COURANTS INDUITS DANS UN CONDUCTEUR DE RÉVOLUTION
La fonction U satisfait à l'intérieur du conducteur à l'équation AU = o,
qui se réduit à
cl ( ^U\ ^»U
puisque, par hypothèse, U est indépendant de ^. On aura ensuite
(2) ^^^^(^r^^dz-r^dry
expression intégrable, comme il résulte de l'équation précédente.
Si Ton différentie les équations (i) respectivement par rapport à a-, y, s, et qu'on ajoute, on a
, dl]
Ao =:i — 2 Cl) -^- •
dz
Séparons la fonction ç en deux parties : l'une, ç,, relative à l'électricité libre située à l'intérieur et à la surface du conducteur, et l'autre, 92» relative à une double couche située à la surface. Nous aurons
et, d'après cela, si D est la densité de l'électricité libre à l'intérieur du corps, nous obtenons
2 TTC* dz
22. Supposons que le conducteur n'ait pas été chargé d'électricité; l'action extérieure de l'électricité de ce conducteur sera nulle et, en désignant par ç, et 9!, ce que deviennent 9, et 9^ à l'extérieur, nous aurons
La densité à la surface sera
dn' et dn étant les éléments de normale intérieure et extérieure. Or
2o8 on a
donc, d'après ('J),
<:hapitre
dn
dn'
dr^\
dn
dn
d9t dn''
et, par suite, p devient
I fdo^ ^9x\ I dQ
Ainsi p peut être calculé par la valeur (2) de 9, sans qu'on soit obligé de calculer ç, à l'extérieur.
Connaissant D et p, on peut en déduire ç, à l'intérieur et à l'extérieur ; on aura ensuite 92 à l'intérieur par l'équation
<Pj-i (p — (pi,
Enfin, on aura 92 ^ Textérieur par l'équation
Si l'on met sur le conducteur une masse M d'électricité, elle s'ajoutera à l'électricité précédente en se plaçant à la surface suivant les lois de l'Électrostatique.
23. Appliquons ce problème au cas d'une sphère qui tourne autour d'un diamètre en même temps qu'elle est soumise à l'influence d'une force magnétique constante et parallèle à l'axe de rotation.
En désignant par H une quantité constante, nous aurons
d[] „ dU et, d'après l'équation (2),
9=-iwH/---t-C,
G étant une constante arbitraire. Désignons par R la distance d'un point
au centre de la sphère et par a l'angle que fait R avec l'axe de rotation ; nous aurons
De la formule (3) on tire
2 TTC*
et nous aurons ensuite pour la densité à la surface
I do ï o * t
Si nous désignons par X^ la fonction sphérique du second ordre
f (cos'a — i),
nous pouvons aussi écrire
p = — ^ — ; wHa(i — Xj).
Nous pouvons partager ç^ en deux parties : Tune relative à Télectri cité intérieure et l'autre relative à l'électricité superficielle, et poser
(pi rn c* / — duy -h c* / - da.
Désignons par J et J' la valeur de la seconde intégrale à l'intérieur et à l'extérieur; nous aurons, d'après la valeur de p,
J =— |wHa*h— ^,X,j, J'=:-|coHa3(i-^X.).
La première intégrale qui entre dans ç^ a pour valeur, à l'intérieur,
27rDa*— IttDR»;
à l'extérieur,
On a donc, à l'intérieur de la sphère,
et, à Textérieur,
On a ensuite
<p, r:: 9 — 9l = C — J wHa*-h j (oHR*X,.
La partie constante de cette expression correspond à une couche de puissance constante et dont le potentiel est nul à l'extérieur; on peut annuler cette partie constante en faisant
et nous aurons
9,= ia)HR*X„ 9',±=— î'^wH^X,.
Le problème est ainsi complètement résolu.
1. Toutes les quantités considérées en Mécanique et dans les sciences physiques ne dépendent que de trois sortes de quantités : espace, temps et masse. Par conséquent, on peut les évaluer au moyen des trois unités de longueur, de temps et de masse. Ces unités sont dites fondamentales.
Suivant une notation assez employée maintenant, nous désignerons respectivement par [L], [T], [M] les unités de longueur, de temps et de masse.
On appelle unités dérivées des unités qui s'expriment au moyen des unités fondamentales. Toute unité dérivée est par sa nature le produit de puissances déterminées des unités fondamentales, affecté d'un coefficient, et, pour simplifier son expression, on réduit ce coefficient à l'unité.
Si a est la valeur numérique d'une quantité, c'est que cette quantité est égale à a[A], en désignant par [A] l'unité choisie pour évaluer cette quantité. Si donc, en choisissant une autre unité [B], la valeur numérique de la même quantité est &, on aura
et, par conséquent, le rapport de deux valeurs numériques d'une quantité est l'inverse du rapport des unités auxquelles on la compare.
Unités dérivées en Mécanique,
2. La vitesse est le rapport d'un espace parcouru par un mobile au temps mis à le parcourir; nous prendrons donc pour unité de vitesse
[L]:[T] ou [LT"*], c'esl-à-dire le rapport de l'unité de longueur à l'unité de temps.
