II

A ' hOL ,

Désignons par t', une solution particulière de cette équation et par X', X'^, X!, des solutions de l'équation AX'= o; nous pourrons poser

Ensuite, de l'équation (10), nous concluons

, . dh! tA', ûfX' OL ,

Dans le cas où h sera nul ou k égal à i, on fera V, = o. Dans le cas général, on déduit de (i i)

A At' =: O ;

donc t' est la somme du premier potentiel de couches distribuées sur les surfaces œ des conducteurs et du second potentiel d'autres couches situées sur les mêmes surfaces; ainsi l'on peut poser

7\-=: I l~^d(J -h j IJ-lT d(j.

La fonction t'^ peut être réduite à la seconde intégrale; elle n'entre

242 CHAPITRE VlII. MOUVEMENT VARIABLE DE l/ ÉLECTRICITÉ.

que par sos dérivées par rapport à x, y, z, qui doivent s'annuler,

quand le point (x, y, z) va à Tinfini ; ce qui exige que la masse / (X| da

relative au second potentiel soit nulle.

Si Ton admet que le potentiel total extérieur ç'-+- 6' est nul, on aura

On aura ensuite a appliquer les conditions aux limites. De ces conditions, on déduira une équation qui donnera pour la constante a une infinité de valeurs, et la solution générale du problème sera la somme des solutions particulières en nombre infini qui correspondent à ces valeurs de «. Si Tétat électrique tend vers un état permanent, il faudra ajouter à la solution ainsi obtenue la solution relative à cet état permanent et qui sera indépendante de /.

13. Remarquons que la densité p de la simple couche située sur la surface a est exprimée par deux formules. On a d'abord

- 47rp - -i y-^, -\- y/-J - -, ^^^, (n** 7); p est ensuite donné par la formule

do , ^

-J- --— (mcosA -h i^cosa-h tvcosv),

fil '

et, en remplaçant //, r, u^ par leurs valeurs (n° 4),

dp d{o-\-e) fd.i . dcj d}) \

En égalant les deux valeurs de p, on obtient cette équation à la surface

1 d^(o-hO) d(o-^B) (d^ . dq di\ \

- ÎtTc» -d^ = ^ "W-^ -'- \dt ^^^^ -"- dï ^^^^ -^- 1 ^^^ V'

qu'il pourra être utile de considérer.

FILS TELEGRAPHIQUES.

Pour l'envoi d'une dépêche, l'extrémité du fil télégraphique, à la station de départ, est mise en communication alternativement avec le pôle positif d'une pile ou avec la Terre, tandis que le pôle négatif de cette pile est toujours lié avec le sol. D'autre part, la seconde extrémité du fil télégraphique est en communication avec la Terre, et elle fait mouvoir à la station d'arrivée un fer doux par l'intermédiaire d'un électro-aimant; elle produit ainsi des indications correspondant aux signaux de la station de départ.

Du mouvement variable de V électricité dans un fil extrêmement long.

1. Nous allons nous occuper des équations du mouvement de l'électricité dans un fil conducteur homogène extrêmement long, comme le sont les fils télégraphiques. Nous prenons le fil rectiligne et d'une section circulaire constante, dont nous désignerons le rayon para, et nous placerons l'axe des z des coordonnées rectangulaires suivant l'axe du fil. Toutefois, les calculs que nous allons faire sont également applicables à un fil courbe, pourvu que la courbure de son axe soit partout

très petite par rapport a - et que le fil ne soit pas replié, de manière

que des parties éloignées dans l'état rectiligne du fil puissent s'influencer mutuellement. Alors la coordonnée z désignera la longueur de l'axe du fil, comptée à partir de l'extrémité par laquelle entre le courant.

Nous avons obtenu dans le Chapitre précédent les équations sui*

vantes, pour le mouvement de réiectricité dans un conducteur,

c* dx dt \dx dx dt )

auxquelles il faut ajouter une quatrième équation que nous avons obtenue (n** 3), en supposant qu'il n'entre pas d'électricité par la surface du conducteur. Mais, si /est la longueur du fil, il entre un courant par l'extrémité 5 =: o, et il en sort un autre par l'extrémité z = l; puis il résulte du raisonnement même qui a été fait en cet endroit qu'il faut ajouter deux termes au second membre de cette équation, qui devient

dx dy dz c* dt J r J r

si l'on désigne par w^^ et w^ les valeurs de la composante w du courant aux deux extrémités du fil, et par rfcoo et rfw^ l'élément des deux surfaces des sections qui terminent le fil.

