Faisons dans U

Z=:z'-h£^ Xz=ix'-\-OLy y=:y-h^,

EXEMPLES DE COURANTS PERMANENTS. I'j3

£, a, ^ étant très petits et e étant de plus positif. Nous aurons

U, =--r 7. 7. ;— r [coshm(c — e) — coshm(2x;'-H£)l.S,

ab j^ '^d m s\nh me ^ ^ ■"

ou» en supprimant une partie qui ne peut devenir infinie,

U, = — 7 X Zj — '~û — coshm(c — e).S.

Remplaçons le produit des premier et troisième facteurs de S et celui des deuxième et quatrième facteurs par une différence de cosinus; puis supprimons encore ce qui ne peut rien donner d'infini dans U^ et il nous restera

,, 2 7r Y^ '^ cosbm(c — s) pno: qii^

Ui — — T- y y : — r cos cos — 7 — •

ao Jk^ Jmk m sm h me a h

Enfin, pour une raison semblable» on peut réduire cette expression à

^'^ ^ ab ^ jêmà m a b

La fonction U a pour valeur - aux environs du point (a7',y, 5'). Donc

l'expression (y), dans laquelle les sommations s'étendent à toutes les valeurs entières et positives de/? et y et où

se réduit à

quand e» a, ^ sont infiniment petits et £ positif. Si dans (y) on change a en a -h a, on a l'expression

— =■ > > -. e-'»e cos ■^-— ^ ^C0S^-r^>

ab ^^^akm a b

et quand on y fait /? ^ i, 2» 3, . . ., on obtient des termes alternativement positifs et négatifs: il est donc aisé de voir que cette série double a une valeur finie. On peut donc, d'après cela, retrancher cette série de (y) sans changer sa partie infiniment grande ; il en résulte que Texpression

(tj) -^ > > — e-"»* COS ^- C0S^-r^>

OÙ q prend encore toutes les valeurs i, 2, 3, 4> ••• jusqu'à l'infini, mais /> seulement les valeurs impaires i, 3, 5, ..., a encore pour valeur l'expression (S).

27. Revenons maintenant au problème que nous nous sommes d'abord proposé. Désignons par Y, et Y^ la fonction Y, suivant que z sera plus grand ou plus petit que js% et représentons par m la même quantité que ci-dessus; puis prenons pour Y4 et Y, les expressions suivantes :

Yi=:V VBp,^cosh/n^- — z\ coshmf - -h-s'jT, p *r

Y,=2 V Bp,^cosh/n f- 4- zj coshm ( - — a' j T,

en faisant

T=cos ^ ^y- -j cos^ (y'^ ïj^^^ V ''""a^

les signes de sommation s'étendent à toutes les valeurs entières et positives de g, mais seulement aux valeurs positives et impaires de p. Ces expressions de Y, et Y2 satisferont aux conditions aux limites.

On voit que l'expression de Y 2 ©st égale à celle de Y, pour js = a' ; mais il faut encore que l'on ait

dV^ dV,

EXEMPLES DE COURANTS PERMANENTS. I'j5

et l'on pourra vérifier qu'on satisfait à cette condition en posant

OÙ D a la même valeur pour tous les coefficients. Cherchons la constante D. Faisons dans Y,

t, a, ^ étant très petits; nous aurons

V,= — yiyi ^-L — I coshmfc — e) 4-coshm(2 5'-h e) T.

2 ^^Jmà msmhmcy^ ^ ^ J

On peut supprimer le second coshyp sans modifier la partie infinie de V,, et de même on peut réduire T à

Ainsi Ton a

i-COS^- — cos— ,- • * a b

v,=iD22i ^^^^^^^^^^^<^«s^^«08^"^

m sinhms a

ou encore

° ÂÊ^Jmd m ah

où /7 a des valeurs impaires seulement. Cette expression doit se réduire à - et, comme Texpression (y)) se réduit à -j nous en concluons

Donc nous avons en définitive

o coshm ( - — -s ) coshm ( -^ -h 5' )

ab ÀÊdÂ^ m smhmc

„ coshm ( - 4-^) coshm ( -s')

v.= ^cyy-i. ^^—^ — ^ — ^T,

ab A^A^m smhmc

q ayant toutes les valeurs entières positives et p toutes les valeurs positives impaires.