L'accélération est le rapport d'un accroissement de vitesse à l'accroissement correspondant du temps; c'est donc le rapport d'une vitesse à un temps. On prendra fLT"'] pour unité d'accélération.
La masse d'un corps est le rapport d'une force quelconque à l'accélération qu'elle imprimerait à ce corps, si elle lui était appliquée. La force est donc une masse multipliée par une accélération, et son unité sera prise égale à [MLT~^].
Pour la troisième unité fondamentale, on prend ordinairement, en Mécanique, l'unité de force au lieu de l'unité de masse. Cette unité de force est le plus souvent le poids du kilogramme ou une subdivision de ce poids. Mais ce poids éprouve de petites variations, selon le lieu de la Terre où l'on se trouve. La masse du kilogramme reste, au contraire, invariable, soit qu'on la regarde comme celle d'un litre d'eau à la température de 4**» soit qu'on la considère comme celle d'un étalon conservé aux Archives de Paris. C'est pour cette raison que, dans les calculs sur l'électricité, on préfère prendre pour la troisième unité fondamentale l'unité de masse, de laquelle on conclut l'unité de force.
Le travail d'une force sur un point matériel est le produit d'une force par une longueur, et l'on prend pour unité de travail [ML'T"^].
Unités de masse électrique.
3. En Électrostatique, on a défini l'unité de masse électrique une quantité d'électricité positive qui repousse une pareille masse avec l'unité de force, quand ces deux masses sont séparées par l'unité de distance. En partant de cette définition, on obtient un système d'unités électriques dérivées qui est appelé système électrostatique.
Mais l'unité de masse électrique a une autre valeur par suite d'une convention faite dans le Chapitre II (n*' 14) et de laquelle nous avons conclu, au n° 25 de ce Chapitre, l'unité d'intensité d'un courant linéaire permanent. Comme, en général, l'intensité d'un tel courant est la quantité d'électricité qui traverse une section du fil dans l'unité de temps, l'unité de masse électrique se trouve elle-même déterminée, dès qu'on se donne l'unité de temps, puisque c'est la quantité d'élec-
tricité qui traverse une section du fil dans un courant égal a l'unité pendant l'unité de temps.
Le système d'unités électriques, qui dérive de cette unité de masse électrique, s'appelle système électromagnétique , et c'est celui que nous avons adopté dans les Chapitres précédents.
Déterminons le rapport entre ces deux unités de masse électrique.
4. Laissons d'abord arbitraires ces deux unités pour exprimer les lois de Coulomb et d'Ampère; il faut alors multiplier par un coefficient chacune des formules qui expriment ces lois. Ainsi, d'après la loi de Coulomb, l'action entre les quantités q et q' d'électricité, séparées par la distance r, sera exprimée par la formule
(«) Ai-ï,
où h désigne un coefficient constant, et, si nous adoptons les notations du n^ 24 du Chapitre II, l'action entre deux éléments de courants sera
{b) klV — j^(2cos£ — 3cos0cos9'),
k étant un coefficient constant.
En faisant y'=y dans la formule (a), on voit que A^ est une force.
Dans la formule (6), AU' est multiplié par une quantité sans degré; donc ^ir et aussi k\^ est également une force. D'après cela, le rapport
est un nombre abstrait. Comme I désigne le rapport d'une quantité q' d'électricité à un temps ^ on aura
n^ est un nombre abstrait, et -> étant le rapport d'une longueur à un
2l4 CHAPITRE VII.
temps, exprime une vitesse; donc on peut poser
c étant une vitesse dont la grandeur est indépendante des unités fondamentales employées.
Si nous adoptons le système électrostatique» nous devrons faire h = i dans la formule (a), qui se réduira à
il en résultera k= -ji et nous aurons, pour la formule (A),
-r ir — r— (2cose — 3cos0cos6').
Si nous employons le système électromagnétique adopté dans le Chapitre II et les suivants, nous ferons ^ = i dans la formule (i), et, par suite, nous aurons k = c'. Désignons par Q etQ'ce que deviennent les quantités q et y' d'électricité, exprimées dans ce système d'unités; la formule (a) deviendra
Les expressions (c) et(d) étant celles d'une même force, nous en concluons
Désignons donc par [q] et [Q] les unités de masse électrique dans les systèmes électrostatique et électromagnétique; nous aurons
Ainsi la quantité c est le nombre de fois que l'unité électrostatique d'électricité est renfermée dans l'unité électromagnétique; ce nombre change évidemment avec les unités de longueur et de temps.
5. La quantité c a été définie pour la première fois par \V. Weber ; il en a déterminé aussi le premier la valeur avec Kohlrausch. Ces physiciens mesuraient la charge d'une bouteille de Leyde de deux manières. Ils l'obtenaient en mesure électrostatique par le produit de la capacité de la bouteille par la différence de potentiel des deux armatures. Ils l'évaluaient en mesure électromagnétique par les effets de la décharge de la bouteille dans le circuit d'un galvanomètre.
Weber et Kohlrausch ont trouvé, par ces expériences,
c z=z 810740000 mètres par seconde.
Cette recherche a été ensuite reprise par différents physiciens. Suivant les expériences les plus récentes, on a
c — 298 X 10* mètres par seconde,
vitesse qui peut être considérée comme égale à celle de la lumière (3oo,4 X lo* d'après M. Cornu).
