EXPRESSIONS DES DÉPLACEMENTS

on aura pour u et v les expressions

u== — n f "'' -+- at q H- flj '7/ ) — o:-( ta — ^ — ô-^^ "^ ^ nJ

v = —r) \ay-\-aixy-+-aJL— — J ^ (by-hbl.ry-^bî!f ~J

Ces formules satisfont aux quatre premières équations (63), p. 145; elles sont en même temps les plus générales qui puissent y satisfaire à la fois. On voit que par leur moyen les déplacements transversaux u et v sont complètement déterminés, sauf la détermination à taire de certaines constantes arbitraires qui y entrent.

Il n'en est pas de même du déplacement longitudinal w. Cette inconnue, outre l'équation (65 a)

-Sj- = (a-\- avr -n- aji) + a (b ■+- bvv -+- b,y), doit satisfaire à la dernière des équations (63)

/E \ f-ir f-ir (-ir

Si nous intégrons celle-là, nous trouvons, F désignant une fonction quelconque de x et de y :

(64 a) w = z(a-h avr -+- a2y) -+- % (6+ &ta: -f- &#) + F (.r,y) ;

et en introduisant cette valeur de w dans celte dernière des équations i65) que nous venons d'écrire, il vient :

mh) S + Fp+(5~2,))(6 + V + ^/):=0'

C'est la seule équation que l'on ait pour déterminer la fonction F. Si, au lieu de F, on prend pour inconnue une nouvelle fonction f> de a? et de y déterminée par la relation suivante :

mc)¥ = ii—(——nVb 'L+JL 4 btxif + \y& \ -f- c — b'.v — b"y,

l'équation précédente se simplifie et devient

< Q. ( il

y.r" ~^ flf

Cette équation différentielle indéfinie ne déterminera complètement la fonction Q qu'autant qu'on y joindra la condition-limite relative aux points de la surface du corps.

Si, auparavant, nous introduisons les valeurs trouvées (64) et (64«)

pour u, v, w; dans les formules (58), { = E — , et (60 b),

il ( z

t . — G( ~ + irJi t =& (t f" -ôt )« nous aurons le tableau

suivant qui renferme, sauf la détermination des constantes et de la fonction Q, toute la solution :

1° Déplacements u =— X) (ax 4- ax X ~y 4- a%xy \ — t)z ( bx 4- 6, ~^ -f M^

4- (a' -f- a0y) -hz(b'-h %) — «, ^ — &, ^ ; v = — t)[ay + a2 ^ ' H- a^ j — ne- ( by 4- &s 2 '

^gg\ / w = z (a 4- «,.»• 4- a8î/) -h ô- (& 4- &j -c 4- hy)

2° Tensions t =0, t =0, t = 0; tsz = E [(a 4- «i« -h ",//) 4- s (fc 4- btx 4- 6^)] ;

, / E 3 \ , , /E \ , , a?" E rfû'l

far - ( 2g - g 9 j &tr- ( g - *)) Kw - 'A j-^ ** + Zt.J ;

/ E 5 \, , /E \ , , //- È , du

A l'aide des valeurs ainsi données de t et de t , et de l'équa-