Ces deux formules proviennent de la division du parallélépipède rectangle par le plan z ^ 5'. On pourrait représenter la fonction V d'une seconde manière en partageant le parallélépipède par le plan y=y, et l'on aurait deux formules entièrement semblables aux deux précédentes. En égalant les valeurs de V déterminées des deux manières, on obtient quatre formules de transformation de séries qui sont très remarquables.

Faisons aussi observer que, si les deux points P et F sont situés

sur la face z= -^ l'espace relatif à V, s'annule et il n'y a plus qu'une formule pour représenter le potentiel V

o coshm I — \- z]

v ^^'Fcv y -' — .4^ — Zt.

au ^^Jmim sinnmc

28. Si les deux points P et P' sont situés aux centres des faces a? = ±: -> on feray'= o, 5 = o, a/= - et l'on aura

^ coshm ( z]

Vj = — -r C > > ±: - ^ COS ^-r^ sm ^ ,

ab ^KàAd m . , me o a

^ coshm (^ 4- ^)

ab jÊmAJmd m . , me b a

où le signe de sommation relatif à p s'étend à toutes les valeurs impaires et positives de/> et le signe relatif à q à toutes les valeurs paires et positives de q\ on prendra en outre chaque terme avec le signe -fou — suivant que/? est de la forme [\n-\-i ou4'* + 3.

Calculons le potentiel V aux environs du point P dans ce cas particulier. Faisons dans V,

a, ^, e étant extrêmement petits et e, a étant positifs; nous aurons

a r coshmf £) ^

26uÇyy . V^ /cos^cos^.

p ^ smn —

En appliquant la formule

nous obtenons

COShm I Cl me ,

--r-coshme

. , n\c . , me

smn — smn —

smn — • 2

OU, en négligeant des quantités de Tordre de e, a et ^,

4C lÔTrCx^v^ ï «""^

a6 JmdÂ^ m . , me

sinh —

Vj est fourni par la même expression. Or le dernier terme est indépendant de £, a, P; il en résulte que la valeur de V est la même sur tout l'hémisphère situé dans le parallélépipède et décrit du point P comme centre avec le rayon r.

PROBLÈMES PARTICULIERS RELATIFS A DES COURANTS DINDUC- TION PRODUITS DANS DES PLAQUES OU DES CONDUCTEURS DE RÉVOLUTION.

Dans les Chapitres précédents, nous avons étudié d*abord les actions des courants linéaires, puis nous nous sommes occupé des courants permanents dans des conducteurs de forme quelconque. On pourrait maintenant chercher à exposer une théorie générale des courants variables dans des conducteurs de forme quelconque. Mais nous préférons remettre à plus loin cette théorie qui exige quelques principes nouveaux, et nous allons exposer quelques cas d'induction dans des plaques et des conducteurs de révolution, qui peuvent être traités par les seuls principes des Chapitres précédents.

Courants permanents produits par induction dans une plaque courbe.

1. Nous avons vu, dans le Chapitre V (n*** 11-14), comment on trace, sur la surface d'une plaque courbe, d'épaisseur infiniment petite et constante, deux systèmes de lignes orthogonales entre elles, de manière que l'un de ces systèmes puisse représenter des lignes équipotentielles et l'autre des lignes de courants.

Si ces lignes de courants, quoique permanentes, sont produites par induction, elles seront, en général, fermées et ne se couperont pas mutuellement.

Les lignes de courants étant données par l'équation

a =:consi.,

traçons une série de ces lignes obtenues en faisant varier a par degrés infiniment petits. Désignons par ds la longueur d'un élément d'une

ligne équipotentielle ; on peut choisir la fonction a, de manière que la

quantité d'électricité qui traverse ds soit représentée par ^ d!> (Chap. V,

n° 1 1 ) ; cette quantité demeure constante entre deux lignes a et a 4- c?a, séparées par la distance variable ds. Ainsi la portion annulaire A de la plaque comprise entre les deux lignes a et a + rfa peut être assimilée à un courant linéaire ; son effet magnétique est donc le même que celui d'une double couche magnétique A' dont la puissance est doL et qui coïncide avec la partie de la plaque renfermée dans la courbe a (Chap. II, n*> 13).

