RÉSISTANCE. COMPARAIS..^ AVEC LA THÉORIE ORDINAIRE

; 38. — Comparaison de cette théorie analytique des déformations et des résistances des pièces solides avec la théorie ordinaire. — Bases d'applications ultérieures.

Les idées sur lesquelles on base la théorie ordinaire, telle qu'elle est appliquée dans la pratique, sont essentiellement différentes de celles qui nous ont dirigé dans les recherches ci-dessus. Si doue les résultats sont, pour une grande partie, en remarquable concordance, on doit en conclure que ces deux théories ne s'écartent pas essentielleinenl du possible, et qu'elles ramènent, d'une manière approximative et heureuse, tout problème à un autre plus simple qui peut, à la vérité, en différer légèrement, mais sans que la substitution de l'un à l'autre implique contradiction.

Cela s'applique spécialement au problème de la flexion. Dans la théorie ordinaire, on part de cette hypothèse fondamentale qu'il est permis de considérer toutes les sections transversales originairement planes comme restant planes après la déformation, et, de plus, de regarder ces sections planes comme restant normales aux fibres courbées. On a vu, par ce qui précède, que ces deux hypothèses sont loin de se vérifier dans la réalité. En outre, si l'on examine la chose de plus près, on voit immédiatement que ces mômes hypothèses entraîneraient nécessairement la disparition des tensions latérales t , t , ce qui est

1 xz yz l

tout à fait incompatible avec l'existence d'une force agissant à l'extrémité de la lige, parallèlement à la dernière section transversale. Mais, de plus, la théorie ordinaire porte d'avance en elle-même l'empreinte de l'imperfection, car lorsque l'on veut exprimer l'équilibre d'une portion de tige comprise entre une section transversale quelconque et la section transversale d'extrémité libre, on obtient, par cette théorie, une équation qui en constitue la base essentielle et qui exprime que la partie considérée du corps ne puisse pas tourner autour du centre de gravité de cette section transversale quelconque. Mais on sait que, même en supposant qu'il y ait symétrie par rapport au plan de flexion, il faut toujours trois équations pour définir l'équilibre d'un corps ou d'une portion de corps sous l'action de forces extérieures; on négligeait donc, jusqu'à présent, deux de ces équations.

Tour remédier, dans une certaine mesure, à cette imperfection, on abandonna l'hypothèse primitive, savoir : que dans une flexion produite pai une force agissant dans la section transversale libre et parallèle-

ment à cette section, la ligne des centres de gravité des diverses sections n'éprouve ni extension ni compression. On admit qu'il ne se produisait aucune tension longitudinale entre la ligne des centres de gravité et une ligne dite neutre réunissant les uns aux autres tous les points où il ne se produisait aucune tension, car les tensions autres que celles qui s'exercent longitudinalement sont laissées de côté par cette théorie. Par l'introduction de cette ligne, on arrivait à établir une seconde condition d'équilibre (*); et il en manquait encore une. Mais la théorie cidessus, qui est rigoureuse, démontre l'impossibilité d'admettre que la ligne neutre, ou de tension longitudinale nulle, soit différente de la ligne des centres de gravité des sections. On a vu, lorsque la force appliquée transversalement à la tige est parallèle à un des deux axes principaux de la section transversale, que les points d'égale tension longitudinale se trouvent sur des cylindres hyperboliques ayant pour asymptotes des plans qui renferment les points où aucune tension longitudinale ne s'exerce. Ces plans sont la surface d'extrémité libre, et le plan qui est mené par la ligne des centres de gravité et le second axe principal. Ainsi, la ligne neutre, ou mieux, la surface neutre coïncide avec le plan mené par la ligne des centres de gravité, perpendiculairement au plan de flexion. (**)

(■) Clebsch fait sans doute allusion à quelques tentatives faites en Allemagne et inconnues en France, tentatives dont il va aussitôt signaler l'irrationalité en même temps temps que l'inutilité.

(**) Les hyperboles, coupes des cylindres dont l'auteur parle ici, sont celles de la page lui et non celles de la page 161 ci-dessus.

Leur considération me parait inutile à invoquer pour prouver que la surface neutre coïncide avec le plan zy, mené par la ligne z des centres de gravité des sections et par la perpendiculaire y au plan xz de flexion, car déjà l'auteur a prouvé, p. 163, que les fibres situées, avant la flexion, dans ce plan yz ne subissent ni extension ni compression.

C'est ce qui résulte également de la théorie dite ordinaire, ou fondée sur la supposition que les sections restent planes (ce qui, comme l'observe l'auteur, peut être approximativement admis lorsqu'il n'est question que de flexion sans torsion, et que les prismes ont une longueur très grande par rapport à leurs dimensions transversales). En effet, les portions égales de fibres contenues entre deux sections voisines primitivement parallèles ont pris, lorsque les plans de ces sections sont devenus légèrement obliques l'un à l'autre, des allongements et des accourcissements toujours proportionnels à leurs distances de celles qui n'en ont éprouvé aucun ; et comme, suivant une remarque que Parent a faite avant Coulomb et Kavier, l'équilibre de translation longitudinale exige qu'on ait zéro pour la somme algébrique des tensions et pressions qui leur sont proportionnelles, il faut bien qu'on ait zéro aussi pour la somme algébrique des produits des éléments superficiels de la section par leurs distances à la ligne coupée par les fibres qui ne sont ni comprimées ni étendues, ce qui ex'vjc bien que celte ligne passe par le centre de gravité de la section.

Sans recourir à la supposition bizarre à laquelle nous avons remarqué tout à l'heure que Clebsch fait allusion en la désapprouvant, on peut très bien compléter l'ancienne théorie en ce qui regarde le nombre des équations d'équilibre qui doit être de six au lieu de deux seulement. C'est ce que j'ai fait (avant mes recherches plus particulières de 1853-1855 que l'auteur cite) dans un Mémoire dont deux extraits (contenant tout sauf la suite des calculs) ont été insérés aux Complet rend us des 50 octobre et 15 novembre 1843 (t. XVII, p. 949 et