T>8. — FLEXIONS AUTOUR PES DEUX A\CS PRINCIPAUX

ou, en négligeant — devant l'unité,

d'où, aussi :

dx! du dxj [j^

d*-x' &*u d1!/'1 cH

Ces dernières valeurs sont bien celles des inverses des rayons de courbure, lorsque, dans les formules rigoureuses, on néglige devant l'unité

les carrés des petites grandeurs -^ < -=~

Les équations (117) sont démontrées seulement pour le cas où des forces constantes agissent sur l'extrémité libre. Ce sera une tâche ultérieure de la théorie rigourease de donner des équations analogues pour des cas plus généraux. Jusqu'à présent, on n'y a pas réussi, et on devra, en attendant, continuer à se servir de ces équations lorsque des forces agissent à l'intérieur du corps, ou lorsque des forces isolées sont appliquées en des points différents. Il ne faut pas se dissimuler que ce procédé manque de rigueur; mais dans un des paragraphes suivants, on montrera que lorsque les sections transversales sont très petites, il est cependant admissible.

Remarquons, encore, que dans l'établissement des équations (117) que nous venons d'écrire, et qui sont, disons-nous, la reproduction du (05 d) § 28, combinées avec (86), § 29, il est expressément supposé que le système des axes coordonnés coïncide avec les axes principaux de la section fixe contenant l'origine. Dans la théorie ordinaire, on se sert des mêmes équations (ou de la même équation), mais pour un système quelconque d'axes rectangulaires passant par le centre de gravité, et on détermine ce système de manière que l'un des moments de rotation M , M , par rapport à l'un des axes, s'évanouisse, de sorte qu'il ne reste qu'une seule équation. Voyons comment ce procédé se trouve en contradiction avec les équations (117) elles-mêmes, et comment, par conséquent, il est inadmissible (*).

y) Celte faute a été commise par .Xavier [Leçons, n°" 85 et 117). Elle a été signalée par M. Persy qui, dans son cours de 1834 à l'école de Metz, a très bien remarqué que l'équation unique de moments, posée autour de la ligne des fibres invariables, ne suffirait, pour assurer l'équilibre entre les forces inférieures et les tensions à travers une section, qu'autant que cette ligne est un de ses deux axes principaux d'inertie, ce qui exige que le couple qui fait fléchir soit parallèle à l'autre axe principal. J'ai fait voir, dans mon Mémoire cité d'octobre et novembre 1843, et ensuite au n° 42 de celui de 1853 sur la torsion, etc., que lorsque

Représentons-nous M et Mr comme les moments de deux couples tendant à produire des rotations autour des axes y et x. D'après les principes connus de la composition des couples, on peut les remplacer par un seul ; pour cela, on porte chaque moment sur l'axe autour duquel il est pris (il faut observer que Mx, ordinairement négatif, doit être porté sur le côté négatif de l'axe des x) et on compose ces deux moments comme si c'étaient des forces : la résultante donne en grandeur et en direction le moment et l'axe du couple résultant. Soit 1ÏÏ ce moment et 6 l'angle que fait son axe avec l'axe des y, on a :

M = 11 1 cos 0 ; M .= 11 1 sin 6.

Désignons par plan de flexion un plan mené par l'axe longitudinal, de telle sorte que la projection d'une fibre rectiligne quelconque sur un plan mené par l'axe longitudinal dans une direction perpendiculaire à celui-là, reste rectiligne. S'il n'y a que le moment Mr autour de l'axe x, le plan yz est le plan de flexion : si, au contraire, il n'y a que le moment M autour de l'axe y, c'est le plan xz qui devient le plan de flexion. D'après la théorie ordinaire, il faudrait que le plan de flexion fût toujours parallèle au plan du couple résultant. C'est ce qui se produit effectivement dans deux cas très simples : d'abord lorsque X = v.. Le plan de flexion existe encore dans ces conditions (c'est-à-dire les fibres courbées se trouvent encore contenues dans des

