CHAPITRE XII

LES POLYGONES ASSEMBLES.

102. D'après Fexdmen précédent, ori peut tonchire quà rinverse, des figures polygonales sont assemblées et déterminent des figures composées. Deux triangles ou quatre triangles détermineront un quadrilatère. Des triangles isocèles détermineront des polygones convexes, et des coins ou des losanges

Fig. 54.

détermineront des polygones étoiles. Mais pour cette composition synthétique, une condition est absolument nécessaire, c'est que les figures aient des angles tels, que réunis autour d'un même point, leur somme soit égale à quatre angles droits

MATÉRIAUX ANALYTIQUES. lig

c est-à-dire que juxtaposés ils ne laissent aucuh vide. A cette condition, on peut assembler autour d'un même point un certain nombre de figures égales, quand Tangle de la figure est une fraction exacte de 4 droits, ou de figures différentes, si ces angles s'ajoutent et forment une somme égale à 4 droits.

On peut assembler autour d'un point, 6 trigones, 6 ou 3 losanges trigones, 3 hexagones. Les parallélogrammes, les rectangles, les losanges et les carrés s'assemblent au nombre de 4 autour d'un point (fig. 54 et 46).

Pour les figures différentes, les assemblages fondamentaux sont les suivants.

Fig. 55. Fig. 56.

1° 2 hexagones et 2 trigones (fig. 55).

2® 2 dodécagones et i trigone (fig. 56).

Fig. 57.

Fig. 58.

3*^ I hexagone, 2 carrés et i trigone (fig. 57). 4^ i dodécagone, i hexagone et i carré (fig. 58;.

Fig. 59.

5^ 2 octogones et i carré (fig. 59).

6^ 2 losanges et 2 carrés (fig. 60).

yo 2 rectangles et 2 carrés (fig. 61).

8° 2 losanges et 2 rectangles (fig. 62) .

Fig. 61.

Fig. 62

9^ I décagone et 2 pentagones (fig. 63).

io<^ I pentédécagone, i décagone et i trigone (fig. 64).

Fig. 63.

Fig. 64.

Un hexagone enveloppé de 6 carrés et de 6 trigones donne un dodécagone. L'assemblage du dodécagone et du trigone revient donc à l'assemblage des quatre figures de Thexagone, du carré, du trigone et du losange trigone.

Le 6® assemblage est variable suivant Taccent du losange ; le 7® est variable suivant la proportion du rectangle ; le 8® est variable par la variation simultanée d'un losange et d'un' rectangle.

Les huit premiers assemblages peuvent se répéter indéfiniment sur toute la surface du plan.

Le 9® assemblage est fini et composé d'un décagone avec une couronne de pentagones. Le 10® assemblage est également fini et se compose seulement de quatre figures , un pentédécagone^ un décagone et deux trigones.

lOl

On pourrait encore assembler autour d'un même point un dodécagone, un octogone mi-régulier dont les axes sont transverses et un triangle isocèle (angle du dodécagone s= ^y angle de Toctogone = -; angle de Tisocèle -, celui du sommet étant

égal à l. Somme, | + | + | = ^ + g + ^ = ?/= 4 droits). Cet assemblage serait indéfini (fîg. 65).

Fig. 65.

io3. Les polygones dérivés par le rabattement des angles se peuvent aussi assembler et donnent lieu à des combinaisons infiniment variées. Nous prendrons pour exemple quelquesunes des figures dérivées de Thexagone et de l'octogone.

Pour l'hexagone , on assemble 2 hexagones et deux étoiles hexagonales (fig. 66) ; i hexagone, une étoile, i dodécagone à

Fig. 66.

Fig. 67.

Fig. 68.

Fig. 69.

trois angles rentrants (fig. 67) -, i hexagone, i pairie hexagonal et une rosace de six saillants hexagonaux (fig. 68); i hexagone, une rosace de 7 hexagones assemblés, i pairie de 4 hexagones assemblés (fig. 69).

Les figures composantes peuvent se décomposer, à leur tour, en trigones, en losanges trigones et en hexagones, et finalement en losanges trigones dont le côté serait le plus petit de tous les

ibi THÉORIE DE L^ORNEMENT

traits des figures, et qui assemblés par trois, par 6, par g, par 1 2, en général par multiples de 3, reproduisent toutes les figures composantes.

Pour Toctogone, on assemble : 4 octogones à deux angles rentrants (fig. 70) ; 2 octogones et 2 étoiles à quatre pointes (fig. 71) ; I octogone, Toctogone étoile de 2 carrés et le polygone

Fig. 70. Fig. 71. Fig. 72. Fig. 73.

de 16 côtés à quatre saillants fig. 72] ; le premier octogone étoile, 2 octogones et ultérieurement un carré (fig. 73), Cet assemblage réduit à l'étoile et aux 2 octogones donnerait une disposition finie composée de Tétoile et de 8 octogones répartis circulairement ; mais moyennant Tinsertion d'un carré, l'assemblage devient indéfini et applicable sur toute l'étendue du plan.

Nous nous en tiendrons à ces seuls exemples , laissant à nos lecteurs le soin de les développer et de les étendre au gré de leurs caprices et de leur fantaisie.

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