ÉQUILIBRE DES CORPS CYLINDRIQUES OF PRISMATIQUES
c'est-à-dire si l'on fait dy = (), il devra, après son déplacement, rester sur l'axe desx, et, par conséquent, son déplacement dans la direction des y doit être nul. On doit donc avoir aussi
Eh résumé, pour le point fixe choisi, les conditions suivantes doivent être remplies :
pour .r=0, .'/=0, z=0,
on doit avoir u=0, v =0, w=0,
( X < X ( fi
Nous supposerons qu' 'aucune force extérieure n agisse sur la surface latérale du prisme ou cylindre, i\i sur les points de son intérieur, en sorte que nous abstrayons ici la pesanteur, dont l'influence est, au reste, le plus souvent négligeable. Les forces extérieures qui doivent déterminer l'étal de ce corps, ne s'exerceront donc que sur les divers éléments superficiels des bases : nous considérerons comme inconnu leur mode d'action et de distribution, sur ces éléments, et nous chercherons quel il doit être sur la base libre, pour que les conditions qui seront supposées puissent être remplies; mais il nous faut, pour en faire le calcul,, un nouvel élément de détermination.
Imaginons, à, cet effçt, le corps entier comme formé de fibres perpendiculaires aux sections et dont la direction primitive est parallèle aux génératrices du cylindre. Les faces des fibres limites qui font partie de la surface extérieure latérale, ne sont soumises, d'après nos suppositions, à aucune traction ni pression. Pour exprimer cette condition, nous devons, dans les trois équations générales (25),
p. 40, t cos p -h s= T cos xrj, relatives aux surfaces exté-
rieures des corps, faire T, la traction extérieure, égale à zéro, et cos r nul aussi, puisque la normale à la surface extérieure, dont p,, q, r, représentent les angles avec les x, y, z est, ici, perpendiculaire à l'axe des z, en sorte que r est un angle droit. On a, par suite :
cosç = sinyj.
Les conditions limites (25) pour la surface latérale sont donc les
suivantes :
( KzCOSP + t.r,lsinP = 0>
(57 a) J tyxcosp-i-tyy8mp=0,
Remarquons que les deux premières de ces équations (57 à) sont toujours satisfaites d'elles-mêmes pour certains états du cylindre ou prisme dans lesquels les fibres seraient supposées n'exercer les unes sur les autres ni pression ni traction latérale, soit dans les sens des x, y, soit aussi dans les sens qui leur sont intermédiaires, en sorte qu'on aurait
(57 6) t,,r = 0> V</ = 0' t!7/ = 0 partout.
Il est naturel de se demander à quelles conditions ces égalités (57 b) auraient lieu ; on peut donc se poser le problème suivant :
Quels sont, pour un corps cylindrique ou prismatique qui n'est soumis à Faction d'aucune force extérieure agissant soit sur sa surface latérale, soit sur les molécules de son intérieur, les états d'équilibre dans lesquels les différentes fibres longitudinales ne supportent aucune pression latérale ou perpendiculaire à leur longueur? Quelles sont les forces qui doivent agir sur la surface extrême ou base libre pour produire des états semblables ?
Tel est le problème de Saint-Venant (*). Ce problème, comme on le verra, peut se résoudre de diverses manières et comporte plusieurs solutions différentes présentant cette particularité commune, que les sections infinitésimales primitivement rectangles des différentes fibres du corps demeurent des rectangles, et que les contractions latérales de ces fibres, dans deux sens, sont rigoureusement celles qui, dans les prismes isolés, correspondent à leurs extensions longitudinales.
D'après ce qui précède, s- et 7r-y ■?- étaient les extensions de l'u-
r 1 r vz ùx (y
nité de longueur suivant les directions respectives z de la longueur du prisme, ou de ses fibres, et x, y, de ses dimensions transversales ou latérales. Comme maintenant il n'v a plus, vu t = 0, t = 0, de pression latérale, ebaque portion de fibre est dans le cas du petit parallélépipède du g 2, tiré sur ses bases par des forces t et libre
(*) Nous dirons, dans une Note à la fin du présent § 22, comment nous avons été conduit à nous poser les divers cas de ce problème, dont l'exacte solution analytique est possible et peut s'appliquer, avec une approximation très suffisante, aux problèmes usuels des tiges, rebelles aux solutions rigoureuses, qui d'ailleurs, si elles étaient trouvées, seraient d'une application impossible, comme on verra. (Note de la lin du $ 28.)
