O 2 CL

(a) 5 = /i -f- 2asin- 4- -^—

I — cos' -

(l~h a:) sm-

h étant une constante à déterminer.

Regardons / comme connu et désignons par q la distance des deux lames qui est donnée; si nous faisons <p = tu — j, nous aurons

q—.h~\- 2acos~ -h

, I — sin'-

cos-

cette équation déterminera h.

En supposant la lame supérieure de même nature que la lame inférieure, on aura en même temps

et, par suite,

1 — cos' -

= /ï4-2asin h -rrj,

l 'iO} 2

sm-

équation qui ne renferme que /'d'inconnue, mais qui ne pourrait servir à la déterminer avec assez d'approximation.

Mais, d'après le calcul du n^l2, nous avons, pour la distance l-hœ,

TZ l

:~ i h2a cos - 4- a log lang ^ — 2 a sin - — a log tang —j -|J/— î— H-4sin'î-3loglang|

\ 2 cos' j

-^ pTi i ' ■+" 4 cos' 3 log tang

6/1 .Tt — / 2 °®4

■ 2 cos'

et, en y faisant 9 = 1,

/' — /-f- 2a (cos sin- j -f-alogtangy — alogtang — -, —

6/1 ,* 4sin'--31ogtang^

On obtiendra le rayon L du plus grand parallèle de la goutte, en faisant <p = - dans l'expression de r; puis on aura la distance/ de ce pa-

rallèleau plan supérieur, en faisant 9 = - dans (a), et Ton obtiendra

15. Cherchons la formule qui exprime le volume de la goutte. Nous avons l'équation

Désignons par dn un élément de la surface libre de la goutte, par y l'angle de la normale intérieure avec l'axe des z et par dn la projection de dn sur le plan des x^ y; nous aurons

=^±:da:dy=z± do'.

ces Y *^

suivant que y sera aigu ou obtus. Multiplions l'équation (6) par lii de' et intégrons dans toute l'étendue de la surface courbe, nous aurons

(^) '^'/^ (s -^ if.) ''''=/^ -" ^''- ''H<

les éléments ayant le signe -h ou le signe —, d'après ce que nous venons de dire. Nous aurons ensuite

I ztzdd' - — vol A bcd 4- vol bcA'—— {yolAbcd -hvolDAc^O —vol bck')-\nPq^

GOUTTE 1) t N LÎOUIDE SUR UN PLAN HORIZONTAL. I/p

en incliquant les volumes de révolution par les surfaces qui les engendrent. Si nous désignons par V le volume de la goutte, nous aurons

Pour calculer la première intégrale de l'équation (c), imaginons, comme au n° 9, une surface infiniment voisine de la surface courbe, parallèle et située au-dessus, h la distance e; de plus, terminons-la aux normales menées à la première surface le long de ses bords. Désignons par P la projection de la première surface sur le plan des x^ y et parP' la projection de la seconde surface. Nous aurons

f-^{k^wy—\^'"-^^'

Projetons les deux surfaces parallèles et les surfaces latérales des deux troncs de cône qui les unissent sur le plan des x, j, nous aurons

— 2u/£sin/ -i- P -h2T:/'£sin£ — P' — o ou

-(l>'-I>)=z3r(/'-/)sin/.

Remplaçons dans (c) les trois intégrales par leurs valeurs, et nous aurons

{d) y — (q — h)Tzl'- 2T.{1 - l' ) a^ ^ini -h /itJ'K

16. Supposons qu'on connaisse le volume V de la goutte; pour déterminer sa figure, il faudra déterminer /, /' et h. Posons

A --2 (cos- — sin- ) -h loglang y -- loglang^^^^S

B-- ; -h/|Sin* 3 loglang, —4 cos*- -i-31og(ang -7^^

2 COS* T 2 cos-

I — SIII"*-

L 1:1: 2 cos r ,, , : 1