2. Nous allons montrer comment on peut remplacer le système des équations (i) et (2) par un autre qui n'en différera que par la suppression des deux derniers termes de l'équation (2). Pour cela, posons

(3) 9 =(cp,-4-90^«', ^ =(^i + 0.)e«S

puis faisons

Comme nous serons conduits plus loin à faire h = o ou ^ = i, faisons cette supposition qui simplifie le calcul actuel. Alors nous pourrons partager le système des équations (i) et (2) en deux autres. Le

premier sera

c'est-à-dire les équations (i) et (2) dans lesquelles on a supprimé les deux derniers termes. Le second système se composera des équations

dans lesquelles cp^ est une fonction connue. Il s'agit de trouver un système de solutions particulières des équations (4) et (5). Gomme les fonctions 92 et 0^ satisfont aux équations

on obtiendra pour solutions des équations précédentes

' * a \djc dx )

Les fonctions ^3* ç,» Sa satisfont ainsi elles-mêmes aux équations

A.f,=:o, AÇ,= o, A5,=:o;

il n'y a donc pas de courants intérieurs au fil, qui correspondent à ces valeurs de ^2» Ça» Sa» qui ne peuvent donc se rapporter qu'à des courants superficiels. D'ailleurs, les formules (6) expriment que la force électromotrice d'induction produite par le courant superficiel fait équilibre à la force électromotrice produite par le potentiel Çj^- ^a-

En dehors du fil, les équations (i) et (2) sont remplacées par les suivantes, si Ton suppose A = o,

/ Ar.^0, Af/'^o, Aij'=o,

Posons encore les formules (3), en accentuant les lettres #, ç, St ?» 0; puis, faisons

Alors le système des équations (7) pourra se partager en deux autres. Le premier système sera

àf,=o, A(?; = o, As; = o,

lYl»

dx dy dz c

et donne les équations (7), dont on a supprimé les deux derniers termes. Le second système sera

A#;=o, Ag;=o, as'.=o,

dx dy dz

Nous satisferons à ce dernier système en posant

^^-Tx' ^'-Ty' ^^-Tz' p étant une fonction qui satisfait à A/> == o. Posons ensuite l'équation

et 63 sera une fonction connue.

La fonction O^ sera donc une fonction déterminée à une constante

près par Téquation

et par la condition à la surface

d9^ dh\

pour R == fl',

Si l'on calcule O2, on aura ensuite ^2» Ça» Sa d'après les équations (6).

La fonction p n'est pas déterminée par ce calcul; de sa valeur on conclurait la nature de la couche de courant.

Pour R = a, on a

d^^ d9\ dc^i df^\ ^

donc

=zO

il en résulte que cfa et (/a sont nuls pour R = a. On voit de même qu'on a

-^ =1 o pour R — a,

3. Maintenant que nous avons remplacé les systèmes d'équations (i), (2) et (7) par d'autres semblables, dans lesquelles* les termes relatifs à l'entrée et à la sortie des courants ont disparu, nous pouvons appliquer la méthode d'intégration donnée aux n^* 10, 11 et 12 du Chapitre précédent.

Expression du potentiel ç. — La fonction ç est donnée par l'équation (3) (Chap. VIII, n« 10).

Pour avoir une solution particulière de cette équation, nous posons, comme en cet endroit,

et nous avons

Désignons par R la distance à l'axe des s, et regardons ç, comme ne dépendant que de R et z; alors, en posant

9i— (Hsin/>:; -h H'cos/?^)^,

nous aurons l'équation

La fonction qui satisfait à cette équation, sans être infinie pour R = o, est une fonction de Bessel, et, en posant

on a

En dehors du fil, on a et la solution qui correspond à Texpression précédente de ^ est

9'= (p',e<*'== vj^'e«'(Hsin^-s -+- H'cos/?-z\

^' étant une solution de l'équation

La fonction ^' ne se rapporte qu'à des valeurs de R plus grandes que le rayon a du fil; elle n'est donc pas assujettie à être finie pour R = o; mais nous la choisirons de manière qu'elle s'annule pour R = qo. Désignons par GQ(/?R) cette fonction, et nous aurons

9'= G Q(/?R)e«'(H sinpz -h H'cosj»^). Nous déterminerons la constante G d'après la condition

