PROBLÈME GÉNÉRAL DE CET ÉQUILIBRE

sur ses autres laces. On a donc, en vertu des formules p = E? et y= — 9? de ce §,

* ' ÜZ

et 9 : 1 étant, comme au môme §2, le rapport des contractions latérales aux extensions longitudinales,

,„. du ov dw

Pour exprimer, maintenant, que l'élément de surface de la section reste rectangulaire, ce qui revient à faire g = 0 ou t = 0, on devra poser (g 13, p. 49)

c y dx

Par conséquent, les équations (50), g 14, p. 51, dont les premiers

. O^U 0*V ClV . . ,r ,r r, , .

membres m-7rr,> m rzr» m -f-,» ainsi que X, i, Z, doivent être annule2 dl1 cr

lés, deviennent :

— — — o dz '

dx^dy^dz Si, dans la troisième de ces équations, on mel pour t sa valeur (58),

E -çr- , et si dans toutes trois on met pour les deux autres tensions

leurs valeurs (54 c) du commencement du § 17, p. 111, où nous

p écrirons pour plus de généralité, au lieu de ^j-. . , le coefficient

d'élasticité de glissement G du § 5 [expressions (1) et (1 a), p. 12], en laissant indéterminé son rapport à E et à 9, ce qui donne

et ce qui embrasse, avons-nous dit (Avertissement), le cas d'un rapport quelconque des élasticités; enfin si, après la substitution dans la troisième des équations qu'on vient d'écrire, on la réduit en ayant

égard à (51)), l'on a

cht cJHv

0*V c2w (61 3CT+55=s;=0^

cJz- c yl /E 9 Xcihu Bhu t -iv

Des trois équations de conditions limites (57 a), il ne reste, avonsnous dit, qu'une seule, savoir : ;

(62) 0 = tr. , cosp-f-t sinjj;

ou bien, eu égard aux valeurs de t , t que nous venons d'écrire,

, (du dw\ (cr Bw\ .

(62a) 0= (^ + ^J cosp+ [Fz + 1Tj) smy>,

qui doit être satisfaite à la surface extérieure du cylindre.

L'ensemble des équations (58) à (62) va être étudié d'une manière approfondie dans les g§ suivants. (*)

Navier, qui a fondé, en 1821, la théorie mathématique de l'élasticité des solides, s'était contenté d'établir les équations différentielles de leur équilibre intérieur, et, en même temps, celles des conditions à remplir à leur surface, qui donnent implicitement les six formules de composantes rectangulaires de tensions pour les corps isotropes.

Cauehy et Poisson, en 1828, et, vers le même temps, Lamé avec la collaboration de Glapeyron, après avoir traité le même sujet par des considérations un peu différentes, s'occupèrent aussitôt d'en appliquer les formules aux problèmes de déformation des tiges prismatiques ou cylindriques.

Ils résolurent facilement celui de leur extension longitudinale, accompagnée de contractions transversales, sous l'action de forces de traction supposées uniformément réparties dans toute l'étendue de leurs bases, et un autre problème, le plus facile après celui-là, savoir, le problème de la torsion uniforme d'une tige à section circulaire, supposée n'être sollicitée qu'aux divers points de ses bases par des forces tangentielles, ou agissant dans leurs plans, perpendiculairement aux rayons vecteurs des points, et d'intensités proportionnelles à ces rayons; car ce sont là des conditions d'application et de distribution des forces, nécessaires pour que l'extension et la torsion soient ce qu'on les suppose, ou pour que les deux solutions qu'elles présentent soient exactes.

Pour la flexion, Lamé, qui ne se contentait que de solutions rigoureuses, a en a jamais donné aucune, pas même dans son livre de 1852; il y m'en-