On peut en dire autant de chaque anneau de courant extérieur à A. Donc Tanneau A de courant peut être remplacé, quant à son action extérieure, par la différentielle de la somme de toutes les couches magnétiques superposées, correspondant à ces différents anneaux de courant. Ainsi, comme la puissance magnétique de A' est ^a, la puissance magnétique totale de toutes ces couches en un point de l'anneau A est a + C, G étant une constante. Les anneaux de courants intérieurs à A ne modifieront pas la puissance magnétique sur A. Donc enfin tous les courants de la plaque peuvent être remplacés par une couche magnétique qui coïncide avec la plaque et dont la puissance est a -h C en chaque point.

Sur le contour de la plaque, la puissance magnétique est nulle ; la valeur de C est donc égale à la valeur de a sur ce contour, prise avec un signe contraire.

2. D'après la formule connue pour le potentiel d'une double couche magnétique, si nous remplaçons a + G par /?, nous avons, pour le potentiel magnétique delà couche de courants, en un point extérieur.

P= / ^cos(r, n)e/(7,

où r est la distance du point donné à l'élément d(j de la surface moyenne de la plaque et n la normale menée du côté positif de la couche, et où l'intégrale s'étend à tous les éléments d(j. {Théorie du potentiety II* Partie, Ghap. IV, n® 11).

D'après ce que l'on sait sur les couches magnétiques, la fonction P

l8o CHAPITRE VI.

varie d'une manière discontinue à travers la plaque. Désignons par P et P' les valeurs de P sur les faces positive et négative ; nous aurotis

Mais la composante normale à la plaque de la force magnétique varie d'une manière continue à travers la plaque.

Supposons ensuite la plaque plane et traçons les axes rectangulaires des x^y dans son plan moyen. Désignons, comme au n^ 11 du Chapitre V, par

P = const.

les lignes d'égal potentiel. La quantité d'électricité qui traverse un élément ds d'une de ces lignes est -^ds ou ^^; ainsi le courant, pris pour l'épaisseur de la plaque, est

as dot.

en posant

On aura les composantes du courant, pris dans toute l'épaisseur de la plaque, en multipliant^ par les cosinus des angles du courant avec les axes des x ely; ces cosinus sont

I e/(3 1 da ï ^P i d(x

on obtient donc pour ces deux composantes w, (^ respectivement ^ et — -j-y et l'on a ces deux équations

dp dp

do: dy

Plaque plane traversée par des courants induits variables.

3. Nous venons de voir que l'action magnétique extérieure d'une plaque traversée par des courants induits est égale à celle d'une

COURANTS INDUITS DANS LES PLAQUES. l8l

couche magnétique dont nous avons désigné la puissance par p. Supposons la plaque plane et posons

n représente donc le potentiel d'une couche de matière distribuée sur la surface cr avec la densité p^ et le potentiel de la couche magnétique a pour expression

P= / ■^cos{r,dz)d(j = ^

n est une fonction paire en z, P une fonction impaire. La différence

des valeurs de P sur les deux faces de la plaque étant égale à !\T:p^ on

a donc

P = 27r/> sur la face positive

= — 27r/> sur la face négative.

Soient X, Y^ Z les composantes de la force magnétique ; nous aurons

dz é/5*

et Z possède la même valeur sur les deux faces de la plaque.

Désignons par X|, Y, les valeurs de X, Y sur la face négative de la plaque; nous aurons sur les deux faces

D'une manière générale, nous avons

X=-^^, Yr=-^, Z=— ,

^ ' dxdz* dy dz^ dz^ '

et si, introduisant trois fonctions nouvelles ^, ç, S» nous posons

dy dz ' dz dx^ dx dy^

iSa CHAPITRE Vr

nous aurons ces trois équations

d^ dÇ d^n dy dz dx dz

di <5 d^VL

dz dx dy dz

dg d^ dm d^n rf«n

dx dy dz* dx* dy* '

et nous y satisferons en posant

4. Il est facile de vérifier que ^, ç, 5 auront les valeurs données au Chap. IV, n° 6.

En effet, nous avons trouvé ci dessus (n^ 2)

dp dp ^

dy dx^

désignons par e l'épaisseur de la plaque et posons

W :=«,£, t'=t'ie, P—PiB]

u^y 9^ sont les composantes du courant qui traverse normalement l'unité de surface, p^ est la densité de la plaque dont le potentiel est II, et nous aurons

il en résulte

dy 4^ dy 4^

A# = — 4îrwi;

donc, en désignant par dxs l'élément de volume de la plaque, nous aurons la première des deux équations semblables

