LES DÉLINÉATIONS POLYGONALES DÉRIVÉES

104. Il faut concevoir les contours des figures polygonales comme engendrés de deux manières : la première, conforme au cours linéaire, considère des lignes qui se suivent bout à bout sous [une inclinaison quelconque ; la seconde ^ conforme au diagramme de la disposition ou à Tordre circulaire, considère les côtés ou les plis angulaires comme répartis régulièrement autour d'un point ou centre.

L Construction générale des délinéations polygonales. — Les éléments irréductibles et derniers des délinéations polygonales sont les angles et les côtés ou segments de droite, ces segments se succédant bout à bout en faisant successivement des angles entre eux. Les segments sont variables en grandeur linéaire et les angles sont variables en grandeur angulaire. Il faut donc considérer séparément ou simultanément les angles et les segments qui délimitent ces angles -, les segments peuvent être uniformes ou variés, les angles peuvent être uniformes ou variés : ce qui donne lieu à quatre modes de génération des délinéations polygonales.

!<> Des segments égaux et des angles égaux. — Partant d'un segment quelconque mais fixe, et d'ua angle quelconque mais fixe, puis traçant ou répétant successivement ce segment et cet angle, on obtient en général deux sortes de figures polygo^

nales : des polygones réguliers convexes, ou des polygones étoiles continus. Si par exemple Tangle adopté était celui de Toctogone on aurait Toctogone convexe ; si Tangle était celui du pentagone étoile, on aurait le pentagone étoile.

2® Des segments égaux et des angles variés. — Si les segments uniformes se succèdent bout à bout en sUnclinant sous des angles successivement de plus en plus petits ou de plus en plus grands, on obtient un contour polygonal décliné qui inscrit ou circonscrit une recourbée (fig. 74). Les angles peuvent être va-

f ig- 74.

ries de toutes les manières, soit uniformément ou par une déclination régulière, soit d'une manière variée, les angles étant égaux de deux en deux, etc.

3® Des angles égaux et des segments variés. — Les segments

Fig. 75.

diminuant régulièrement de grandeur en même temps qu'ils s'inclinent toujours sous un même angle, déterminent un contour polygonal recercelé, qui inscrit ou circonscrit une recourbée ou un enroulement. Si les segments étaient égaux par deux et que les angles fussent droits, le contour inscrirait un enrou-

MATÉRIAUX ANALYTIQUES. i65

lement à intervalle spirulaire égal et uniforme. Si les angles sont ceux du trigone, du carré, du pentagone, de Thexagone, etc., on obtient les enroulements rectilignes qui sont inscrits dans ces figures (fig. yS).

4® Des angles variés et des segments variés. — En même temps que les angles varient de grandeur, les segments varient de grandeur, et la figure inscrit une recourbée qui peut aller se prolongeant jusqu'à Tenroulement selon les degrés de la progression (fig. 76). Cette déclination inscrit aussi une boucle,

Fig. 76.

et la progression du la déclination se continue en sens contraire selon la variation des grandeurs angulaires.

Ce dernier mode de génération le plus complexe (par opposition aux modes logiques qui précèdent)* et le plus naturel parce qu'il est le plus simple et se prête le mieux à toutes les variations, existe virtuellement au fond de tous les tracés spontanés qui déterminent les dessins des crosses de Tornement, des doucines dans les moulures, des panses de vases, etc.

On peut considérer ces délinéations comme obtenues par la succession de plis angulaires uniformes ou variés juxtaposés par un côté, ce qui implique une directrice qui gère et contient la succession des plis. En prolongeant les segments de toutes parts, on obtiendrait des délinéations compliquées qui correspondent aux polygones étoiles.

II. Construction générale des délinéations polygonales rectilignes ou curvilignes. — Les côtés des polygones appartiennent par moitié à chacun des angles. On peut donc considérer ces polygones comme déterminés par la répartition circulaire de plis dont Taxe de symétrie coïncide avec les rayons du diagramme de disposition. Si Ton part d'un pli quelconque et d'un

i66 THÉORIE DE L'ORNEMENT.