6. Toute quantité employée dans les calculs sur l'électricité peut être regardée comme le produit d'un nombre abstrait par une expression [L^'T^M*']. La détermination des dimensions a, 6, c est très utile. En particulier, elle peut servir à constater immédiatement une faute de calcul ou même de raisonnement, si l'erreur entraîne dans les équations un manque d'homogénéité. Nous allons déterminer les dimensions des quantités électriques dans les deux systèmes électrostatique et électromagnétique.
MM. Mercadier et Vaschy ont cherché à démontrer que le système électromagnétique est seul rationnel. Ils se fondent d'abord sur ce que le coefficient h de la formule (a) de Coulomb, que l'on fait égal à l'unité dans l'air si l'on adopte le système électrostatique, varie dans les liquides transparents proportionnellement au carré de la vitesse de la lumière. Puis, ils prouvent, par des expériences, que le coefficient >fc de la formule (b) d'Ampère reste le même, quand on remplace l'air, dans lequel se trouvent ordinairement les circuits électriques, par différents liquides.
2l6 CHAPITRE VU.
Système électrostatique.
7. Représentons par de petites lettres, mises entre crochets, les unités dans le système électrostatique; nous adopterons les mêmes lettres, prises majuscules, pour le système électromagnétique.
Unité de quantité d* électricité [y]. — Dans ce système, la force F qui agit entre deux masses q d'électricité, séparées par la distance r, a pour expression
donc
et, en se reportant à l'expression de l'unité de force (n^ 2), on a
on aura ensuite, pour unité de densité cubique électrique,
[c/]z=[L"«M*T-»] et, pour unité de densité électrique superficielle,
[p]zz:[L"JM*T-t].
Unité de potentiel d'une masse électrique [9]. — Cette quantité sera le potentiel de l'unité de masse électrique, pris à l'unité de distance, et l'on a
[9] = [L'mH-«].
Si, dans un courant linéaire permanent, une quantité q d'électricité est transportée le long d'une courbe AB d'un point A, où le potentiel est (p<, à un point B où le potentiel est 92» 1^ travail qui en résultera sera (ç, — Çj)^ ou <p,y seulement si ç^ est nul. Réciproquement, le potentiel ou la force électromotrice le long du courant AB peut être
défini comme le travail effectué par la masse y, divisé par q. Nous pouvons donc poser
6 étant homogène avec le produit d'une force par une longueur, et nous retrouvons de cette manière l'expression de [ç].
Unité de capacité [a]. — La capacité d'un condensateur est le rapport de sa charge à la différence de potentiel des armatures; on a
donc
ainsi la capacité est une longueur; celle d'une sphère, par exemple, est représentée par son rayon.
Unité d'intensité de courant linéaire [i]. — L'intensité d'un courant linéaire est la quantité d'électricité qui traverse une section du fil dans l'unité de temps; on a donc
Dans un conducteur à trois dimensions, les composantes du courant^ désignées en général dans ce Livre par w, ç, Wy sont de l'homogénéité
deL"^M^T~^
Unité de résistance [r] d'un conducteur linéaire. — D'après la loi de Ohm, la résistance est le rapport de la force électromotrice entre deux points à l'intensité du courant; on a donc
ainsi cette résistance est l'inverse d'une vitesse.
La résistance spécifique du métal d'un conducteur est du degré de [r] [L] = [Tj (Chap. II, n^ 1), et sa conductibilité spécifique est du degré de [T-*].
Unité de magnétisme [[x]. — Nous'avons vu (Chap. II, n° 38) que la force F produite par le pôle [x d'un aimant sur un élément de courantydi est perpendiculaire au plan mené par (jl et par cet élément, et
qu'elle a pour expression
(/) F = /x/ — s\n{r,ds);
le second membre est égal à (xy multiplié par Tinverse d'une ligne /;
on a donc
Unité de potentiel d'une masse magnétique. — Elle sera égale à l'unité
de masse magnétique divisée par l'unité de distance ou à [L 'M^J.
Unité de coefficient d'induction d'un diélectrique. — Dans un diélectrique dont le coefficient d'induction est /?, on a {Théorie du potentiel^ II« Partie, Chap. III, n^ 11)
en désignant par d la densité de l'électricité dans le diélectrique; on en conclut que p est sans degré ou
Système électromagnétique,
8. Dans le système électromagnétique, l'action entre deux masses électriques égales à Q a pour grandeur (n^ 4)
F = c»^, d'où Q.Z.-Î./VF,
et, comme c est une vitesse, on a pour l'unité de masse électrique
[Q] = [lHp*],
et l'on en conclut, pour les densités électriques cubique et superficielle,
[D] = [L"*Mi"], [P]=:[L-*M*].
Intensité d'un courant linéaire. — Son unité sera
Dans un conducteur à trois dimensions, les composantes m, v^ w du
-- courant sont des dimensions de L ^ M^ T" * .
Potentiel d'une niasse électrique. — La formule (e) devient
et l'on en conclut, pour Tunité de ce potentiel,
Résistance d'un courant linéaire. — En divisant [$] par [I], on obtient
cette résistance est, par conséquent, une vitesse.
