AU:=/^U, AV

Prenons des coordonnées polaires r, '^ dont l'origine soit au centre de la plaque, prise maintenant circulaire; les deux équations précé-

2o8 CIIAPITIIE VF

dentés deviendront

d'-i: 1 dU I d'\]

dr'^ /■ dr r^ d^*

d^y i «rv ^ I r/*V __ »y

dr^ r dr ' /•* <rf's};'-'

Désignons par /^ un nombre entier et posons

U -- AX sin/i'l, V — BY sin/id^; ces deux équations se changent en les suivantes

-di-^-'-r^^-Kj^^^n^'-''^

^/•^ /• dv \/=* /

et, en remplaçant la variable r par

<^/^/* a du

en celles-ci

On en lire ces deux solutions particulières

auxquelles il faut réduire les valeurs de X et W les solutions générales étant infinies pour u = o, comme on le voit facilement.

27. Dans les conditions (i), remplaçons w par (2) et faisons, de plus.

^/i i=z r//', ds = r d'\ty

ds ds

en nous servant de la première équation (4)» nous aurons, pour r = R, R étant le rayon du cercle de contour,

2 /•» d'Y' r dr

2 dr r^ d^* r* drd'^*

Remplaçons y] et JI par leurs valeurs

n — (AX -+- BY) sin/<'»>, Ç = (AX - BV) sin/i'^, et ces deux conditions deviendront

- /^( AX 4- BY) ^ - -^ (AX - BY) -i- - (^A 5^ - B 5^ V

2 ^ /- ^ ' \ dr dr I

OU, en remettant la variable u au lieu de r,

(/?) A \{n^-{- 2au^)X - «^^1 — B [(/i^— 2aw2) Y — « ^ 1 = o,

(q) A /i*X — (/i*— 2au^)i/-^ — B /i*Y — (/t*-h 'iau^)u-j- =o,

équations qui doivent avoir lieu pour « = -;-• Elles doivent servir a

déterminer /et le rapport de A à B.

Nous avons la formule

n'-(AX-BY)sin/i^sin/*A:^

et, en ayant égard au rapport de A à B donné par l'équation (/?), nous avons

(6) tï' ^Csin/'^^.Psln/i'l»,

où C est une constante arbitraire et où P a pour expression

S fl

M. — Élast, 27

En éliminant g entre {p) et (y), on obtient, pour u= — >

— [(/»'-'*')«-+- 4a'«''](x^ — V^W4aw

a££ du

28. Nous allons, commeKirchhoff, développer le second membre de cette équation suivant les puissances de u.

On a

"'LK'ï+0"*"i.2.3(/i-m)(/i4-2)(/i4-3)"^'"'J r

et Ton obtient facilement

If^n

{s) XY ir-. — T^ (i -+- B, w*-4- B,//»4- B,«"-i-. . .),

^1.2. » . Il f

en posant

De cette formule on peut déduire ensuite les autres expressions , ..rfV ..dX , d\d\ . -.ûfY „rfX

L| — A. -J h Y —f— ) Lj : - -7— -5 — y Lj — A -7— — Y -j— >

ai/ du du du du du

qui entrent dans l'équation (r).

Différentions trois fois par rapport à u l'équation