SOLUTION DO PROBLÈME GÉNÉRAL. 1 M

En réunissant tous les résultais précédents, on voit que les quotients différentiels suivants de -r- doivent tous s'évanouir :

Les trois premières de ees conditions montrent que — ne peut

contenir #, y ni 2, à une puissance supérieure à la première; la dernière montre que cette expression ne peut contenir le produit xy. La

fonction — se présente donc sous la forme suivante où les coefficients a, 6, sont des constantes arbitraires :

(65 ft) «^ = {a -t- avr H- <t2)j) + z (b -h &, .'• -4- b.2tj) i

Les deux équations (65 [1]) permettent d'en déduire immédiatement

les valeurs de 7- et de —, savoir :

ex < y

(63 h) — = — n | [| a -h or*- H- a$ ) + :•(/>-+- fej .«■ + %)] ;

(63 c) ^-=— ij [(a + atï + fl,y) +2(è + M + M] •

Si, pour avoir w, u, v, l'on intègre les deux membres de ces trois équations par rapport a z, x, y, respectivement, il faudra, à ce que fournira immédiatement l'intégration des divers termes de leurs seconds membres, ajouter, pour la première, une fonction arbitraire de x, y; pour la seconde, une de y, z, et, pour la troisième, une fonction de ;, x.

Pour déterminer ces trois fonctions arbitraires de manière que les expressions de w, u, v, ainsi obtenues, satisfassent à toutes les équations(65), p. 145, remarquons d'abord qu'aulieu de la troisième etdela quatrième de ces équations (63) nous pouvons maintenant écrire, en

mettantdans leurs seconds termes aulieude -r- sa valeur (63 a) :

1 Pu

-T-1 = —<ly — l\<y .-1 *

[bo d)

D'où il résulte, si l'on intègre deux fois chacune de ces deux équations, que u et v ne peuvent contenir z tout au plus qua la troisième puissance, car dans chacune des équations ainsi intégrées la seconde et la troisième puissance de z sont multipliées par des constantes.

Remarquons aussi que, par le même raisonnement, on peut déduire

i • i . du , ov

des expressions ci-dessus de — et — que u ne peut contenir x et v

ne peut contenir y tout au plus qu'à la seconde puissance, et enfin que, d'après la seconde des équations (65), u ne peut contenir y et v ne peut contenir x tout au plus qu'à la seconde puissance.

Il en résulte que la fonction à ajouter à u et qui doit être indépendante de x ne peut s'élever que jusqu'aux puissances y- et z3 de y et de z; que, de même, la fonction à ajoutera v a pour puissances les plus élevées de x et z la seconde et la troisième, savoir x% et z'. Nous aurons donc, pour u, v, les expressions suivantes où les a', b', a", b", sont de nouvelles constantes à déterminer ultérieurement, comme les a, b, at, bv a,, &2 :

u = — n lax 4- fl, |- + a^xy) — t)z ( bx -h b, ~ + baxy\

v = — {) (ay-ha,rij-haj^\ —i)z (by-+- bvry-^-bJL\

Les équations (65 [1], [5], [4]), sont ainsi satisfaites.

Quant à l'équation (65 [2]), elle donne, lorsqu'on y introduit ces va leurs de u et de v :

En posant donc, pour simplifier :