SUPERFICIELLE

66. Les formes fondamentales de l'étendue superficielle sont :

i^ Le plan ou l'espace quadrangulaire ;

2^ Le cercle ou l'espace circulaire ;

3** La bande ou l'espace linéaire ;

4^ L'angle ou l'espace angulaire.

La grandeur superficielle, ou l'à-plat, est homogène et uniforme; on n'a donc une perception réelle de l'étendue superficielle qu'autant que cette étendue est une portion d'un tout infini limité par une figure. Si la courbure peut être uniforme et déclinée, il n'en est point de même de l'à-plat; il faut ici l'artifice de la détermination, et c'est la quantité d'à-plat qui peut être uniforme ou déclinée dans les limites de la forme qui la contient. Cette homogénéité, cette uniformité essentielles à l'étendue superficielle nécessitent l'idée d'une coordination qui la gère, et c'est ce qui en détermine les quatre formes fondamentales.

I® Le plan. — Les coordonnées harmoniques du plan sont lès horizontales et les verticales, qui correspondent aux deux dimensions du plan ; puis les obliques ou les diagonales, qui participent des deux coordonnées fondamentales «t qui se com-

posent avec les deux dimensions du plan (parallélogramme des directions, analogue au parallélogramme des vitesses ou des forces) . Les obliques ont deux positions fondamentales, les obliques d'un côté et les obliques de l'autre, par rapport à la verticale ou à Thorizontale. Ce sont ces coordonnées naturelles qui limitent le plan, de sa nature illimité ; Thorizontale, la verticale et les obliques déterminent donc quatre systèmes de lignes qui, isolément, découpent le plan en segments qui sont des bandes ; combinés deux à deux, le découpent en segments quadrilatères, combinés trois à trois ou quatre à quatre, le découpent en segments quelconques, mais le plus généralement triangulaires (voir la théorie des réseaux. C'est cette décomposition harmonique du plan qui donne un caractère particulier à la décoration monumentale, par les joints qui résilient les murs ; à la décoration des parois des édifices et des objets mobiliers par les mosaïques, les pavements et les revêtements obtenus par la juxtaposition et l'ajustement de segments de plan.

2® Le cercle. — L'étendue superficielle étant rapportée à un point, on conçoit que cette étendue s'accroît uniformément et circulairement à l'entour de ce point. Les coordonnées harmoniques de l'espace circulaire sont les droites en nombre quelconque, toutes irradiant du point, et les circonférences concentriques en nombre indéfini, qui enveloppent l'espace circulaire. Les circonférences concentriques limitent l'espace circulaire, de sa nature illimité. Les rayons décomposent l'espace circulaire en espaces angulaires ou en girons. Ces deux systèmes de coordonnées réunis décomposent l'espace circulaire en segments quadrangulaires et curvilignes, qui sont les segments des couronnes déterminées par le système des circonférences concentriques.

3® La bande. — L'étendue superficielle étant rapportée à une ligne droite, est indéfinie en longueur ou linéairement, et finie, quoique illimitée, en largeur. Les coordonnées de la

bande sont la droite directrice et les lignes qui lui sont parallèles, puis les droites trans verses, droites ou obliques. Les deux systèmes des coordonnées analogues à celles du plan, décomposent la bande en segments quadrilatères analogues à ceux du plan.

4^ U angle. — Dans l'espace linéaire, Tétendue superficielle est uniforme; dans l'espace angulaire, Tétendue superficielle est déclinée depuis l'ouverture de l'angle jusqu'à son sommet, où cette étendue finit à rien. Suivant l'écartement des deux lignes, la déclination est lente ou prolongée, ou bien rapide et courte. En géométrie, on dit que l'angle est l'inclinaison de deux lignes et l'on mesure cette inclinaison par l'écartement circulaire de ces deux lignes ; figurativement, on appelle l'angle la figure déterminée par deux lignes qui se rencontrent ; ici, il faut entendre par angle l'espace superficiel compris entre deux lignes droites obliques l'une à l'autre, ou l'espace embrassé par le pli d'une ligne droite. Dans cette troisième ou quatrième acception du mot angle, on entend considérer exclusivement la déclination de l'espace angulaire. Les lignes et leur inclinaison ne font qu'imprimer un caractère de forme à cette déclination.

67. Pour se rendre compte des grandeurs, c'est-à-dire pour les apprécier mathématiquement ou architectoniquement, on les rapporte à une unité de mesure ou d'appréciation.

L'unité de mesure pour l'évaluation des grandeurs est le carré.

L'unité d'appréciation pour la contemplation des grandeurs est le cercle.

Entre toutes les formes fondamentales de l'étendue, seul, l'espace circulaire est absolu. Sa forme est absolue, et sa grandeur ne dépend que d'une seule dimension, la longueur du rayon d'extension superficielle. Parce que cette forme est la plus simple, en soi et par rapport à la condition physiologique de la perception de l'étendue, elle est naturellement l'u-

nité fondamentale de l'appréciation de l'étendue superficielle.

