I -+- Bi(r, 5) sinô -h Bs(/', 5) sin
OÙ les fonctions k^y B^ ne diffèrent que par un facteur constant. Il en résulte
I ^-^ — -Tn — ^ûfy=>«i An{r,z-{'hv)sinn{v'-d)dj
-h^l/î / Bn{ryZ-hhv)cosn{V'—d)dv,
formule dans laquelle Ao(r, z) disparait.
Posons, pour simplifier,
nous aurons
n I A„(r, .s -h hv) sin/i(u — ô) dj
— — An{r,z -hhv)cosn{j — 9)-h ~ A.';,(r,^ -hhj)sinn{v — 0) -h -^A*j(r,5 4- Au)cosn(u — ô) jA'^(/', 5 H- Au) sinn(j — ô)
et par suite
n I A„(/', z -h h\j) sinn('j — Q)dj
::;:- A«(r,;5 -h A0) -4- -I A;(r,3 -f- /i0) - ^1 A<*)(r,5 -h/iÔ) 4-. . .
n' •'' ' rc
4- Art(r, 5)cos/i9h — A)j(/-, 5) sin/i^ 5A^(r, 5) cos/i0 — . .
ïqG chapitre VI.
On a de même
n I Brt(r, z -h /iu)cos/i(u — d)dj
^- ^ BUr, 5 -f- /.9) - ^ B:(r, 5 -H A9) + ^ B'»'(/-, 5 + AÔ) + . . .
+- B,i(r, 5)sin/i0 B'„(r, 5) cosnô -5 B'' (r, ;5) sin n -h . . .
Ainsi, l'intégrale (10) se compose d'une fonction de la forme §(r^ z -r- kb) et de la fonction périodique suivante
X = ^ A«(r, 5) cosnô-h h^ - k'^ir, z) sïnnO
~h'^^^k'{r,z)cosne^h^^l-^A':{r,z)smn6-i-,..
-{-^^B„{ryz)suinO— h\^~B'n{r,z)cosnO — . . .,
dans laquelle toutes les sommations se rapportent aux valeurs entières de n depuis i jusqu'à qo.
Afin que la fonction P ait par rapport à la période 211, prenons F(r, z -h AO) égal à ^(r, z -h AO) et P se réduira à — x^. Remarquons ensuite que les fonctions A„, B,, et leurs dérivées par rapport à z s'annulent pour js = QO et nous en concluons que les deux séries
\^/i / A„(/-, js-f- /iu) sin/i(u — 0)dj, ^.^ 1 B/i(^>^ -H ^^^) cos/ï(u — 6)dj
sont égales aux deux parties de /^ où entrent respectivement les fonctions A;, et B„. Il en résulte que la formule qui donne P peut se mettre sous cette forme très simple
Il est facile de vérifier que cette expression satisfait à l'équation (7), d'après l'équation (8).
Cette valeur de P se rapporte aux valeurs positives de z. La fonction
P doit avoir des valeurs égales et de signe contraire pour deux points symétriques par rapport au plan des a?, y. On a donc au-dessous de ce plan
15. Si l'on veut tenir compte de l'induction du disque par l'action terrestre, il faudra ajouter à U la fonction
^ — --f^x—Uy—fzZ — — r{f^ cosô -t-/î sin0) —fzz,
011/0/2, /s sont les composantes de l'action de la Terre. Alors, le second membre de l'équation (a) devra être augmenté de / v — f^x et P s'accroîtra de
Il en résulterait donc dans la plaque des courants parallèles dont les
composantes suivant les x et les y seraient ^^> — — • Mais bien que,
dans les considérations précédentes, on puisse, avec une approximation assez grande, supposer la plaque indéfinie, si l'aimant inducteur est très petit, a ses pôles très éloignés des bords et s'il est situé parallèlement au disque et très près de ce disque, néanmoins ces bords ne sont pas assez éloignés pour qu'on puisse admettre l'existence de ces courants parallèles.
16. Cas où les aimants inducteurs se réduisent à une aiguille aimantée. — Le disque étant pris horizontal, supposons que l'inducteur soit une petite aiguille horizontale peu éloignée du disque et dont le centre soit sur l'axe de ce disque et regardons le magnétisme de cette aiguille comme concentré en deux pôles Pi et /?a, symétriques par rapport au point 0.
