VIBRATIONS D'UNE SPHÈRE

g 19. — Vibrations d'une sphère.

Lorsque l'on se propose de déterminer les oscillations d'un corps, on peut, d'après le principe de la un du g 14, faire abstraction des forces extérieures, et par suite, égaler à zéro la pression qui agit sur la surface, si toutefois cette pression n'est pas variable avec le temps. Comme on l'a montré à ce § 14, les vibrations autour de la situation d'équilibre considérée au g précédent pour la sphère, sont, dans ce cas, rigoureusement identiques à celles que les molécules du corps exécutent autour de leurs positions naturelles lorsqu'aucune force extérieure n'agit sur lui. On doit donc satisfaire à l'équation de mouvement (36) du g 18 qui a été tirée des équations plus générales (30) du § 14 et (34 e) du g 17,

(56 reproduite) wiër4 —

et en môme temps à l'équation exprimant la condition limite pour la surface extérieure ainsi que pour la surface intérieure; cette équation résulte de celle (57), page 115, T= du même g 18, où p représente pour chaque instant la proportion de la dilatation d'un rayon vecteur quelconque r, et dans laquelle on fait T = 0. ce qui donne

Dans tout ce qui va suivre, nous "supposerons la sphère pleine. L'équation (58), que nous venons d'écrire, n'existe alors que pour la surface extérieure.

A ces conditions, on doit ajouter celle que les déplacements du centre doivent nécessairement être égaux à zéro. On a ainsi des équations suffisantes pour déterminer p, et cette détermination se fait de la manière suivante.

Imaginons la fonction p exprimée sous la forme

\ p = ]\l sin (kj;) + R, sin (kj) + R, sin (k-t) +

/ + S, cos (kj) + S2'cos (kj) + S3 cos [k-t) + ,

où les coefficients R et S sont seulement fonctions du rayon vecteur r et où les k sont des constantes à déterminer ultérieurement. 11 est facile de se rendre compte, d'une manière claire, de la signification de cette

façon de représenter la fonction p. Un point qui primitivement est à une distance r du centre, s'en trouve, au bout du temps t, à la distance r (1 + p) ; il s'est donc éloigné de sa position d'équilibre de la longueur rp. Si maintenant, chacun des coefficients P», S qui entrent dans l'expression de p, reçoit, en même temps que r, une valeur constante pour un point déterminé, la longueur rp dont le point s'est éloigné de sa position d'équilibre se trouve exprimée par une somme de binômes de la forme

r Rn sin (&/) + /-Sw cos (/,-,/),

où rR et rS sont des coefficients constants. On peut alors se représenter le mouvement tout entier comme la somme de mouvements partiels coexistants, pour chacun desquels l'éloignement par rapport à la position d'équilibre est représenté par l'expression binôme cidessus. Examinons de plus près cette expression. D'abord, on voit qu'elle ne change pas de valeur si on y remplace /

par % j — f car l'argument du sinus et du cosinus qui y entrent n'étant

augmenté que de 2w, ce sinus et ce cosinus restent identiquement les

mêmes. L'expression considérée représente donc des déplacements

qui se reproduisent indéfiniment les mêmes après chaque laps de

2t; temps r-; ou, en d'autres termes, elle représente des vibrations dont

la durée périodique est jr et qui se répètent indéfiniment avec la même

amplitude.

Si l'on détermine un nombre M et un angle a tels que

rRn = Mcosa, ?-S?J = Msin«,

l'expression binôme ci-dessus peut se mettre sous la forme

M sin (knt -ho).

Sa valeur, comme on voit, ne peut varier que de 4- M à — M, puisque le sinus ne peut varier que de + 1 à — I . La quantité M qui, d'après les équations écrites tout à l'heure, est égale à

M = \/rî(R;i-hS^,

donne par conséquent l'amplitude des oscillations de part el d'autre

$ 19. — VIBRATIONS u'iPiE SPHÈRE, 121

de la position d'équilibre, amplitude qu'elles ne peuvent dépasser. Cette quantité dépend de r; elle est. par suite, différente pour les différents points du corps, ce qui n'a pas lieu pour hn qui donne par

-r- la durée de l'oscillation. En résumé, l'expression (59), qui est une

somme de termes ou de binômes semblables aux précédents, a la signification suivante : Elle représente les oscillations exécutées dans la direction du rayon par chacun des points du corps comme une somme d'oscillations simples qui toutes ont la même durée de période

r- ) , mais qui ont des amplitudes différentes.

Imaginons l'air ambiant déplacé par les oscillations de la sphère; alors, à chaque vibration partielle du corps correspond une vibration partielle des particules d'air, et la vibration du corps se traduit dans l'air par un son dont l'élévation est donnée par le nombre de ces vibrations produites dans une seconde. Ce nombre est — -. La série (59)

peut donc encore être considérée comme représentant une série de sons produits en même temps par le corps vibrant, et dont l'élévation est respectivement exprimée par les nombres de vibrations

Si maintenant on introduit l'expression (59), p = dans l'équa-

tion (56), mc~ = et dans l'équation à la surface (58), on pourra

et'

exprimer l'égalité des coefficients des sinus et des cosinus dans les deux membres de chacune de ces équations; car, puisque ces équations doivent être satisfaites quel que soit le temps t, elles doivent être indépendantes de /, et, par conséquent, les sinus et les cosinus doivent en disparaître. On obtient ainsi, par l'équation (56), la condition suivante pour chaque fonction R :

E(i-9) pR„ 4#R\

(40) — ml,' Rn=T. l» . > \ -ôTT H r— ) •

" n (1 — 2i)) (1-f-n) V/-- r cr )

On obtient h la limite, par l'équation (58), la condition suivante :

et, pour chaque fonclion S, on obtient des équations semblables aux équations (40) et (41) en R.

On peut facilement intégrer l'équation (40) et en tirer la valeur de R en r de la manière suivante.

Posons, pour abréger :

celte équation (40) devient

t-\\n Arnn &*rm

( r- r 0 r or

Un calcul très simple montre que l'on satisfait toujours à une équation différentielle

... < ' m l\ C tû 1,(0

( r- r ( r or

fkr en substituant à © la série suivante que je désigne par oh l —

'7*\otj~" 2(/iH-l.) + 2.4(ÄHM)(A + 5)~2A6(AH-l)(/j + 5)(/i + 5)+'

Comme l'équation (44) coïncide avec l'équation (45) si // = 4, on voit que la valeur

est une intégrale de celte équation (45). Or l'équation (45) prend encore la forme (44) si l'on y fait, R'M étant pris pour une nouvelle variable :

car il résulte de celte substitution, après réduction et multiplication par î^3, l'équation en R'M :

£«R' 2 rli' Jfc8R'

qui coïncide avec l'équation (44) en faisant // = — 2. Cette dernière