En géométrie, le principe de la mesure des aires, ou la détermination de la quantité d'étendue superficielle, consiste, après qu'on a défini Tunité de surface, à choisir pour cette unité la surface du carré dont le côté est l'unité de longueur, puis à établir la règle fondamentale pour mesurer la surface d'un rectangle quelconque ; de là on passe algébriquement à l'établissement d'une formule générale, qui contient virtuellement toute la théorie des quadratures. Et cela est fondé en raison, car l'étendue superficielle se compose avec l'élément superficiel infiniment petit, de forme rectangulaire, c'est-àdire de forme homogène aux deux dimensions de l'étendue. C'est par la variation en grandeur de ces deux dimensions que l'étendue superficielle varie en grandeur, et c'est par la forme rectangulaire que l'on a prise sur cette variation. Entre tous les rectangles, le carré est une forme absolue et invariable. Les deux dimensions y étant égales, c'est donc Tunité naturelle de mesure, et toute la théorie des quadratures consiste dans la sommation des rectangles infiniment petits dont les quotités infiniment grandes ou les quantités (lesquelles quantités rapportées à l'unité ou au carré peuvent s'exprimer en nombre) remplissent les figures. L'artifice du géomètre qui veut appliquer le calcul à la détermination géométrique des formes, consiste à substituer à la coexistence des coordonnées hétérogènes ou harmoniques à ces formes, le concours de coordonnées homogènes ou conformes aux dimensions de l'étendue. Si donc, à l'aide des données de la science mathématique, on peut déterminer une loi qui relie les coordonnées homogènes et qui les rende fonction les unes des autres, on transformera une forme pour les yeux en une forme pour l'esprit, et la méthode, la logique et le calcul s'y pourront appliquer.

En outre de cette méthode générale et tout à fait rationnelle, c'est-à-dire conforme à la nature des choses, et à la logique générale, et qui domine tous les faits particuliers, les géomè-

très ont eu recours, bien antérieurement à la découverte des règles générales de l'intégration, à des constructions particulières pour trouver la mesure des aires du triangle, du trapèze, du cercle, et en général des figurés dont on s'occupe dans les éléments de géométrie. Ces procédés très-particuliers et plus immédiatement adaptés au but spécial que Ton poursuit, constituent la méthode que Ton qualifie de synthétique, par opposition à la méthode générale et analytique. De ces deux méthodes également intéressantes, Tune, la géométrie analytique, est conforme à la théorie des grandeurs, et embrasse dans des formules générales tous les faits particuliers ; l'autre, la géométrie synthétique, s'adapte plus immédiatement à l'individualité ou à l'individualisation des formes, les détermine une à une et les compare de proche en proche.

A la méthode générale ou analytique, répondent l'application générale du système des coordonnées rectangulaires et la mesure de l'étendue par la sommation infinitésimale à l'aide du calcul intégral. A la méthode synthétique répondent les systèmes particuliers de coordonnées plus immédiatement adaptés à Tespèce des formes particulières, et la mesure immédiate de l'étendue par les dimensions géométriques propres à l'espèce des formes particulières.

68. En archîtectonique , où les éléments sont si différents, l'analogie avec les procédés mathématiques se soutient pourtant, et il y faut distinguer également deux méthodes d'appréciation. De même qu'en géométrie, l'unité de mesure ou le carré est commune aux deux méthodes, de même en archîtectonique l'unité d'appréciation ou le cercle est commune aux deux modes d'appréciation. Le premier, très -général, consiste à remplir le nu ou l'à-plat des formes par des cercles tangents entre eux et tangents aux lignes de la figure ; la corrélation de ces cercles entre eux et la comparaison de leurs à-plats déterminent l'appréciation esthétique de l'à-plat général de la figure. Si la forme est complexe ou composite, on la décom-

pose en ses formes constituantes ou parties élémentaires, et Ton apprécie chacune d'elles par la méthode générale, puis, reconstituant la forme intégrale et Tembrassant dans une forme-enveloppe générale, on apprécie celle-ci dans sa totalité. Le second mode, variable avec la nature de la figure, considère particulièrement les dimensions déterminantes^ jcelles qui frappent immédiatement; par exemple, un rectangle est déterminé le plus immédiatement par ses deux dimensions, la longueur et la largeur, qui peuvent être dans un rapport quelconque : indéterminé si les dimensions sont peu différentes, ou déterminé si les dimensions sont franchement différentes, ou enfin multiple si une dimension se compose linéairement et numériquement avec l'autre. Par le premier mode, on ne considère plus que Tà-plat et sa proportion générale, dont on se rend compte par les cercles tangents, ou peut-être plus aisément par Tapplication immédiate des formes fondamentales des à-plats (n** j5).

Appliquant la méthode générale à l'appréciation des formes fondamentales de l'espace, c'est-à-dire à la bande et à l'angle seulement, puisque le plan échappe à toute limitation et que le cercle est l'unité même, nous obtiendrons, conjointement à l'application du principe, une définition exacte de ce qu'on doit entendre par la déclination d'à-plat. En inscrivant des cercles tangents entre eux et aux limites de la bande, tous ces cercles sont égaux et la prolongation indéfinie et uniforme de la bande est caractérisée par la répétition indéfinie et uniforme de l'aréole circulaire (i). Il faut entendre ici que ce moyen est artificiel, car on a la perception . immédiate de l'étendue linéaire et uniforme, sans que cette aide de l'inscripiion des cercles soit nécessaire. Pour l'angle, ce moyen est également artificiel, mais il offre cet avantage incontestable de bien mettre en évidence son caractère essentiel, celui de la déclination (2), (3). Suivant que l'angle est aigu ou obtus, c'est-à-dire surélevé ou surbaissé, appointé ou rampant, la déclination de l'espace y est suivie ou rampante, c'est-à-dire simple ou récurrente,

c'est-à-dire unilatérale ou collatérale. Ces deux angles ont un axe de symétrie qui se confond dans Tangle aigu avec la direc-

Fig. 12.

trice ou Taxe linéaire et dans Tangle obtus avec la hauteur, la directrice proprement dite y étant horizontale (fig. 12 .