diagramme de radiation quelconque aussi , la bissectrice de Tangle se confond avec la bissectrice des girons, et les extrémités de l'angle déterminent une corde commune au pli et au giron. Ces plis peuvent être orientés dans un sens ou dans Fautre, c'est-à-dire qu'ils peuvent avoir leur sommet tourné vers le centre ou vers la périphérie. Si l'angle est déterminé conjointement avec la radiation du diagramme , on a un polygone déterminé ; par exemple, l'angle du trigone, distribué suivant la radiation ternaire, donne un trigone, distribué suivant la radiation senaire, il donnerait l'étoile hexagonale, etc. Si cet accord ou cette adaptation géométrique n'existait pas, la révolution circulaire accomplie, le contour ne serait pas fermé exactement; et si l'on prolongeait la révolution, il y aurait pénétration de plis les uns dans les autres, comme dans les polygones étoiles. Un contour polygonal étant tracé, on peut en tirer de nombreuses figures dérivées par le rabattement des angles; c'est ce que nous allons montrer sur les deux exemples de l'octogone et de Thexagone. Partant de l'octogone, si l'on rabat deux plis opposés, on a lafig. i ; si l'on rabat les quatre plis, on a la fig. 2;' si prenant les points milieux des côtés on rabat les 8 angles, on a la fig. 3 ; si on le rabat seulement de deux en deux, on a la fig. 4; la fig. 5 est obtenue de la fig. 2, par le rabattement des angles rentrants. La fig. 6 est obtenue de la fig. 3 par le rabattement des angles de deux en deux. La fig. 7 est obtenue de la fig. 3 par le rabattement de tous les angles. La fig. 8 est tirée de la fig. 7 par le rabattement en dedans des angles saillants. La fig. 9 est obtenue de la fig. 7 par le rabattement des angles rentrants droits, etc. Si l'on envisage l'à-plat de ces figures, on voit que ces rabattements successifs reviennent à détacher des losanges de la figure ; ces losanges ont pour côté le côté de l'octogone primitif, ou la moitié de ce côté.

Partant de l'hexagone et prenant les points milieux des côtés, en rabattant les angles, on a la fig. i ; les rabattant seule-

ment de deux en deux, on a la fig. 2. Partageant les côtés en trois parties égales, et rabattant les angles, on a la fig. 3 ; ra-

Fig. 77.

battant de deux en deux les saillies hexagonales de la fig. 3, on a la fig. 4, etc. — Du dodécagone et en général de tous les autres polygones on obtiendrait des figures infiniment variées, mais dont le détail serait trop long et trop monotone pour que nous nous y arrêtions davantage.

I o5 . Si après avoir partagé en deux parties les côtés de la figure, on développe le contour en ligne droite, on aura une suite de zigzags qui revient à une suite d'angles répétés les uns à la suite des autres. A Tinverse^ une engrêlure rectiligne étant repliée circulairement, engendrera, suivant Tespèce de l'angle, un polygone convexe ou un polygone étoile. Ces engrêlures ont un axe de symétrie, qui est la directrice droite ; les contours circulaires devront donc avoir aussi une directrice circulaire, qui est un polygone de l'espèce de l'angle. On aperçoit maintenant la liaison de l'ordre linéaire avec l'ordre circulaire, et toutes les rangées, alignements et engrêlures pourront avoir une directrice droite ou circulaire.

En général, si partant d'une droite on la conçoit comme subdivisée en parties égales, et qu'on replie ses segments sous des angles déterminés, on engendrera les lignes brisées à directrice rectiligne, les polygones convexes et les polygones étoiles. Si les segments étaient variés et que leur grandeur suivît une déclination régulière, en les repliant sur des angles conformes, on obtiendrait des recourbées polygonales. Il y a

i68 THÉORIE DE L'ORNEMENT.

donc comme un lien de nature qui rapproche la droite, la ligne brisée, le contour polygonal, le contour étoile, et la recourbée polygonale ou rectiligne. De plus, rien ne limitant à priori la subdivision de la droite, on en conclut qu'esthétiquement la transition est continue qui relie la ligne droite à la ligne courbe. Les termes extrêmes de cette analogie sont : la droite et la circonférence, et moyennant les deux principes de la répétition et de la déclination et les trois modes de construction, la succession linéaire ou le rabattement, la succession circulaire ou le gironnement pour la répétition, et la succession spirulaires ou l'enroulement pour la déclination; toutes les figures polygonales rectilignes ont leurs analogues dans les figures curvilignes, continues, ou discontinues, uniformes ou variées. Toutes ces figures curvilignes sont obtenues en substituant des arcs aux droites et des rebroussements, des raccords ou des bouclements aux plis angulaires.

A un arc quelconque répond un contour polygonal quelconque uniforme.

A une recourbée répond un contour polygonal quelconque.