Prenons l'axe des z positifs vertical et dans le sens opposé à celui où se trouve l'aiguille, et menons l'axe des x suivant la projection sur le disque de la ligne moyenne de l'aiguille. Soient
les coordonnées des deux pôles /?| et p^ et désignons par (x et — (x les
quantités de magnétisme qu'ils renferment. Nous aurons pour le potentiel U
sjr^— 2arcos0-ha'-i- (z 4- c)* v^''*"^ 2 a/- ces 4- a' H- {z -+- c)'
La force magnétique provenant du disque, en un point (a?, y, 5), peut être décomposée suivant r, suivant une seconde horizontale perpendiculaire à r et suivant Taxe des z, et donnera les trois forces
dr ' r d9 dz
et P est donné par les formules (è) ou (c). Si le point {x, j, z) est situé du même côté que l'aiguille, il faut adopter la seconde formule
<i u (r, — z -f- /lu, — u) -
de
Posons, pour simplifier,
Ti-:r*— 3arcos(ô — u) 4-a'-h (Au — ;5H-c)*, Tj— r*4-2a/'C0s(ô — u) + a*H-(Au — j5 -h c)',
et nous aurons
d\]{r, — z - h Au, ^ — ^) fxgrsin(0 — u) fjtâr sin(0 — u)
puis
P /•- sin (0 - u) . r- sin (O-v), P= — fxar/ ^^3 -du — iiari ^-j i du,
Jo TJ Jo Tl
Nous pourrons ensuite former les composantes de la force magnétique qui provient de la plaque, en différentiant cette formule par rapport à r, G et z. Ainsi, nous aurons, pour la composante horizontale perpendiculaire à r,
i dP /'•cos(0 — u), /'•cos(0 — u) ,
— --^^M^l ^-i -d\>-\-u.a I ^; -du
= F«/ -i 'du-hiia î^
^0 TJ Jo T'î
. , r-sin«(ô — u) , „ , /--sin'CÔ- — Sixa^rj ^— g -du-h3ixa^r I ^
Les composantes du courant suivant r et la perpendiculaire à r seront respectivement — -je ^^ ^t--
*^ iTzr ad iTz dr
17. Aiguille mobile déplacée par le disque. — Désignons par P, et Pj ce que devient P aux deux pôles p^ et p2> Le couple horizontal produit sur Taiguille a pour moment
^ dPi dP^
Posons
Si=4a«sin*- 4- (Au -H 2c)*, Gj = 4«*cos' --h{hv -+- 2c)*,
et nous aurons
/^*cosu /^*cosu
K = 2flL*a' / 1- C?J -h 2fX*a» / j-ûf'J
— o/ji'a* / — g— rt'j H- 6|jL'a* / — 5-«y.
Jusqu'à présent, nous avons supposé que l'aimant était maintenu fixe; regardons maintenant l'aiguille comme mobile sur son pivot.
Si le mouvement uniforme du disque n'est pas trop grand, l'aiguille se déplacera du méridien magnétique pour se placer dans une position fixe.
Prenons encore l'axe des x suivant la projection de l'aiguille; désignons par F la composante horizontale de l'action de la Terre et par a l'angle de F avec Ox, cet angle étant compté dans le même sens que co. Le couple produit sur l'aiguille par la Terre sera
— 2jjLFasina;
on aura donc l'équation
K — 2fAFasma = o,
qui déterminera la déviation a de l'aiguille, pour qu'elle se trouve en équilibre.
Connaissant la vitesse angulaire co du disque, on pourra calculer les quatre intégrales définies qui entrent dans K par les méthodes gêné-
200 CHAPITRE YI.
raies de quadrature; K grandira en même temps que co et la déviation de l'aiguille sera fixe, en étant d'autant plus grande que co sera plus grand, tant qu'on aura
Mais, si 0) a une valeur plus grande que celle qui correspond à Téquation
l'aiguille sera entraînée dans un mouvement accéléré, jusqu'à ce que la résistance de l'air et le frottement sur le pivot amènent l'uniformité de son mouvement. A partir de ce moment, l'état des courants du disque pourra être calculé comme si l'aiguille était fixe, pourvu que l'on compte toujours cet état à partir de la projection de l'aiguille et qu'on remplace dans les formules la vitesse angulaire co par la différence des vitesses angulaires co et co' du disque et de l'aiguille.
Conducteur de révolution soumis à V influence d^ aimants, pendant qu'il tourne d'un mouvement uniforme autour de son axe.
18. Supposons un conducteur quelconque de révolution qui tourne autour de son axe de figure d'un mouvement uniforme, tandis qu'il est soumis à l'induction d'aimants fixes. Au bout d'un temps très court, les courants produits dans le conducteur arriveront à un état permanent.
Remarquons que la permanence des courants ne se produirait pas dans un conducteur mis en mouvement autour d'une droite qui ne serait pas un axe de révolution du corps; car l'espace occupé par ce corps ne se présenterait pas constamment de la même manière par rapport aux aimants. L'état des courants serait alors périodique, et la durée de la période serait celle d'un tour fait par le corps.
Désignons, comme au n° 11, parco la vitesse angulaire communiquée au corps induit, par X, Y, Z les composantes de la force magnétique et par <p le potentiel de l'électricité du conducteur. Les composantes de la force électromotrice dans le conducteur seront
