ou à une tension — p' par unité superficielle, nous devons, dans la valeur de p, conserver la constante c; et en faisant successivement r=a et r = a'
dans l'équation (57), où nous aurons mis (37 a) c' — =-g pour p. il
viendra
~~E~ i 2n"+"o(t+n) ' fr'
~~Ë~1 — 29~hr)(1-M)) ' a'7-''
d'où nous déduirons
,= (pV5 — pa5) (1— 2q) c ±il^zJÛJl±^l£j!!5 ■
et, par conséquent :
(p'a'5 pfl3){i 29) + (p'-p)(H-9)^f>
Dans ce cas, la sphère n'est plus soumise en chacun de ses points à un allongement ou à un raccourcissement' constant dans la direction du rayon; mais X augmentation de l'unité de volume est la même partout. En effet, cette proportion de l'augmentation de volume, qui est exprimée, comme on a trouvé, par
se réduit à
5(pV5-pa3)(l-2i)) E (a3 — a'3)
Cette grandeur de la dilatation cubique u est positive ou négative,
suivant que p'«'3^pa3; elle devient égale à zéro quand la pression
intérieure et la pression extérieure sont en raison inverse des cubes des rayons des surfaces sur lesquelles elles s'exercent.
Dans le cas que nous considérons, l'ellipsoïde d'élasticité de chaque point doit évidemment être de révolution, et l'axe de révolution de cette surface coïncide avec la direction du rayon vecteur de ce poinl :
1 18 f.HAP. I. — FORMULES FONDAMENTALES.
car, autour de chaque rayon, il y a une symétrie complète pour toutes les directions. On vérifie cette proposition de la façon la plus simple, en faisant passer l'un des axes coordonnés, celui des x, par exemple, par le point considéré, ou en dirigeant cet axe suivant son rayon vecteur. On a alors ij = z= 0 et x = r, et les équations (35) donnent, pour les valeurs des tensions, en y remplaçant p par sa valeur (37 a) ci-dessus :
lxx — E ( j 2n + 3r> (1 -+- n) j ~
Puisque les tensions tangentielles sont nulles, on a immédiatement les valeurs des tensions principales, et l'on voit que deux d'entre elles, celles qui sont perpendiculaires au rayon, sont égales l'une à l'autre.
Si p', la pression intérieure, est très grande par rapport à p, les premiers termes des numérateurs des expressions précédentes l'emportent sur les seconds. Or, comme pour tous les points du corps on a
/ 2as\ r <C a, le facteur ! 1 y 1 sera toujours négatif, et la tension t rj. qui
s'exerce dans la direction du rayon sera aussi négative; ce sera donc une pression. Mais les deux autres tensions principales t , t„ seront positives.
Si nous continuons «à ne tenir compte que de ce qui vient des premiers termes des numérateurs de ces expressions des tensions, comme ces premiers termes prennent leurs plus grandes valeurs absolues pour ?'— a, nous avons
♦ pV' 2pW5
lj,„ — l--
xx à? — a!* ' .'/// 2« àr—a'7'
Les deux dernières tensions sont donc doubles de la force de pression. Dans le cas d'une pression intérieure très grande, la sphère tend à se rompre par déchirure de la surface extérieure.
