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lixa t^ = — A — bz .

Les seconds membres ne représentent rien aulre chose que les moments de rolation des forces données par rapport aux axes principaux de la section transversale qui se trouve à la dislance z de l'extrémité fixée. Pour le mettre en évidence, imaginons que nous appliquions, à l'origine des coordonnées, des forces égales à toutes les composantes X et Y des forces données, et en même temps des forces égales

1020). J'y supposais que les sections s'inclinent un peu sur l'axe de la pièce, au lieu de lui rester exactement normales , et qu'elles se gauchissent en paraboloïde hyperbolique, comme dans le prisme rectangle tordu d'après la solution de Cauchy, ce que j'ai reconnu, depuis, n'êire tout à fait exact que pour le cylindre elliptique. Cela permettait, outre l'équation d'équilibre de forces longitudinales, d'en poser deux de forces transversales ou efforts tranchants, et de poser aussi, pour la première fois, trois équations de moments dont deux de flexion autour des axes principaux des sections, ce qu'a fait aussi Clebsch, comme on voit dans ce livre de 1852, et ce qu'ont fait également, depuis, M. Kirchboff (1859), MM. Thomson et Tait (Natural philosophy, 1867), et M. Resal (Traité de mécanique générale, 1874). Ce même mémoire de 1843 embrassait, comme on peut voir, les pièces à double courbure, et prenait en considération un élément que Poisson a omi3 (Traité de mécanique, 2e édition 1833, n°' 517 et 518), ce qui m'a permis d'aborder la solution de plusieurs problèmes, tels que \z flexion qu'on fait subir à un anneau en courbant son plan, etc. On peut voir deux notes que j'ai insérées sur le même sujet aux Comptes rendus, 1er et 15 juillet 1844, t. XIX, p. 40 et 181, ainsi qu'une Note de Binetetunc deWantzell des 17 et 24 juin 184i, XVIII, 1116 et 1197; et aussi les n08 xx et xxj de Y Historique mis en tête de l'édition de Kavier citée de 1864; et encore, une note du 22 juin 1863 sur les flexions et torsions que peuvent éprouver les tiges courbes, sans qu'il y ait aucun changement dans la première ni dans la seconde courbure de leur axe ou libre moyenne (Comptes rendus, 22 juin 1863, t. LVI, p. 1150).

Une chose restait à faire, à savoir de modifier les équations (18), (19), (20) du 6 octobre 1845 (dont l'une a été reproduite Sous une autre forme à la fin du n° 4 de la note du 1er juillet 1844, p. 45), de manière à les rendre applicables à la détermination des petits déplacements des points de l'axe d'une tige à double courbure ayant d'autres sections transversales quelconques que des ellipses, et où la petite influence des glissements transversaux dus aux el forts tranchants fût évaluée avec plus d'exactitude ou d'approximation que nous ne le faisions dans ces deux années-là, qui ont précédé celles de nos principales recherches.

C'est ce qui a été fait le 27 janvier 1879 (Compte rendu, p. 144-147) au n° 5 d'une Note sur une formule du moment de torsion, où nous citons, en le modifiant, ce qu'ont présenté en 1859 et en 1878 M. Bresse et M. Resal sur le même sujet.

et de direction opposée. Les composantes X ont pour somme A, les composantes Y ont pour somme B, et ces forces, appliquées à l'origine, ont pour moments par rapport aux axes menés parallèlement à x et à y par le centre de gravité de la section transversale dont l'abscisse est 2, les produits — \z et -h ïb. Les forces dans la direction opposée constituent, avec les forces données, des couples dont les moments pnr rapport aux axes x et y sont TV et A'. Donc B' — As représente le moment de rotation des forces extérieures autour de l'axe parallèle aux .r, et A' -f- Ih leur moment de rotation autour de l'axe parallèle aux y. Ce dernier moment se trouve dans l'équation précédente avec un signe contraire; mais il est facile de voir que les deux moments qui forment les deux termes du second membre de cette équation deviennent positifs si au lieu de les compter dans le sens fixé précédemment, on les compte de manière à regarder comme positif un moment tel que la rotation correspondante ait pour effet d'amener l'axe longitudinal de la tige vers l'un des deux autres axes positifs. Désignons par M , M les moments ainsi comptés, les équations ci-dessus deviennent :

Dans ces équations, - — p —, désignent les inverses des ravons de cour-

bure des projections de la fibre courbe sur les deux plans de flexion. En effet, les valeurs exactes de ces inverses sont, comme on sait :

(V-y iïy'

dz' d:'-

dy'Y

ou l on a

Mais, vu que x et y sont constants le long d'une même libre, on peut poser, si l'on considère :■ comme la variable indépendante :

/ il , r

il<' {Dz di/' i ';•