N. DU § 57. — CONDITIONS DE RÉSISTANCE DANS DES CAS COMPLEXES

grande de ses valeurs; ce à quoi ou pourra employer une méthode de fausse position applicable à la recherche des maxi m a et minima, qu'on trouve exposée au g 54 de la note du n° 15b' de l'édition de 1864 de Navier. p. 318. L'équation de cohésion, propre à fournir, par résolution algébrique ou numérique, ou les dimensions à attribuer aux sections, ou les limites à imposer aux forces appliquées aux extrémités, sera l'équation (a") en y mettant pour ED., ainsi que pour Gxgx, G, g,,, leurs valeurs relatives au point ainsi trouvé.

c.) Pièce courte sollicitée en même temps à la flexion et au cisaillement. — Dans toute pièce fléchie inégalement (nu 15), les glissements transversaux courbent en doucine les sections primitivement planes et normales aux fibres; en effet ces sections doivent prendre, sur la fibre centrale, une certaine inclinaison qui s'annule quand on passe aux fibres du bord, car on démontre que les surfaces courbes affectées par les sections doivent rester normales aux faces latérales de la pièce. De cette manière, le plus grand glissement a lieu au point de chaque section où précisément la dilatation due à la flexion est nulle, savoir au centre de cette section; et, par contre, le glissement est nul précisément aux endroits du contour où la flexion dilate le plus les fibres. De cette considération et d'un calcul détaillé qui a été fait sur plusieurs exemples, il résulte qu'il convient d'estimer séparément les dimensions qu'il faudrait donner aux sections si elles avaient à résister à la flexion seule, puis au glissement seul, pris à son maximum qui est au centre des sections; et à prendre finalement le plus fort des deux résultais de ces estimations. C'est ce qu'on fera, par exemple, pour calculer les dimensions, vers leurs extrémités, des pièces qui, sur le reste de leur longueur, ont la forme d'égale résistance à la flexion.

17. Mais certaines sections sont astreintes à rester planes. Telles sont

celles d'encastrement solide, et celles qui, se trouvant au milieu de pièces

fléchies, n'ont pas plus de raison de s'incliner et de se courber d'un côté

que de l'autre. Pour ces sections toutes particulières, quand il y en a, ou

peut regarder le glissement g comme à peu près le même en tous leurs

points, et Gg comme égal au quotient, par l'aire a de la section, de V effort

tranchant, soit P, qui produit ce glissement de la section. Mettant dans

p les équations (y') et (a') cette valeur — de G(.g. et annulant G g, on

aura ce qu'il faudra pour calculer les valeurs de 5 et pour l'équation de

ij

cohésion.

Soit, par exemple, une pièce horizontale, encastrée par un bout, sollicitée à l'autre par un poids; appelons :

a, la longueur de la pièce supposée cylindrique ou prismatique,

P, le poids qui la sollicite ainsi à fléchir et qui fait aussi effort tranchant sur toutes ses sections,

s-, sa section, 1 son moment d'inertie autour de la ligne horizontale tra-

versée par les fibres invariables, et qui est supposée un des axes principaux,

v', la demi-hauteur de cette section si elle est symétriquement partagée par cette horizontale, ou, plus généralement, la distance entre le plan ho« rizontal des fibres invariables et la fibre la plus tendue,

d, la dilatation de cette fibre,

g, le glissement qui a lieu sur sa base, ou l'inclinaison que prend l'arête ou la fibre sur cette base,

i), le rapport entre la contraction Iransversale de la même fibre, dans le sens v', à cette même dilatation,

M = Va, le moment de flexion sur la même section d'encastrement,

DOT, la plus grande dilatation, qui aura lieu dans un sens oblique, en vertu de la dilatation longitudinale Z> et du glissement g,

E, le coefficient d'élasticité d'extension,

G, celui d'élasticité de glissement,

p, le rayon de courbure de l'axe de la pièce, à l'encastrement.

Il résulte des nombreuses expériences de MM. Werlheim et Chevandier, sur des bois de toute essence (Mémoire sur les propriétés mécaniques des bois, du o octobre 1846, imprimé en 1847 aux Ann. de ch. et ph; tableau n° XVI, colonnes 8, 9, 10, H pour l'élasticité, et 12, 15, 14 pour la cohésion) que le coefficient d'élasticité, E^ dans le sens longitudinal ou des fibres est, suivant les essences et les échantillons, 5 fois, 20 fois plus grand que le coefficient d'élasticité Ej; ou E dans les sens transversaux, et que les cohésions instantanées, c'est-à-dire les charges R, capables de faire rompre, suivent des rapports analogues; d'où résulterait, si l'on admet que les cohésions permanentes R0 ont entre elles les mêmes rapports que celles-ci,

que les limites -p- = o, (nü 7) à imposer aux dilatations, peuvent être regardées comme à peu près les mêmes dans les divers sens, ou, du moins, que l'on ne commettra pas d'erreurs très sensibles en les supposant égales dans les calculs pratiques.

Faisons donc, dans l'équation (r'), §—§x = §u = $z, y = y — 2 \>iïzo,r

= 2 \/§z §y = 2§; supposons, de plus, l'isotropie transversale, ou dx = J)(/ = — n?j = — t)d; cette équation deviendra pareille à la troisième (£)dun° 7,

sans qu'il faille pour cela donner à 9 et à ^ les valeurs j et » du cas d'iso-

tropie complète, que le n° suivant 8 leur attribue. En effet nous ne supposons nullement ici, à beaucoup près, que la contexture de la matière soit la même dans le sens longitudinal et dans le sens transversal. Cette équation sera donc

te'