COURANTS INDUITS DANS LES PLAQUES. l83

et, comme la composante w du courant suivant Taxe de z est nulle, on peut aussi poser

5. Supposons ensuite que, outre les courants qui traversent la plaque B située dans le plan des a?, y^ on ait encore une couche magnétique ou une couche de courants parallèle au plan des x, y. Nous concevrons que cette seconde couche C se meuve parallèlement à ellemême.

Désignons par II' le potentiel analogue à II et dû à la plaque C; nous aurons, pour le potentiel magnétique de cette plaque,

et, si Ton désigne par /, (/^ fi' ce que deviennent^, ç, S pour la plaque C, on obtient

6. Admettons que la plaque B demeure fixe et désignons par R la résistance spécifique de la matière de la plaque divisée par son épaisseur. D'après ce que nous avons vu (Chap, III, n®' 14 et 20), les composantes de la force électromotrice d'induction sur un courant linéaire de cette plaque sont, suivant les axes des x et y^

ajoutons-y les composantes

dx dy

de la force électromotrice provenant de l'électricité libre et de l'électricité de la double couche située sur les faces de la plaque dont le po-

l84 CHAPITRE VI.

tentiel est 9; nous aurons

Sur la face positive de la plaque on a (n^ 3)

et par suite, en prenant II sur le côté positif, on a

,„, i cPW i d}ll

211 dydz 211 dxdz'

donc les équations (2) deviennent

2Ti dy dz dy dt^ ' dx

^^^ -#?-= :^(n-Hn')-^.

2 TT dx dz dx dt dy

Différentions ces deux équations respectivement par rapport à a; et à j et ajoutons; nous aurons

dx^ dy^

Sur le bord de la plaque, p est nul et l'on a la condition

Ensuite, comme les courants ne traversent pas le bord, on a aussi sur ce bord

-n — -j- ces A — ->-— i- Sm A = O, dy dz dx dz

en désignant par X l'angle de la normale avec l'axe desâ?, et cette équation peut s'écrire

dsdz-^^'

COURANTS INDUITS DANS LES PLAQUES. l85

en désignant par d$ un élément du contour de la plaque. Mais cette condition rentre dans (5).

7. Supposons maintenant que la plaque soit infinie dans tous les sens. La fonction ç, étant finie et continue, ainsi que ses dérivées du premier ordre dans tout le plan des xy, se réduira à zéro. Posons

et intégrons les deux équations (4) où 9 est nul; nous aurons

/^(z, /) étant une fonction arbitraire. Mais nous allons voir que la fonction x,(^»0 ^^^* ^^^^ supprimée, et cette équation se trouve ainsi réduite à

.du du dU!

(^) ^'d-z^-di-nr^'''

Le problème précédent est ainsi exposé dans le Traité d'électricité de Maxwell; mais nous traiterons l'intégration d'une manière toute différente de celle qui se trouve dans cet Ouvrage.

8. S'il n'y a pas de force inductrice extérieure agissant sur la plaque B, on aura 11'= o et

, , ^dH du

C'est le cas d'un système de courants de la plaque abandonné à luimême, qui s'affaiblit par l'effet de la résistance. On aura, en intégrant cette équation,

(8) n=/(jr,/,5-+-A0.

L'équation (7) est démontrée pour i: = o. Mais, en considérant la

//îi plaque comme ayant une épaisseur très petite s, Il et ^ ont la même

l86 CHAPITRE VI.

valeur de part et d'autre de la face positive de la plaque. Les deux équations (7) et (8) sont donc vraies pour z très petit positif. D'ailleurs n, au-dessus du plan des x, j, satisfait à l'équation Ail = o, est fini et continu, ainsi que ses dérivées du premier ordre et s'annule à l'infini. On en conclut que, pour toute valeur positive de z, U est représenté par la formule (8), où/(x^y,z) est une fonction qui satisfait aux conditions précédentes de continuité et à l'équation

Les composantes de la force magnétique en un point (x^y^ z) sont données par les formules (i). Si donc on fait passer un système de courants à travers une plaque d'étendue infinie et qu'on l'abandonne ensuite à lui-même, son effet magnétique du côté des z positifs sera le même que si le système de courants avait été maintenu constant et que la plaque eût été mise en mouvement dans la direction des z négatifs et avec une vitesse égale à h.

