X -fdy
dq d\}
dz dx
dy^ d[] dx dy
dx dy dz
Si Ton représente par h la résistance spécifique du conducteur, on a
/ r, do
nu — Zwa: — -p- >
dx
•^ dy
On a ensuite les trois équations
En égalant les composantes w, v^ wAm courant tirées de ces deux systèmes d'équations, on obtient
^ ^ 4^ V^*^ dy) dz dx^
h ^r. fdq dJ\ dl] ^9
^ AP fd}] dq d\}\ fdri d}) d{}\ d^
On a aussi Téquation
(Chap. IV, n«8).
Désignons par S\ ç', f/, 9' ce que deviennent ^, ç, 5» <p à l'extérieur du conducteur; nous aurons
i A J' = o, A(?' =0, A5' = o, A9' zz= o,
(5) ^ rfj' . ^(r^,r^^^
djc dy dz
Enfin, nous aurons à la surface du conducteur les conditions
( rf = ,r, (,' = (/, 5 = 5',
(6) rf,f ^ rfj' ^ rflî .^ ^', ^ ^ <V ,
( Ï//1 c//2 ' dn dn dn dn
en désignant par dn un élément de normale mené à la surface du conducteur.
19. Nous allons transformer les équations précédentes. Posons
dx dy '
et adoptons les coordonnées r, ^ données par
œz=ir cos 'h, y ^=-r sin '\,
Différentions (2) par rapport à x, (i) par rapport k 7 et retranchons: nous aurons cette équation, qui ne contient que l'inconnue P,
en posant
COURANTS INDUITS DANS UN CONDUCTEUR DE RÉVOLUTION. 2o3
Désignons ensuite par P' ce que devient P à l'extérieur du corps;
nous aurons
AP' = o,
et, d'après les secondes équations (6), nous avons cette condition à
la surface
Différentions les équations (i), (2), (3) respectivement par rapport kx, y, z et ajoutons. D'après l'équation (4)f le premier membre de l'équation qui en résultera sera nul et l'on aura
/-, ^U\ / dP dP\
[dydz dz')~^'"^\dz^ djcdz) ^ ^?-
(xiX
Éliminons 5 de cette équation au moyen de la formule
dz dx dy
et, après les réductions, nous aurons
A9i=w(a;A(,'— /A.f) -l-2Ci) (P — ^ - ]•
Multiplions Téquation (2) pary, (i) par a? et retranchons; nous aurons
Substituons dans Téquation précédente et nous aurons ainsi une équation qui ne renferme plus que l'inconnue 9
9 satisfait de plus a l'extérieur à la quatrième équation (5).
Il résulte de l'équation (B) que la densité de l'électricité à l'inté-
2o4 CHAPITRE VI.
rieur du conducteur est donnée par l'expression
l\T^c^ d^ 2 7rc*\ dz )
c ayant la valeur indiquée au n® 12.
20. Indiquons maintenant comment on pourra procéder aux intégrations. Considérant d'abord Téquation (Â), posons
dz
nous aurons
,„ da dii
ùM — a-jy =— a-^.
Comme on a AU = o, on satisfait à cette équation en faisant II = U; désignons donc par IIi la solution générale de l'équation
(a) An.-a^=o.
et nous aurons, pour l'expression générale de II,
Examinons ensuite l'équation (^B), qu'on peut écrire
^ d^ dz
et, en posant
on aura
La valeur de $ se composera de deux parties : l'une 11^, qui satisfera à (a), aura la même forme que II,, sauf que les coefficients indéterminés y seront remplacés par d'autres et, en y ajoutant une solution particulière $, de l'équation (b), on aura
COURANTS INDUITS DANS UN CONDUCTEUR DE RÉVOLUTION. 2o5
Il est à remarquer que cette expression a été déterminée indépendamment de la fonction U.
Ensuite on a, pour les composantes m, i^ du courant,
az ax az
Posons
et nous obtenons
puis, de l'équation
nous tirerons
dz ^ dy dz
du* di\
dz dz
aX
du dv dw
dx dy dz '
du* dvt
dx dy
Enfin on se servira de la condition à la surface
acosX-f- t^cos{x + fvcosv = o,
où X, (X, V désignent les angles de la normale à la surface du corps avec les trois axes de coordonnées.
Les expressions de a, ç', «p' renferment des coefficients indéterminés. On pourra néanmoins former S, (?, 5 d'après les formules
g=f^^drn, g:=fjdc^. 5=f^,drn.
Jusqu'à présent, l'expression du potentiel U qui produit l'induction n'est pas entrée dans le calcul des quantités 9, u, 9, w, ef, ç, 5; mais, d'après l'équation (3), on a
fd:? dK\ d^ d\]
I r/ i ^ ' cor
iw û) ^^^ ^^ j J\dz dx) dz
dr
2o6 CHAPITRE VI.
et les coefficients indéterminés qu'on a introduits dans (p et qui se retrouvent dans (V, ,f, ç, 5 pourront être déterminés au moyen des coefficients de la fonction connue U.
Problème précédent dans le cas où la distribiuion magnétique est symétrique autour de l'axe du conducteur.
21. Lorsque la distribution du magnétisme inducteur est symétrique autour de l'axe de révolution du conducteur, il ne se produit pas de courants d'électricité dans ce conducteur par suite de son mouvement uniforme de rotation, ainsi que l'a remarqué Jochmann (Journal de Crelle, t. 63); mais il se trouve à l'intérieur du corps de l'électricité libre qui, jointe à l'électricité de la surface, fait équilibre à la force électromotrice d'induction.
Nous avons, comme au n^ 18, les équations
hu i=Zci)»r j^y
dx
il s'agit de démontrer qu'on peut choisir ç de manière que m, v^ iv soient nuls. Alors les fonctions ^, ç, 5 sont nulles; la force magnétique ne provient plus que des aimants dont le potentiel est U, et l'on tire des équations précédentes
dx dz
. . .dcp'dV
dz ^ \ dx dy )
Prenons des coordonnées polaires r et '|, et il en résultera
^9 d\} d<p e/cp d\]
dr dz d^ * dz dr