La résistance spécifique d'un conducteur est homogène avec L^T"' , et sa conductibilité spécifique avec L"^T.
Capacité d'un condensateur. — On a pour l'unité
Quantité de magnétisme . — Pourdéterminer son unité, nous emploierons encore la formule (/), et nous obtiendrons [L^M^T~*].
Potentiel d'une masse magnétique. — Il a pour unité [L^M^ T~* ].
Coefficient d'induction d'un diélectrique. — Son unité a pour expression [L-^T^].
Coefficient d'induction magnétique. — Le moment magnétique est homogène avec une masse magnétique divisée par le carré d'une ligne. Donc, d'après les équations de l'induction magnétique (Théorie du potentiel, IV^ Partie, Chap. IV, n®* 19 et 21), le coefficient d'induction magnétique y est sans degré.
Sur différentes expressions de la vitesse c.
9. Pour une portion de courant linéaire permanent, désignons dans le système électrostatique par i l'intensité du courant, par y la quantité d'électricité qui traverse une section dans le temps /, par r la résistance et par ç la force électromotrice. Puis, dans le système électromagnétique, désignons les mêmes quantités par les mêmes lettres, prises majuscules; nous aurons
7 = cQ, q =^ U, Q =1^,
<p — ir, ^ = IR, <^i = ^l.
On tire de ces équations les valeurs suivantes de c :
On a aussi, pour le rapport des valeurs de la capacité d'un condensa teur dans les deux systèmes,
On a donc, pour les rapports des unités correspondantes,
A chacun de ces rapports correspond une méthode d'expériences pour déterminer la quantités, et toutes les recherches qui ont été faites à ce sujet ont donné à très peu près pour c la même valeur.
Remarque. — Si nous désignons par ç le potentiel d'une masse électrique située à l'intérieur d'un corps où sa densité est () et à la surface de ce corps où sa densité est p, nous avons les formules de l'électrostatique
qui deviennent dans le système électromagnétique
^=zc* I — d^-hc* j — dm^
d^ d^ A^=::— ZiTrDcS -j — i- -7-7 = — 47rc*P.
an an
Système C.G.S. et système pratique.
10. On est convenu maintenant de prendre pour unités théoriques de longueur, de masse et de temps le centimètre, le gramme et la seconde; on désigne, pour abréger, le système électromagnétique correspondant par C.G.S. La valeur de c est alors
L'unité de force dans ce système est la force qui, agissant sur le '{gramme pendant une seconde, lui communique une vitesse d'un centimètre. Or le poids d'un gramme communique à ce gramme une vitesse
égale à 980*^", 88; donc l'unité de force est égale à -g — gg; on l'appelle une dyne.
H. Un Congrès international des électriciens, tenu à Paris en 1881, a choisi des unités plus commodes pour les applications de l'électricité. Il a adopté les unités fondamentales suivantes :
Unité de longueur [L] = 10' centim. ou le quart du méridien terrestre, Unité de masse [M] = — j^ masse du gramme, Unité de temps [T] = i seconde.
Adoptant de plus le système électromagnétique, le Congrès en a conclu les unités suivantes de résistance, de force électromotrice, d'intensité de courant, de quantité d'électricité et de capacité dont
222 CHAPITRE Vil. — LES l'NlTÉS ÉLECTRIQUES.
les valeurs sont données en unités du système C.G.S. :
[R] = [LT-'] =10» appelé ohm,
[*]-[L»M»T-»]-io»
voila,
[I] -[LnPT-']--io-'
ampère,
coulomb.
farad.
L'ampère est ainsi le courant produit par la force électromotrice d'un volta dans une longueur de fil qui a une résistance d'un ohm.
Le coulomb est la quantité d'électricité qui, dans une seconde, traverse la section d'un fil parcouru par un courant égal à un ampère.
Le farad est la capacité d'un condensateur dont la charge est un coulomb et dont la différence de potentiel des armatures est un volta.
Dans ce système, on a pour l'unité de force
[MLT-] -^ ^ dyne = ^^ gramme.
Les noms de volta et de ohm sont justement employés; car Volta a donné le premier la notion de la force éjectromotrice et Ohm celle de la résistance. Les découvertes d'Ampère sur les courants justifient le mot d'ampère attribué à l'unité de courant. Mais le nom de Coulomb, dont les découvertes se rapportent à l'Electrostatique et au Magnétisme, ne parait pas aussi bien appliqué à une unité d'électricité qui est définie par la considération d'un courant. Le nom de W. Weber, d'ïiprès ses recherches, semble, au contraire, indiqué pour cette unité.
SUR LE MOUVEMENT VARIABLE DE L ÉLECTRICITÉ DANS LES CONDUCTEURS DE FORME QUELCONQUE.
Nous avons étudié d'une manière générale le mouvement variable de l'électricité dans les conducteurs linéaires; nous avons aussi considéré pour des cas particuliers ce mouvement variable dans des plaques minces. Maintenant, dans ce Chapitre, nous allons nous occuper, dans toute leur généralité, des équations du mouvement variable de l'électricité dans des conducteurs à trois dimensions, supposés immobiles.