Prouvons maintenant qu'il n'y avait pas lieu d'ajouter la fonction arbitraire -^(z, t) au second membre de l'équation (7). En effet, comme cette équation convient à tout l'espace situé au-dessus du plan des X, y y en prenant le A des deux membres, nous aurions eu A/^ = o et par suite y = Az-i-B, A et B étant indépendants de a?, j^ z, et cette fonction ne modifierait pas les valeurs que nous avons trouvées pour w, {^ et X, Y, Z.

Remarquons que a, f', X, V, Z s'expriment au moyen de P par les

formules

i dP i dP

2 71 O/ 2 7r dx

^ dp ^ dp ^ dp

aja ay dz

Ainsi n n'entre que par ^ = — P dans les expressions de w, ^, X,

Y, Z et la fonction P satisfait aussi à l'équation (7), en sorte qu'on peut poser au lieu de (8)

f(x,yy z) étant encore une fonction qui satisfait à l'équation (9). Dé-

signons par ¥(a:,y) la valeur de P sur le plan des xy pour t--o\ cette valeur se déduira facilement de Tétat donné des courants a l'instant initial. Posons

nous aurons l'équation

qui est satisfaisante en posant

H = Acosp{x— a)cosg(/ — (3), m^=p*-hq^; on en conclut la solution particulière

/=: A cos/>(a; — a) cosq{y — P)e-=V/'*-^^*,

puis la solution générale

f=-r-^ f f f f l^ioi, ?) cosp(x — (x) cosq{y -'^)e-->/'i^^' dp dq docd^.

Pour 5 = 0, cette fonction se réduira à Y(x,y). Enfin on aura pour z positif

P= ji^ rrrr V {a, ^) cosp^x — (x)cosq{y -^ ^)e-(-^^'>>f^'^' dp dq d^d^.

Nous avons vu (n® 3) que la fonction P est impaire en js; on obtiendra donc la valeur de P du côté des z négatifs en remplaçant z par — s et en changeant le signe de l'expression.

9. Revenons à la supposition d'un système de courants induits dans la plaque indéfinie B par des courants situés dans la plaque parallèle G que nous mettons du côté des z négatifs. On voit, comme ci-dessus, que l'équation (6) a lieu dans tout l'espace situé au-dessus du plan des xy et qu'on pouvait faire eflectivement y (:?, t) = o.

En différentiant l'équation (G) par rapport à z, nous remplacerons

l88 CHAPITRE VI.

dans cette équation les fonctions II et II' par les potentiels magnétiques P etP'; ce qui donne Téquation

, , , dP dP dP*

<^^ ^'di-'-di^-di'

où P' est une fonction donnée /(a;, y, s, /) qui provient de l'action des courants inducteurs. On néglige ainsi l'action des courants induits par B sur la plaque G.

Nous ferons commencer l'induction au temps / = o.

Pour intégrer l'équation aux différences partielles (a), qui est linéaire et du premier ordre, on commence par considérer les équations différentielles simultanées

dz ^^ dP

h df{x,y,Zyt)

On en tire, en désignant par G une constante arbitraire,

z '\-ht — Z, dt

La dérivée par rapport à / est une dérivée partielle et l'on peut écrire

^p— •' ^ \ — -dt pour £ = o.

Pour intégrer cette expression, il fautd'abordy remplacer js par G — hi\ ce qui donne

et, si nous supposons que P soit nul pour / = o, nous aurons

p ^ r' df{x,y,C-ht,t--t) ^^

Ghangeons la lettre / en 7 sous le signe d'intégration et la formule

devient

nous pouvons maintenant en éliminer G et y faire

C = 5 -Y- lux ce qui nous donnera

Jo ^«

A la variable i substituons la variable u, en posant

t — T = u, dr =: — djy

et nous aurons

p __ f^ df{x,y,z -f-/ii>,^ — u — g) ^^^

On a maintenant l'avantage de pouvoir supprimer la quantité e qu'il faut faire nulle après la dérivation; il suffit de remplacer la dérivation par rapport à £ par une autre par rapport à /; on a ainsi

(6) p^/-'rf/(.r.j... + Au,^-u)^^^

Pour avoir la solution la plus générale de l'équation (a), il faudrait ajouter à cette valeur de P l'expression F(a?, j, 5 -h A/), où F est une fonction arbitraire de trois variables; mais, comme P est nul par hypothèse pour / = o, la fonction F(ir, j, 5) est nulle et P se réduit

à ih).