Aux polygones quelconques convexes ou étoiles répondent toutes les rosettes empiriques ou géométriques, les guillochis de rindustrie, les épicycloïdes ou trochoïdes obtenues par des moyens mécaniques, et qui sont fort peu intéressantes partout ailleurs que dans le milieu spécial et ennuyeux où elles éclosent. Nous n'insisterons pas plus longtemps, il nous suffit de signaler cette analogie générale qui subsiste indépendamment de l'usage bon ou mauvais qu'on en peut faire.

SECTION (QUATRIÈME

l'étendue et les formes corporelles.

106. On a la perception ou Tintuition immédiate des formes corporelles qui existent dans Tétendue. Pour les préciser et les définir on les conçoit comme déterminées par la subordina* tion de Tétendue à des coordonnées. Ces coordonnées sont de plusieurs espèces : les coordonnées mathématiques ou les dimensionsy qui déterminent la quantité de grandeur ; les coordonnées géométriques, qui déterminent l'espèce de la forme par la considération de Tordre et de la situation ; les coordonnées esthétiques, qui déterminent le sens esthétique de la forme ; les coordonnées harmoniques, qui se rapportent à Tindividualité ou à Tindividualisation des formes. . L'étendue homogène a trois dimensions de même nature et essentiellement uniformes, la grandeur de ces dimensions mesure retendue ; à ces trois dimensions correspondent trois coordonnées qui déterminent Tordre et la situation dans Tétendue, telles sont les coordonnées mathématiques à la fois numériques et géométriques.

L'étendue au sens esthétique a trqis dimensions qui déterminent la grandeur de cette étendue ; suivailt que Tune des dimensions ou deux dimensions ensemble dominent, Tétendue

n'est pas seulement plus grande dans le sens de ces dimensions, mais elle a encore un caractère esthétique différent ; donc, en ce sens, les dimensions elles-mêmes de Tétendue ne sont déjà plus homogènes ou de même nature. A ces trois dimensions qui caractérisent les formes de Tétendue, correspondent trois coordonnées qui déterminent Tordre, la situation et le sens de cette étendue. Ces trois coordonnées sont essentiellement uniformes ; ce sont : la hauteur, la largeur et la profondeur. Telles sont les coordonnées géométriques, à la fois mathématiques et architectoniques , qui déterminent la grandeur et la forme.

L'étendue, au sens purement esthétique, a pour coordonnées : la verticale, ou Tordre vertical, qui se compose d'une base ou d'un départ et d'un intervalle qui relie la base au sommet ; à cet ordre vertical, ou de bas en haut, correspondent les épithètes esthétiques de hauteur, d'élévation, d'altitude, etc.; l'horizontale, ou Tordre horizontal, qui se compose de la subordination symétrique des parties situées à droite et à gauche de chaque côté de la verticale ; à cet ordre horizontal correspondent les épithètes de front, de façade, etc. ; enfin la sagittale, ou Tordre sagittal, qui se compose de la subordination symétrique des parties latérales et des parties successives, dans le sens de l'arrière et de l'avant *, à cet ordre sagittal correspondent les épithètes de profondeur, de fuyant, etc. Ces coordonnées, essentiellement hétérogènes miais harmoniques à la nature de l'homme, sont à la fois architectoniques et esthé; tiques. Ce sont ces coordonnées qui gouvernent l'ordonnance monumentale et qui déterminent les formes esthétiques.

Les formes particulières de Tétendue ont en outre deux sortes de coordonnées qui les déterminent essentiellement : les coordonnées géométriques ou génératrices des formes, et les coordonnées spécifiques et harmoniques à l'espèce esthétique de la forme.

Les coordonnées harmoniques sont à la fois géométriques

et esthétiques, elles déterminent les formes esthétiques individuelles et le plan de décoration qui leur est corrélatif.

107. S'il est facile de tracer sur un plan des lignes courbes ou des figures quelconques, dont on connaît un nombre fini de points, on manque de procédés commodes pour figurer dans Tespace une surface dont on ne connaît qu'un nombre fini de points, ou même une surface dont on connaît la loi de génération ; et cette difficulté a fait naître la branche de géométrie à laquelle on a donné le nom de géométrie descriptive, dont l'objet est de ramener les constructions qui devraient se faire dans l'espace à des opérations graphiques sur un plan.

Cette difficulté de représentation réelle quand il s'agit de déterminations mathématiques rigoureuses est comme non avenue au point de vue de l'art, par cette raison topique que, dans les arts, les surfaces réelles ou les formes sont ouvrées directement par une manutention plus ou moins simple et plus ou moins mécanique selon que cette surface est plus ou moins définie. Toutes les idées de définitions géométriques, de manutention mécanique et de traduction graphique sont accessoires et ne font que s'adapter avec plus ou moins d'àpropos et de mesure à la notion plus générale et tout à fait innée de surface ou de forme.