Force électromotrice d'induction sur un courant linéaire.
1. D'après ce que nous avons vu (Chap. III, n^ 14), la force électromotrice d'induction, produite par des courants sur un courant linéaire fermé immobile 5, est donnée par la formule
cin r/ dx dy dz\ ^
(^) -di =J V^^Ts ^^^yts-^^^'^dS) ^^'
, ' j • - » dF dG dll . 1, j ' •
OU y,r, y^, y 2 se réduisent ^ — tvT' -^ ^' ^ Tt^ ^' désigne par
F, G, H les fonctions suivantes
dans lesquelles i' est l'intensité d'un courant linéaire inducteur, ds' un élément linéaire de ce courant, rla distance du point (^', y\ z') de ds'
au point (a?, j, z) de ds et le signe de sommation V s'étendant à tous
les courants inducteurs. Si les courants inducteurs sont distribués
d'une manière continue dans des conducteurs à (rois dimensions, on remplacera, comme au Chapitre IV (n^'G), les dernières expressions par les suivantes
u\ v\ w' étant les composantes du courant au point {x'^y\ 5'), situé dans l'élément de volume dxs\
Il résulte de la formule (a) que la force électromotrice, produite sur l'élément ds d'un courant fermé, peut être représentée par l'expression
dx dv dz\ ,
OÙ y,c, y^, y^ ont les valeurs indiquées ci-dessus; mais, plus généralement, on peut prendre
dF il*^ '^''~' dt dxdC
d^ d}^ ^~ dt dydC
^ <^^ ^''~ dt dzdC
^ étant une fonction de x^y^ z tit\ car l'expression (a) conservera la même valeur, quelle que soit la fonction ^ ; mais, si le courant 5 n'était pas fermé, l'expression (a) changerait avec cette fonction.
Toutefois, d'après la signification physique de y^r, y^, y^,, la fonction \ doit satisfaire à certaines conditions; elle doit être une intégrale étendue aux corps inducteurs, dont chaque élément est proportionnel à l'intensité du courant inducteur. 11 est aussi naturel de supposer que les dérivées de ces éléments par rapport à a?, j^, z varient, de même que les éléments de F, G, H, avec la distance r et proportionnellement
Pour nous conformer aux notations de M. Helmholtz, posons
MOUVEMENT VARIABLE DE l'ÉLECTRÏCÏTÉ. 225
k étant une constante; M. Helmhoitz est ainsi conduit à prendre
r étant l'intensité du courant au point {x\ y, z') et ds' étant Tare infiniment petit, suivant lequel se meut le courant. Nous aurons donc
. J \ajc' as' dy as dz' ds' )
et il en résulte
dx
ou
dW dx
— f(u' ^^ v' ^^ w' ^^ \ dm'
j \ dx dx' dx dy* dx dz' )
J L /• \ /• r r yj /•
Posons
^ ' 2 dx *^ 2 dy "^ 2 dz
et nous aurons, pour les composantes de la force électromotrice d'induction au point (x, j, z),
d^ dq d^
Équations du mouvement variable de Vélectricité.
2. Supposons maintenant des courants distribués d'une manière continue à l'intérieur de corps conducteurs homogènes, et conservons les notations du numéro précédent. Les expressions de F, G, H et ^ seront ainsi des intégrales étendues k tous les volumes des conducteurs traversés par les courants.
Ces conducteurs possèdent, en général, de l'électricité libre à leur intérieur et à leur surface : désignons par ç le potentiel de cette élec-
tricilé. Les surfaces do ces conducteurs seront, en outre, recouvertes de doubles couches, dont nous désignerons le potentiel par 0.
Si Ton appelle D la densité de Télectricité à l'intérieur d'un des conducteurs, on aura l'équation
(Ghap. VII, n"^ 9), et, d'après une formule démontrée (Chap. I, n"* 5), si Ton désigne par 7/, r, i^ les composantes du courant au point (x, y, s), on obtient
^D du dv div
dt dx dy dz
Désignons par a la surface d'un des conducteurs, par dn et dn! les éléments de normale à cette surface menés extérieurement et intérieurement, enfin par p la densité de l'électricité sur la surface a; nous aurons
, , do do
Ensuite, si X, [x, v sont les angles de la normale intérieure à la surface 0" avec les axes de coordonnées, nous obtiendrons (Chap. I, n-8),
-f = — Il cos \ — V cos a — W COS V.