La formule {h) est relative au côté positif de la plaque; on aurait la valeur de P du côté des s négatifs en remplaçant dans cette formule z par — Zy et changeant le signe de l'expression.

La fonction P' ou /(^, y^ z, t) n'est pas arbitraire; car elle satisfait à l'équation A/= o. Elle provient de la plaque G située du côté des z négatifs ; représentons par

igo CHAPITRE Vï.

son plan moyen. Si la plaque C est aussi indéfinie, désignons par F(j7,j, /) la valeur de/ sur le plan z = — l, valeur qui se déduira de la connaissance des courants situés dans cette plaque, et nous aurons au-dessus de ce plan

d'après le calcul du n^ 8. Ensuite, d'après la formule (6), on aura pour P du côté des z positifs

X cos/)(x — a) C0S7(7 — (3) dpdqd(xd^\.

Si / est une fonction de tfXiO* ^' faudra remplacer dans cette formule /par )r,(/ — u).

Plaque circulaire tournant autour de son axe et induite par des aimants.

10. Si un disque métallique est mis en mouvement autour de son axe, en même temps qu'un aimant se trouve placé parallèlement à une petite distance au-dessus du disque et mobile autour du même axe, l'aimant subit une action qui tend à lui faire suivre le mouvement du disque.

Ce phénomène, observé d'abord par Ârago, provient des courants induits dans le disque par l'aimant, lesquels réagissent ensuite sur l'aimant.

Concevons un nombre quelconque d'aimants agissant sur le disque; mais, pour simplifier, supposons-les très rapprochés du centre et suffisamment éloignés du bord du disque, pour qu'on puisse négliger l'influence de ce bord et regarder la plaque comme indéfinie.

Prenons les aimants fixes et faisons tourner le disque d'un mouvement uniforme. Au bout d'un temps très court, les courants induits dans la plaque arriveront à un état permanent et le champ magnétique

demeurera invariable. C'est cet état que nous nous proposons de déterminer.

Menons les axes des x et y dans le plan moyen du disque et par son centre, et employons les considérations et les notations des numéros précédents. L'action extérieure de la plaque peut être remplacée par celle d*une couche magnétique dont nous représentons la puissance par p et nous désignons par P son potentiel magnétique. D'après cela, si U est le potentiel des aimants, nous aurons, pour les composantes de la force magnétique,

da: dx dy dy dz dz

Les composantes u, ç^ du courant, pris pour l'épaisseur de la plaque, sont exprimées comme précédemment parles formules

' 21: d y 2 7C dx

P étant pris sur le côté positif de la plaque.

11. Désignons par ç le potentiel de l'électricité située à l'intérieur et à la surface de la plaque. Les courants de cette plaque peuvent être assimilés à des courants linéaires fermés et permanents, et, comme le champ magnétique est uniforme, il n'y aura de force électromotrice d^induction que celle qui provient du mouvement du disque, et nous avons pour les composantes de la force électromotrice totale (Ghap. III, no 14)

^ dt

Y ^dt

d(p dx

dz ^ dt

dx ^ dt

d^ dy'

' dt

"^ ^ dt

do dz

Mais, en désignant par (o la vitesse angulaire communiquée au disque, on a pour les composantes de la vitesse en un point quelconque de ce disque

dx dy dz

on a donc pour les composantes do la force électromotrice

Les deux premières composantes sont égales respectivement à Rm et R(^, en désignant par R la résistance spécifique de la plaque divisée par son épaisseur et la troisième composante est nulle, puisque les courants sont parallèles au plan deso:, j. En ayant donc égard aux expressions de w, {^, X, Y et Z, on obtient les trois équations

— — — - x(^ ^^^--^ 2 TT dy \dz dz J d.

