V -4- 4»i^Dlogsinamu
l62 CHAPITRE V.
Dans le deuxième pas, on a
( &r4^(u4-K-t-iK')l
ou
(11) \ -\-^iz=zU logcosamv.
Enfin, dans le troisième cas, on obtient
ou
(111) V -h ^f = D logA amu.
19. Prenons a, ^ pour les coordonnées rectangulaires d'un point d'un plan et formons un rectangle (^g. i6) dont les côtés correspondent à
ou à
(2) W=:0, «=z2 7r, riziO, i'=z:2 7r.
Puis faisons sur le tore une entaille le long du cercle qui se projette sur la droite AA', et le long du cercle A'^C'A^D'.
Cette figure sera ainsi terminée à quatre côtés qui correspondront aux quatre côtés du rectangle. Néanmoins, quand on connaîtra les courants qui traversent la plaque dont la surface moyenne est le tore, on ne pourra en déduire, en général, des courants dans la plaque rectangulaire correspondante; car les courants, dans le tore, traversent les cercles donnés par les équations (i) ou (2), et les courants, dans le rectangle, qui sont les images des premiers, traverseraient également les côtés du rectangle.
Mais, au contraire, dans les trois cas particuliers examinés ci-dessus, les cercles (i) ne sont pas traversés par des courants, comme on le
voit immédiatement, sans calcul. Donc, dans le rectangle, image du tore, les quatre côtés qui le terminent ne sont pas non plus traversés par des courants.
Lay%. i6 ci-jointe représente la plaque rectangulaire. L'image du point A du tore vient sur le rectangle en A et B ; l'image du point A^
Fig. i6.
est représentée par les quatre points i, T, i" et i*"; celle du point Aa est en 2 et 2'; celle du point A3 est en un seul point 3. Dans ces trois cas, les formules (I), (II), (III) donneront le potentiel V et les lignes de courant 4^ = const. dans la plaque. Dans chacun de ces cas, deux courants égaux entreront en A et B, et ils sortiront dans le premier cas par i, i', 1", i'^, dans le deuxième, par 2 et 2'; dans le troisième, par 3.
Courants dans une plaque rectangulaire.
20. Un courant entre dans une plaque rectangulaire par le point P et sort par le point P'; de plus, P et P' sont symétriques par rapport à une des deux lignes moyennes du rectangle {fig- 17).
Prenons les axes de coordonnées parallèles aux côtés a et 6 du rectangle et leur origine au centre de la figure ; puis menons l'axe des j positifs du côté des points P et P'. Le potentiel V satisfait à l'intérieur du rectangle à Téquation
on a les conditions aux limites
dx dV
pour d? = ih
= pour y ^=i±i-
l64 CHAPITRE V.
Enfin V est infini comme Clogr au point P ou (^',y) et il est infini comme —Clogr au point P' ou (— ^'»y). '^ étant la distance à P ouP'.
Prolongeons la droite PP' jusqu'aux points H et H', où elle rencontre le périmètre du rectangle et désignons la fonction V par V, ou Vj,
Fig. 17.
suivant qu'elle appartient à un point de la bande HBB'H' ou de la bande HCC'H'; V, et Va seront représentés par deux expressions différentes.
Posons d'abord
pn a
p étant un nombre entier impair; puis, pour la bande HBB'H', formons le potentiel en posant
V, = y]/(j>7'> m)sin/njc'sin/wa?;
^. En.
la dérivée de V, par rapport à x s'annulera ainsi pour x suite /(j, y, m) doit être, par rapport à 7, de la forme
et, comme la dérivée de V,, par rapport à y^ doit s'annuler pour
y = -, on a
Aj,y, rn) — cosh/?J - — y\ 9(7' ).
EXEMPLES DE COURANTS PERMANENTS. l65
D'après cela, on peut poser la première des deux formules
Vi = V9,(7')cosh//i( yj sin/7ij?'si
sinma:;
V,= >|^9j(y) coshwf — h j) s'inma^' s\nm.r,
et l'on obtient de même la seconde.