dt '
3. Intégrons l'expression (i) de W par parties, et nous aurons
A / ^ / I ^ j r (du' dv' div'X , ,
^ = —1 (a' cos A -h rcosfjL-h w'co^v)rdij — j ri -j—, •+- -7—, -h -^ jdtss'
OU
ainsi W représente le second potentiel d'une masse superficielle et d'une masse distribuée dans les conducteurs (Théorie du potentiel^ Chap. III, n^ 18). On en déduit
rdp dr , rdl) dr , , : / -r -r- d<7 -{- I -7- -7- dïs, J dt dx J dt dx '
d^r rdp dr . rdl) dr
dx
et -r- est égal à cosa, a étant Tangle de r avec Taxe des x. Si le point
{pCyy, z) est à une distance très grande, cosa sera à très peu près constant, et, par suite, cette dérivée de W sera nulle à l'infini, si la masse totale de l'électricité est nulle, quel que soit t. La formule précédente peut s'écrire ainsi
et la dernière intégrale peut être étendue en dehors des volumes renfermés dans les surfaces a, puisqu'on ne lui ajoutera de cette façon que des éléments nuls. Or soient, en général, A et B deux fonctions finies et continues des coordonnées x\y\ z' d'un point de l'espace, et dont les dérivées peuvent être discontinues à travers les surfaces fermées œ. De l'origine des coordonnées comme centre, décrivons une sphère S d'un rayon très grand R, qui renferme toutes ces surfaces; nous aurons l'équation
OÙ les secondes intégrales des deux membres s'étendent à tout le volume renfermé dans la sphère. On obtiendra cette équation en appliquant une formule bien connue à chaque espace renfermé dans une surface a et aussi à l'espace renfermé entre les surfaces a et la surface S, puis ajoutant toutes ces équations. On pourra supposer que le rayon R de la sphère devient infini, et négliger les troisièmes intégrales si le facteur, qui multiplie l'élément rfS dans les troisièmes in-
tégrales, est de l'ordre de 1^3- D'après cela, ç étant de l'ordre de ^^
sur S, on obtient
da: ~ ^nc^ J dt dx' '
l'intégrale étant étendue à tout l'espace. Or on a Ar= -, et il en
résulte
on a de même les dérivées de W par rapport à y et z. Il semble résulter de là qu'on ait
^ = 5 / - -^ dm' -h const.;
2'i:c^ J r ai
mais cette intégrale étendue à tout l'espace serait infinie ou indéterminée. Néanmoins, l'équation (3) étant exacte, ainsi que les deux équations semblables, on en conclut
(4) AW^^$.
^^' c* dt
L'intégrale (3) étant étendue à tout l'espace, on peut la transformer en la suivante :
dx
2'i:c*j aida:' r
Ainsi cette dérivée de "^peut être considérée comme le potentiel d'une masse dont la densité est ^ dfd^' ^" ^^^*' point (a?',y, 5') de l'espace. Cette densité sera, en général, partout finie; on en conclut que les dérivées secondes de W sont partout continues.
En se servant des expressions (2) de ^, g, fi et en ayant égard à l'équation (4), on obtient
Des mêmes expressions (2), il résulte
dx dy dz 2
la dernière intégrale, précédée de son signe, peut se transformer de la manière suivante
J(^'cosX+.'cos^ + «^'cosv)-+j(^^ + ^-f-^j —
/dp d(T ^ rdD dm ___ i^d(^ dt 7 J "dï ~7 ~~~ c^ 'di^
s'il n'entre aucun courant par les surfaces du conducteur. En se servant de l'équation (4), on obtient donc
d^ d^ d^ __ k d^ dx dv dz c* dt
4. Désignons par R la résistance spécifique dans chaque conducteur; la force électromotrice en un point de ce conducteur a pour composantes Rm, Rç^, Rmp^, et elle se compose de la force qui provient de l'électricité libre, de la force qui provient des doubles couches dont le potentiel est 0, et enfin de la force électromotrice d'induction dont les composantes sont
d^ d^ __df2 dt' dt' ~di''
nous avons ainsi les trois équations suivantes :
^<p dh d$
d'x dx dt dz dz dt
En portant ces valeurs de i/, t^, w dans les équations (5) et posant
I — k :^ h, nous aurons les équations suivantes à l'intérieur des conducteurs que
23o CHAPITKK VIII.
nous appellerons A :
•^ c* dzdt ~ H V^- ^;; dt )'
Dans certains conducteurs B, les courants peuvent être regardés comme donnés s'ils sont produits par des piles hydro-électriques de très grande intensité et si la résistance des conducteurs B est très grande par rapport k celle des conducteurs A, en sorte que l'induction des conducteurs A sur les conducteurs B soit négligeable. Supposons, par exemple, que les conducteurs B se réduisent à des fils excités par des piles hydro-électriques; on pourra commencer par étudier le mouvement de l'électricité dans ces fils, d'après ce qu'on a vu au Chapitre III. Désignons par 1/4, ^i, fv, les composantes du courant dans les conducteurs B, puis représentons par rfa, (j'2» ^2 l^s parties de ^, ç, 5 relatives aux courants des conducteurs B, et par ^^, ç,, 5, les parties correspondantes dans les conducteurs A. On calculera ^2, Ç2»c5îi d'après les valeurs de m,, ^4, m^i, et il restera à déterminer les parties restantes
Si l'on fait mouvoir des aimants aux environs des conducteurs A, les fonctions ^, ç, 5 prendront des parties correspondant à ce mouvement (Chap. III, n** 1), parties qui pourront aussi être considérées comme données.