plans) lorsque le rapport rp est indépendant de z et par suite lorsque

l'angle 0 est constant, comme cela a lieu, par exemple, lorsque les

celte condition n'est pas remplie, on obtient facilement et sans erreur ce qu'on cherche, c'est-à-dire, d'abord, la direct ion inconnue de la ligne des fibres invariables et celle du plan de flexion (différant du plan de sollicitation à fléchir), qui est perpendiculaire à cette ligne, en posant deux équations de moments ou d'équilibre de rotation autour des deux axes principaux d'inertie de la section, car 1° en les divisant l'une par l'autre, on trouve que le rapport entre la tangente de l'angle inconnu fait par le plan de flexion avec l'un de ces deux axes tranversaux et la tangente de l'angle connu que le plan du couple sollicitant fait avec le même axe, est égal au rapport des moments d'inertie de la section autour de l'autre axe et autour de celui-ci; et 2° en ajoutant les carrés des deux mêmes équations divisées par les moments d'inertie qui y entrent, on obtient immédiatement la flexion elfcctive, sorte de résultante des flexions partielles autour des deux axes principaux. Et l'on se rend très bien compte, d'une manière élémentaire, de cette flexion oblique ou déviée que doit éprouver en général toute tige ayant une section dont les moments d'inertie autour de droites qu'on y trace par son centre de gravité ne sont pas tous égaux, en considérant qu'un pareil prisme (on peut se (igurer, par exemple, qu'il se réduit à une feuille de métal) a un plan de plus facile flexion et un plan de plus difficile flexion, et que, s'il est sollicité par un couple dans une direction intermédiaire, le plan de flexion effective se rapprochera nécessairement du plan de plus facile flexion, en sorte qu'il ne coïncidera pas avec le plan du couple sollicitant à fléchir.

j5 58. — RÉSISTANCE. COMPARAISON AVEC LA THÉORIE ANCIENNE. k289

forces A, B agissent au centre de gravité de la surface d'extrémité. On a alors

M =A(Z— 2), Mr=B(Z— z),

tango = - , «nr = R (/ — 5).

oùR = ^As-f-Bî est la force résultante. L'angle du inornent résultant Tïï avec l'axe des y est le même que l'angle fait avec l'axe des x par la force résultante de celles B, A.

Examinons avec plus de détail ce cas particulier. Supposons qu'il existe un plan de flexion faisant un angle a avec le plan yz; rapportons les déplacements u, v, d'un point quelconque, non plus aux axes x et y4 mais aux droites x\ y\ qui sont les intersections du plan xy avec le plan de flexion et avec le plan mené perpendiculairement à ce plan de flexion par l'axe longitudinal z. Les déplacements d'un point suivant ces directions sont alors :

et, des équations

il résulte

u = u cos a -(- v sin « , v'== — m sin a -h v cos a ;

E)rV^ = Rcosô(/ — s),

oz- '

ExV~ = R sin 6 \l — z) ,

„ ohi' „ /cos ô cos a sinôsina\ ,,

D'après la définition, les projections des fibres sur le plan OY'Z, perpendiculaire au plan de flexion, doivent être des droites; c'est-à-

dire que l'inverse du rayon de courbure de ces projections -^— doit s'évanouir, ce qui donne

cos 6 sin a sin 6 cos a

Imaginons maintenant que l'on construise une ellipse dont les demiaxes aient pour directions celles des axes principaux d'inertie, et pour

longueurs X et ■/., et que, sur cette ellipse, on cherche le point a?, y où la normale est parallèle au plan de flexion. Ou aura

- + -, = l, cr = ==-tang«.

Xe x- ( X 1/

ou. à cause de l'équation (119),

tan&" ô = - :

c'est-à-dire que le rayon vecteur du point cherché est dans la direction de la résultante.

La normale au plan de flexion est donc parallèle à la tangente menée à l'ellipse à l'extrémité du rayon vecteur dirigé suivant la résultante, c'est-à-dire que la direction de cette normale es! conjuguée à celle de la résultante. On a, par suite, ce théorème :

Si, à 'partir du centre de gravité de la section, on porte, sur chacun de ses axes principaux d'inertie, une longueur égale au rayon de gyration autour de Vautre axe, et si, sur ces longueurs, prises comme demi-axes, on construit une ellipse, la force résultante, et la normale au plan de flexion correspondant, forment, dans cette ellipse, deux directions conjuguées.

On reconnaît qu'il y a réciprocité entre la direction de la résultante et celle de la normale au plan de flexion, c'est-à-dire qu'on peut les changer l'une dans l'autre. Mais ces directions ne peuvent devenir rectangulaires, et par conséquent la force résultante ne peut être située dans le plan de flexion, à moins qu'elle ne coïncide avec la direction de l'un des deux axes principaux.

De (119) on déduit :

cos 6 sin 6