21. Remarquons maintenant que la fonction V et sa dérivée par rapport à y doivent être continues le long de la droite HH'. Donc, pour
j =y, V, doit être égal k Vj et -r^ égal k -r-^* Nous satisfaisons a la
première de ces deux conditions, en prenant
Vi=: V Apcoshwf — \- y') coshwf y\ sinmj^'sinm^,
Vj^z'V Apcoshwf y'\ coshmf — h/j sin/wjj'sinm^,
et nous déterminerons les coefficients A^ par la seconde condition. Posons
sin m j?' sin m j? =: T ;
nous aurons
V, ■= } 2A^[cosh/n(6 — / -h/') -h cosh/n(7 -h j')]T, V2=i:i2Ap[coshm(6 +y —y') -h coshm(7 4-/)]T,
puis
^ = ^ImApi— sinhm(b — y -^ /) -^ smhm{y ~^y)]T, dy
^ = i2/nA;,[ sinhm(6 -t-/ -/) -+- sinh/?i(j -hj' )]T. dy
Supposons y très peu différent de y et faisons, dans la première dérivée, y =y -h £ et, dans la seconde, j = y- s; alors, en négligeant
l66 CHAPITRE V.
une quantité évidemment nulle à la limite £ = o, nous aurons
^-^ =r2/nA«sinhm(6-e)T.
dy dy "
Posons
D étant une constante, et nous aurons
^V, d\, ^v^sinh/n(6 — €)
dv ~ jid sinh mb
dy dy ^ sinh/n^
Or on a
smhm£> i — e-*"**
et il en résulte
-7-^ ^ = —2e-'"*[cos/n(x — a:') — C0S/w(^4-ar')l
g—tmb
La seconde partie de cette expression est évidemment nulle pour e = o; la première partie Test également. En effet, on a
, .1-9 Kff r I sinhecosaa
«-*cosa-h e-"cos3a-t-e-*^cos5a4-. . .=: t ^r >
4 coshae — cosaa
expression qui tend vers zéro quand £ devient infiniment petit. Ainsi, à
la limite e = o, on a
rfV, dVj
dy dy
le long de la ligne HH\
22. Vérifions ensuite que la fonction obtenue pour Y devient infiniment grande comme Clograux environs du point (a;', y). Posons
h:xemples de courants permanents. 167
dans Texpression de Yi, en prenant e positif; nous aurons
V, = - V r— r — 7 [coshm(Z> — £) H-coshm(ayH-6)1
X sinmj?'(sin/na:'cosmp 4- cos/n^'sin/np).
En supprimant dans Y, des parties qui» évidemment, ne peuvent devenir infinies, on a
-. Dût v^ I coshm(6 — e) . , ,
Vi= — > 7—r — ; — ^sm'mx'coswp.
2 7r ^éi/â p smhmo ^
On a ensuite
coshm(6 — g) .^, e-"*^cosh/7is
sinh/7i6 sinhm6
sin*/w:r'=:|(i — cosa/n^'),
et l'on peut de même réduire Y, à
Y, = -;— > - e-"»« cos m p.
où /9 a les valeurs i , 3, 5, — On aura
TC. 37r
-e-"*^cos/wp z=:er *" cos -^ -H -J e " cos-y^4-...
~ ilog\n-e « " « y — JlogVi — <? " «/ -t-ilogVi + e " "^ « y — JlogVi — « " "A
Le premier et le troisième terme se réduisent à la limite chacun a |log2, et la somme des deux autres est
-il0g(£*H-p»)-il0g^
Donc, on négligeant ce qui ne peut devenir infini, on voit que Y, se
l68 CHAPITRE V.
réduit, aux environs du point P, à
Afin que V, se réduise en ce point à Clogr, il faut faire
on a donc aussi
'' p%iiï\\mb
On obtient donc enfin
coshm
V, = — 8C 7. :— p- —. coshm ( — h v' ) sinmxsinmor',
' ^ak p ^\i\\\mb \2 ' J '