9' = 9 pour R = a,

et nous aurons ainsi

Qipa)

4. Expression de Q(R). — La fonction Q(R) satisfait à l'équation

qui a pour solution particulière J(R) et dont la solution la plus générale est, par suite,

en désignant par C et C deux constantes arbitraires. Pour que cette fonction ne soit pas infinie pour R = 00, il faut faire C' = o. Faisons donc

'^^^^='rm^''^

et, en remplaçant la fonction J par sa valeur,

on en conclura

On ne doit pas ajouter une constante au second membre, car la fonction J peut aussi se mettre sous la forme

J =z - I cosh(Rcos&))flfo.);

donc, quand R est très grand, J est de Tordre de e^^, en désignant par /

une constante positive; par suite, ^j^ est de Tordre de — jt-- Il n'y a

donc pas lieu d'ajouter au second membre de (a^) une constante correspondant à la limite supérieure de l'intégrale.

En multipliant l'intégrale (d) par J, nous obtenons

0(R) = -J(R)logR+?--t-^| + ^|V....

25o CHAPITRE IX.

On ne reconnaît pas ainsi facilement la loi des coefficients de cette série; mais on pourra l'obtenir de la manière suivante. L'expression

(e) / cosh{Rcosa))log(Rsin'w)c^(i>

est solution de l'équation (tr), et l'on peut la transformer dans une série de même forme que la précédente et dont on déterminera les coefficients en s'appuyant sur les formules

I logsina)e/w= - loga, / cosa/iw logsinûx/w =— ^>

oii/i est un nombre entier. Or l'intégrale (e) ne peut différer de Q(R) que par J(R) multiplié par une constante, et l'on déduit de cette comparaison

Q(R):r.-J(R)IogR+-^- + -^^4- (,;3),^ 4F+-- 5. Détermination du potentiel 6. -- On a l'équation

M^o ou —^^-^—=0.

Posons, pour abréger,

et faisons

0| satisfera à l'équation (6); nous aurons donc

0, — CJ(//R).

La fonction prise à l'extérieur, ou 0\ satisfait à la même équation qu'à l'intérieur, et l'on a

Enfin, on obtient une relation entre les deux constantes C et K, d'après

la condition

dQ dO'

dR = dR l^oavR^a;

ce qui donne

y y(pa) ^

les accents des lettres J et Q indiquant des dérivées,

6. Détermination de g. — Après avoir posé (Chap. VIII, n** H)

nous avons considéré la fonction

et nous avons obtenu pour ^, ç, S le système de valeurs

X, X,, Xa étant des solutions de l'équation

AX — ^X = o.

Occupons-nous d'abord de S. Posons

Xj = »/?(H cos/?5 — H'sin/75), et nous aurons

donc, en désignant par L^ une constante et posant

nous aurons et

X, = Lj J(^R)/?(Hcos/75 — H'sin/>5).

D'autre part, nous avons

[N.UR)^;cj(,R)],(Hcos;,.H'si„,.),

et nous obtenons enfin

5=[-NJ(^R) -icj(/>R)4-L.J(çR)]g.

Occupons-nous ensuite de 5'. Désignons, comme en Tendroit cité, par V une solution particulière de Téquation

At o . — o

et par X', X',, X'^ trois solutions de AX'= o; nous aurons Posons

T'=:0'(Hsin/><3 -H H'C0S/?5),

et nous aurons

Pour intégrer cette équation, considérons d'abord celle-ci

qui diffère de la précédente en ce que Q(/?R) est remplacé par Q(/?'R);

posons

(7 = DQ(/9'R)

et substituons dans l'équation précédente, nous obtiendrons cette solution particulière

de laquelle nous déduisons cette autre

„ ^ Q(/>^R)-Q(pR)

Alors, pour avoir une solution de l'équation (/), faisons tendre p vers p et remplaçons B par sa valeur; nous aurons

^^Aa J(^a ) RQ^(A>R)

Prenons ensuite

X; = C'Q(/?R)/J (U cos/>5 - H'sin/?s).

et nous aurons en définitive

Il nous reste à exprimer les deux conditions

ce qui nous donne ces deux relations entre les coeflicients

- N J ((g-o) - - C J (joa) + L, J (^a)

( -N5'J'(^a)-iC/>J'(pa) + L,5rJ'(^a) (B) / 1/ N