L=:XY
et remplaçons les dérivées de X, Y d'ordre supérieur au premier au moyen des équations (5), nous obtiendrons ainsi
du - *-»'
d^L in* ^ i dL .
du"^ w* u du
4/1*4-1 dL 4, . or 4/^'
-j—r — -J— 5" H ; -y Lj 4- 8 Lj — — r- L,
du^ n du^ w du u u*
et nous en tirons
an du- u du m*
8L — ^-^ - ^ 4/»'— î f/L * c^//' w rf/£* //* du
Ensuite, d'après la valeur (s) de L, on trouve
(1.2. . .ny
^Ifin-i
^^^ (1.2! ./^)' S^^(^^ -4- A:) (Al -f- 2Â:)B;,//*^
Après avoir écrit ainsi l'équation (r)
remplaçons L, L^, L^, L3 par leurs développements en séries, nous aurons, en divisant par 4"^"^^»
o = an^( 1-4- VBa^^** ) — 2a/iM /i -f- V (/i 4- 2A-)Ba w**
^- a /î«-+-2[2('' -^ 2 A-)»— /i«]Baw*^-
-(,iV,eS)J.y^(,i-f.A-)(/l4-2A)B;t"*'
— f^a*^k{n -+- X-) (/è + 2 A-)Ba£<*^
Dans l'avant-dernier terme, faisons le changement indiqué par la
formule suivante
(/? -h I) (/i -h i)B, -h — , y A-(/i -+- X) (/i -f- a A-)Bx-w**"
et, en remarquant que nous avons
nous obtenons enfin cette équation
o— (aa — i)/i*(/i ~ i)
-^"2^^''** [-" :^*^H^"'" "^ aa(/i»H-aX/i*4- -JXv? H- ^4^») 4- 4«'X^('* -H ^)('ï-t- 2A) 1
Cette équation en // a une infinité de racines qu'on calculera dans
Tordre de grandeur croissante w,, //j, //,, ... ; en les divisant par — >
on obtiendra toutes les valeurs que peut avoir /pour une valeur entière donnée à n.
29. Pour simplifier, nous avons réduit la solution simple à la formule (6); mais on doit lui donner la forme plus compliquée
j a'z= sin/^X-^(-\o sin/j'| 4- i*i> cos/iJ/)P ( // ) '.
' -H cos/*X:/(-Vsin/j'| h- iil>' cos/j'I»)?.
Enfin, la solution la plus générale s'obtient en prenant une série double formée de la somme de ces solutions simples dans lesquelles on donne à n toutes les valeurs entières et k / les valeurs indiquées à la fin du numéro précédent. On déterminera ensuite les coefficients par une règle connue, assez de fois appliquée dans le premier volume de ce Traité pour qu'il soit inutile d'y revenir.
ÉQUILIBRE ET MOUVEMENT VIBRATOIRE DES PLAQUES ET MEMBRANES PLANES. 2x3
Au reste, les états vibratoires qu'on obtient ordinairement par Texpérience sont les états vibratoires simples fournis par la formule (il). La bauteur du son produit est égale à
L'équation
fournira des lignes nodales; ce seront des cercles concentriques avec le bord et dont on calculera les rayons par cette équation. Si le rapport de x' à iiV est égal a celui de .A. à i(i», on aura d'autres lignes de nœuds données par l'équation
ce seront des diamètres de la plaque qui la diviseront en 2/1 parties égales.
On constate, en effet, par l'expérience que, pour un même son, on peut obtenir des états vibratoires dont les lignes nodales circulaires sont données par l'équation (i^), mais dans lesquels les lignes nodales diamétrales tantôt se trouvent et tantôt ne se trouvent pas. Dans le second cas, on voit une partie du sable répandu sur la plaque se disposer en diamètres, mais qui ne sont pas fixes et ont un mouvement d'oscillation.
Équilibre d'élasticité d'une plaque circulaire dont on maintient
la déformation du bord.