Examinons donc cette notion, en nous appuyant essentiellement sur la réalité corporelle et palpable, corrélative au toucher actif. Une surface modelée d'une manière arbitraire comporte à tous les degrés des variations continues de courbure, la courbure variant quant à la grandeur et quant à l'accent. Toutes ces variations de courbure se suivent ou s'infléchissent les unes les autres, ce qui détermine une suite d'ondulations, de concavités ou de convexités. Sur une telle surface on peut concevoir une infinité de lignes planes à courbure continue et infléchie, plus généralement des courbes planes et des courbes à double courbure. Ces lignes peuvent être tracées d'une manière arbitraire ou résulter d'un système de sections.

comme, par exemple, celui qui serait obtenu par une série de plans parallèles, ce qui est le procédé le plus général et qui détermine des courbes de sections ou des lignes de niveau. Ces lignes projetées sur un plan déterminent une représentation topographique de la surface.

Une surface taillée d'une manière arbitraire comporte également et à tous les degrés des variations de courbure et des inflexions, mais spécialement cette surface peut présenter aussi d'autres particularités : des facettes planes où la courbure est nulle ; des arêtes déterminées par le passage brusque d'une facette plane à une autre facette également plane , ou d'une facette plane à une concavité ou à une convexité : ces arêtes sont ou rectilignes, ou curvilignes, ou volubiles; des points saillants, des sommets déterminés par des saillies arrondies ou par la rencontre de trois ou plusieurs segments de- surface; des segments plans ou arrondis, etc., etc.

io8. Entre toutes les surfaces arbitraires modelées ou taillées, on distingue des surfaces dénommées d'une manière usuelle par analogie avec des formes connues et qui nous sont familières, ou théoriquement définies par un mode de génération mécanique, géométrique ou architectonique.

La définition géométrique d'une surface consiste à assigner la loi de la description de la surface par une ligne, soit que la ligne se meuve simplement dans l'espace sans changer de forme, soit qu'elle change de forme en même temps qu'elle se déplace. En général, on appelle lignes directrices celles sur lesquelles s'appuie la ligne génératrice pour décrire une surface déterminée. Toutes les espèces de surface définies quant à leurs caractères génériques sont comprises dans la classification suivante :

MATÉRIAUX ANALYTIQUES. lyS

r* classe. — Surfaces réglées.

Ces surfaces planes ou courbes sont engendrées par le mouvement d'une droite; cette classe comprend :

I® L'ordre des surfaces développables ; 2® L'ordre des surfaces gauches.

L'ordre des surfaces développables comprend principalement :

I® La famille des surfaces cylindriques; 2^ La famille des surfaces coniques.

ir classe. — Surfaces -enveloppes.

Celte classe comprend principalement ; • i^ L'ordre des surfaces de révolution; 2® L'ordre des surfaces-canaux.

C'est là une classification très-rationnelle si l'on veut, mais exclusivement basée sur des conceptions géométriques et spéciales à la science pure. Une surface définie n'est point cantonnée exclusivement dans telle case de la classification, elle peut appartenir à plusieurs de ces groupes : ce qui revient à dire qu'une forme quelconque, même considérée au seul point de vue géométrique, admet bien autrement de diversité ou de caractères particuliers qu'il n'en est indiqué dans la classification. Ainsi, le cylindre droit ordinaire est à la fois une surface réglée parce qu'on peut le concevoir comme engendré par une droite ou génératrice qui se meut parallèlement à elle-même, suivant un contour ou une directrice circulaire ; une surface enveloppe ou surface -canal, parce qu'on peut le concevoir comme engendré par la progression uniforme d'un cercle ou d'une sphère suivant une directrice droite. De plus, le cylindre est une surface développablc parce qu'on en peut étaler la

174 THÉORIE DE L*0RNEMENT,

surface sur un plan, c'est aussi une surface de révolution qui peut être décrite par une droite ou un rectangle, etc.

109. Voici une autre classification également artificielle, mais pourtant moins abstraite, et serrant de plus près le vrai si abondant et si divers.

Toutes les surfaces, et plus généralement toutes les formes, peuvent être conçues comme engendrées par la progression d'une ligne ou d'une figure plane, suivant une directrice. Cette progression est uniforme ou déclinée ou variée, suivant les différents profils qui guident et circonscrivent l'étendue du mouvement générateur. De plus, ces formes sont rapportées à un plan de construction ou de coordination symétrique.