R^^__ ^ /dP dU\ d^

^ ^ iTi dx~ '^ \dz dz ) dy^

,,, /c/P d\}\ fd? d{]\ do

Prenons des coordonnées polaires r et données par les formules

^=zrcos9, j=rsin0;

remarquons Téquation

dyp d}V d'P

dx^ "^ dy^ " dz^ '

puis différentions les équations (2) et (3) respectivement par rapport à y et a?, et ajoutons-les ; nous aurons

^ R d^V d^P rf*U

Quand on aura déterminé P par cette équation, on en pourra conclure u eiv par les formules (i).

L'équation (4) peut s'écrire

d^ ^/dP ç/TJ\ dz ~ \dr dr )^

COURANTS INDUITS DANS LES PLAQUES. IqS

et, en combinant entre elles les équations (2) et (3), nous aurons

d^ R ^P JdV d\S\

dr iTz dQ \dz dz J

dÔ ~^ 2TZ dr

12. Ces deux équations ne déterminent la fonction ç que sur la plaque ou pour jz — o : on obtiendra ç pour js = o en intégrant l'expression ^^^-^^l^^» qui 6st une différence totale d'après l'équation (5). Séparons la fonction ç en deux parties : l'une, (p<, relative à l'électricité libre, et l'autre, Ça» relative à une double couche d'électricité. Nous aurons pour la densité p de la couche d'électricité libre

^ 27rc* dz 27ÎC* dz 27rc* \dr dr

c étant le nombre de fois que l'unité électrostatique d'électricité est renfermée dans l'unité électromagnétique (voir Chap. III, n° 15). L'unité d'électricité ayant été changée, nous devons diviser par c^ l'expression de la densité trouvée dans la théorie de l'Électrostatique,

De cette formule on peut déduire la valeur de ç^ pour tout l'espace au moyen de l'intégrale double étendue a tout le plan des x, y

/• dr dQ

q étant la distance d'un élément de la plaque au point où l'on prend le potentiel. En faisant -s = o dans son expression, nous aurons la valeur de <p, dans la plaque, qu'il suffira de retrancher de la valeur de ç trouvée pour js = o, pour obtenir la valeur de Ça dans la plaque.

La fonction Ça doit varier d'une manière brusque à la sortie de la plaque, et, si l'on admet que l'action totale de l'électricité de la plaque est nulle sur de l'électricité statique extérieure, on obtient Ça à l'extérieur par l'équation

on aura donc aussi Ça en tous les points de l'espace, et Ça sera une fonction paire en z.

I()4 CHAPITUE VI.

Désignons par 9!^ la valeur trouvée pour 9, à l'intérieur de la plaque et par (f\ la valeur de ç^ à l'extérieur pour z = 0; la puissance de la

double couche située sur chaque face de la plaque sera ^-/--^•

13. Occupons-nous maintenant de l'intégration de l'équation (5). En raisonnant comme au n^ 8, on voit que cette équation a lieu dans tout l'espace situé du côté des z positifs, et, en l'intégrant par rapport à z, après avoir posé

on a

X étant une fonction arbitraire. La fonction P satisfait aussi à l'équation

(7) AP = o.

Supposons que tous les aimants inducteurs soient situés du côté des z' négatifs; alors le potentiel U de ces aimants satisfera également du côté des z positifs à l'équation

(8) AU = o.

Si nous faisons z = 00 dans l'équation (6), les trois premiers termes sont nuls : le quatrième l'est donc aussi et elle se réduit à

.dPdPdl]

^ ^ dz dd d6

Cette équation est toute semblable à l'équation du n^9; on peut donc former immédiatement son intégrale; représentons la fonction U par U(r, 2, G), en indiquant les variables qui y entrent, et nous aurons

P = - / — ^^— ^ dv-^¥{r,z-\-he),

la dernière fonction étant arbitraire; mais, dans ce problème, il ne faut plus la faire nulle, mais la choisir d'après la condition que la fonction P ait la période 2,tz par rapport à 0.

COURANTS INDUITS DANS LES PLAQUES. IqS

14. La fonction U est supposée connue; elle satisfait pour z positif à Téquation (8) et elle a la période ht: par rapport à G; on pourra donc la développer en une série de cette forme

, ^ l U(r,5î, 0) — Ao(r,-5) + A,(r,s)cos04- A,(r,^)cos2ÔH-. . .