Désignons par §\ ç', 5', ç', 0' ce que deviennent ^, ç, S> ?> ^ en dehors des conducteurs. Nous aurons, d'après le calcul qui a conduit aux équations (6),
c' dxdt ■^ c« dz dt
MOUVEMENT VARIABLE DE l'ÉLECTRICITÉ. 23 f
Puis, d'après la dernière équation du n° 3, nous obtenons
dx dy dz
k <f 9 c« dt'
dS' ^ dÇ' ^ <♦}' dx dv dz
k d(p' c« dt
En outre, sur les surfaces des conducteurs, nous aurons
dl dj^ dÇ dÇ^ dji^dj^
dn dn dn dn dn dn
et ff G', 5', à une distance infiniment grande r, sont de Tordre de -j
r étant pris à partir d'un point quelconque des conducteurs.
Toutes ces équations ont été données par M. Helmholtz (*), sauf l'introduction que j'ai faite du potentiel des doubles couches, qui satisfait, dans les conducteurs, à l'équation
Les fonctions ç et 6 satisfont sur les surfaces œ des conducteurs aux
conditions
, dB^dQ[
^ ^ ' dn~ dn'
Enfin, en dehors des conducteurs, nous admettons que le potentiel de toute l'électricité est nul ou qu'on a
9' -f- 9' = o, et <p' et 0' satisfont séparément aux équations
ç' et 0' sont d'ailleurs de Tordre de -^^ à l'infini.
(*) fVusenschafdiche Abhandlungen von Helmholtz, t. I, p. 545.
332 CHAPITRE VIÎI.
Énergie de toutes les actions électriques.
5. D'après le raisonnement qui a été fait (Chap. I, n** il), on reconnaît que le travail élémentaire produit pendant Tinstant dt, dans l'élément de volume dts d'un conducteur, est égal à
(^xU -h ^yV -^^z*^)dfsdt^
en désignant par 4'*. ^yf ^t les composantes de la force électromotrice dans cet élément. Si l'on remplace ^j^, ^y, ^g par leurs valeurs Rw, Rt', Rmp', cette expression peut aussi s'écrire
R(//'-4- v^-h w^)dTsdt,
Substituons à ^^^ ^r* ^« ^^^ valeurs (a) du n^ 4 et intégrons dans toute l'étendue des conducteurs; nous aurons, pour le travail élémentaire effectué dans tous les conducteurs,
dt f ^{u} -\- i'^ ^ w^) dw
Cette quantité, prise avec un signe contraire, représente la variation élémentaire de l'énergie.
Posons
l'intégrale étant étendue à tous les conducteurs. D'après les expressions de ^, g, 5 (n** 1), celle de O reste invariable quand on permute m, v, w, X, y, z respectivement avec u\ {^\ ti/, cc\ y\ z' . Il en résulte qu'on obtient le même résultat en différentiant $ par rapport à /, soit qu'on regarde w, (^, w comme seuls variables, soit qu'on regarde comme tels seulement m', ^', w>' . Ces six quantités varient toutes en même temps ;
MOUVEMENT VARIABLE DE l'ÉLECTRICITÉ. 233
on a donc
r( de dG d^\, rf^du ^dv ^dw\, d^
ce qui donne la première intégrale du second membre de {e)\ ainsi $ représente l'énergie des courants.
6. Transformons l'expression (/) de ^. Pour cela, remplaçons les quantités u, v^ w par leurs valeurs tirées des équations (5) [n'^S]; nous aurons
cette intégrale étant étendue aux volumes de tous les conducteurs; mais» d'après les équations (c), nous pouvons l'étendre à tout l'espace. Intégrons par parties et appuyons-nous sur les conditions aux limites auxquelles satisfont §^ ç, S» 9 et sur l'équation
c* dt dx dy dz '
nous obtiendrons
La quantité entre crochets dans cette expression peut se mettre sous la forme
(ë d^Y^ (dq rfsy^ (^ - ^V
\dy dx) \dz dy) \dx dz )
\dxj \dy J \dz J dz dy dx dz dy dx
En remplaçant dans $, on a
-fj[(0-(iy-(S)"-fl
dK dri d.i du \^k [dS
dx dz dy dx k
Or on a
\dx dy dz ) \
di
J dy dx J dx dy '
comme on le voit en intégrant par parties et en se servant des conditions aux limites. Il en résulte qu*on peut remplacer la seconde intégrale renfermée dans $ par la suivante :
I çfdi dcj <5y On a donc enfin
* = ùM - W* (S - 1)'- (i - S)"- m\ -
pour Texpression de l'énergie des courants; cette formule a été donnée par M. Helmboltz.
7. Examinons ensuite la seconde partie de la formule (e), où l'intégrale
dt~Jl dx ^ dy ^ dz J '
en ajoutant P à $, on aura l'énergie totale des actions électriques. Cette formule peut se transformer de la manière suivante :
^ =— / (9+ 5)(MC0SX + f COSfX + M'COSv)rfff— /("P + ^)(j ^ d~ "^ 'd~l^^
MOUVEMENT VARIABLE DE l'ÉLECTRTCITÉ, 235
Ensuite, Télectricité dont le potentiel est 9 -h n'ayant pas d'action extérieure, on a sur la surface a
— i- -\- — — 0* dn dn
on a aussi sur cette surface
dQ' dB __ dn^ dn!-""'
il en résulte
dn ~^ dn'
et la formule précédente devient
4îrj | <ij7 dxdt dy dydt dz dzdt \
On en conclut enfin
cette intégrale est étendue à tous les volumes des conducteurs, mais on peut aussi la supposer étendue à tout l'espace, puisque ç + est nul en dehors des conducteurs.