30. Concevons qu'on déforme une plaque bomogène, plane et d'épaisseur constante, par des forces appliquées sur son contour. On peut déterminer la forme de la plaque, quand on connaît la déformation de son bord; en d'autres termes, connaissant le déplacement normal du bord et l'inclinaison que prend la normale à ce bord sur sa direction primitive, on peut se proposer de déterminer le déplacement normal de chaque point de la surface moyenne de la plaque. Ce déplacement «^
2l4 CHAPITRE VI.
satisfait, à Tintérieurdu contour, à l'équation
.V d^ iv d'' w d^ iv
^'^ dF'^^da^^dy^'^ dy'^ ~^'
et (Théorie du Potentie/, Chap. III, n*" 23) la valeur de (v peut s'écrire
(2) i^=^p-h I (r^logr— ^j^{s)ds,
p désignant une fonction qui satisfait à l'équation
et l'intégrale étant prise tout le long du contour s de la plaque; enfin r est la distance du point (ce, y) à l'élément ds.
31 . Supposons maintenant que le contour de la plaque soit un cercle. L'origine des coordonnées étant au centre, posons
.r = Rcosa^naePcosa, r = Rsina = aePsina,
et regardons le cercle de contour comme donné par R = a; l'équation (3) peut s'écrire
d'-p d^p d(x} ^ dp^ - '
etp sera donné par une série de cette forme
p — Mologa-f- (M, cosa-h N, sina) — i-...H-(M«cos/ia4-N«sin/ia)-^ -+-...,
les coefficients étant des constantes à déterminer.
a, et a étant les coordonnées d'un point du contour, a et R celles d'un point de l'intérieur, on a, pour la distance qui les sépare,
/• — [R»— 2aRcos(a — al)^-a2]* = a/'I— ?e(«-«.W^y /^i ~ 5e-(«-a.)v/^y .
ÉQUILIBRE ET MOUVEMENT VIBRATOIRE DES PLAQUES ET MEMBRANES PLANES. 2l5
Prenons les logarithmes, et nous aurons
log/* = loga cos(a — a,) 5-cos2(a — aj — ^ — cos3(a — «i)—
Par hypothèse, pour K = a,w et ^> la tangente d'inclinaison de la
normale, sont des fonctions données G(a) et /,(«). Examinons donc ce que deviennent, pour R = a, les formules
ir izz/? -hj U-2 logr — ~ j 9(a) 'lia,
^ = ^-+- 2yiogr[R — acos(a — a,)]?(a)^«•
Remplaçons a — a, par 6, désignons par U ce que devient
/•*(]ogr — i)
quand on fait R = a, et nous aurons
U — - 2a'(i -- cosô) (loga — { — cosô— |cos2(? — |cos3ô — . . .)
= 2a* loga — (loga H- \) cosô
l cos 2 9 -h ri cos 3 4- ... H --= : cos /i ô h- . . . .
La fonction 9 (a), qui a 21: pour période, peut se représenter par la série
cp(a) — AqH- AjCôsa-h Bi sina-h Aj cos 2 a h- B, sin2a -h. . .,
et Ton en conclut facilement, pour la première condition au contour,
Mo log« H- ^r.à^A loga
[M|— 27ra*(loga -h -J)Ai] cosai -H [Nj— 27ra(loga -+- Î^)B,] sina,
2l6 CHAPITRE VI. — ÉQUILIBRE ET MOUVEMENT VIBRATOIRE DES PLAQUES, ETC.
On obtient ensuite de la même manière, pour la seconde condition au contour,
47ra(loga M,
27ra(loga-i- J)Ai cos»]
~ — 27ra(loga-h |)B, sina,
As ) cossai
1 T—i : A« coswaiH- 1 7— z — ~ B« sin«
Dans chacune de ces équations, on sait calculer le coefficient de cos^^a,, ce qui permet de déterminer M,^ et A,,,*et Ton obtient de même N,, etB;^. Les deux séries de coefficients qui entrent dans la formule (4) sont donc connues.
J'ai résolu le même problème pour la plaque elliptique (Journal de Liouville, 1869).