Système unique de solutions des équations du mouvement
de r électricité.
8. On peut démontrer que les équations précédentes n'admettent qu'un système de solutions, lorsque la quantité k est positive.
Supposons l'état initial donné; ainsi .f, Q^ ^, tp, 6 sont donnés pour / = o.
S'il existe deux systèmes différents de solutions, désignons par §^, Cm 5n ?<» ^1 l^s valeurs des fonctions ^, ç, 5, ç, 6 pour un système et par ^2, Ça, ^2, ^2, 6a les valeurs des mêmes fonctions pour l'autre sys-
a 36 CHAPITRE VIII.
tème. Alors, si nous posons
ces diflerences satisferont aux mêmes équations» et» d'après Thypothëse, elles sont nulles pour / = o. Donc les fonctions <P et V des numéros précédents seront aussi nulles à cet instant. Nous avons d*ailleurs
<[> H- P est nul pour ^ =^ o, et, comme l'énergie * -h P est toujours positive, J' — 'dt, valeur de $ 4- P après le premier instant, est positif, à moins qu'il ne soit nul; or il ne peut être positif d'après l'équation précédente; donc , — ^est nul; ainsi <^-hP reste niil
après l'instant dt^ et l'on voit, de même, qu'il sera nul dans tous les instants suivants. Gomme, de plus, O et P ne peuvent être négatifs, on a séparément
De l'expression obtenue pour^(n® 6), on conclut
d^dq dg d^ ^ — ^ ^ —
dy dx dz dy dx dz dt '
et des équations {d) du n^ 4 on déduit
di dq d}y
dx dy dz
On a donc
* dz^ . dx \dx dy dz)
dx^ dy
et, par suite,
A^=:o, Ag=zo, A5 = o.
Or ^, ç, 5 et leurs dérivées premières sont partout continus; ils sont infiniment petits de l'ordre ^ à une distance R infiniment grande ;
MOUVEMENT VARIABLE DE l' ÉLECTRICITÉ. QlZ'J
par suite, on a, dans tout l'espace,
#r=zo, gz=o, 5:rzO
{Théorie du potentiel, Chap. I, n*' 15). La fonction P étant nulle, on a aussi
cf(9 -h g) __ c?(9-i-Q) c/(9-4-0)
dx ' dy "^ ^ dz
ç est nul pour / = o et, d'après Téquation ^ = o> ? ^st constamment
nul. Par suite aussi est nul, d'après les équations précédentes. Ainsi les deux systèmes de solutions des équations du mouvement de l'électricité ne peuvent différer l'un de l'autre.
La quantité k est nécessairement positive, comme on vient de le supposer; car l'énergie totale $ -t- P des actions électriques doit être positive, et, si k était négatif, on pourrait disposer de la fonction ç, de manière que <& -h P fût négatif.
Force magnétique des courants.
9. Les composantes de la force magnétique seront données, comme dans le cas d'un mouvement permanent, par les formules
dy dz dz dx dx dy
en posant
(Chap. IV, n** 7). Or on a, d'après les notations du Chapitre actuel (nM),
2 dx ^ 2 dy ^ 2 dz '
par conséquent les expressions de X, Y, Z peuvent aussi s'écrire
dy dz dz dx dx dy
238 CHAPITRE VIIÎ.
Sur l'intégration des équations du mouvement de l^ électricité.
10. Si nous désignons par x la conductibilité spécifique du conducteur, les équations (h) du n*^ 4 deviennent
c' dxdt \dx dx dt )
J .^ A éf«9 , (d^ dQ
h d^o , (d^ dB d^\
et nous avons, en outre,
^ ' dx dy dz c* dt
s'il n'entre pas d'électricité par la surface du conducteur.
Différentions les équations (i) respectivement par rapport à a?, j, z et ajoutons; nous aurons l'équation
(3) A^-h4irxc»A9 — 47rxA:-^^o,
qui ne contient que 9, et la fonction satisfait à l'équation
H. Pour déterminer la forme des fonctions ^, ç, 5, posons d'abord
dx
et la première équation (î) deviendra
dx dxdt c* dxdt dx *
on satisfera d'ailleurs à cette équation si l'on prend pour f^ une solu-
tion de la suivante :
(4) Ax - 47rx^ =: ^, J 4- 4Trx(9 + 9).
Si nous faisons nous aurons, au lieu de l'équation (3),
en posant
Açr
— /n<pj — 0,
47rA:xa*
a -h 47rxc*
Si nous posons de plus
47rxa=:5, — 5- -H 47rx = o,
l'équation (4) deviendra
(5) At — 5T== 69i4-47rx0,.
Posons
IN =: r ■= 5 9
et nous aurons une solution particulière de l'équation (5), en prenant
(6) Ti = -N9i-iôt,
comme on le vérifie en substituant cette expression dans (5) et en se servant des équations auxquelles (f^ et 0| satisfont.
Pour avoir la solution la plus générale de (5), il faudra ajouter à l'expression (6) la solution la plus générale de l'équation
