La fonction r satisfait à l'équation différentielle

et nous nous proposons de déterminer les points critiques de cette fonction de X,, afin de savoir dans quelles limites elle est développable suivant les puissances de ^

11 est d'abord aise de voir que le sommet de la courbe qui a pour coordonnées (a: = o, s = o) est un point critique et que la fonction est développable à partir de ce point en une série de la forme

/•m: A, 5*4- Aj 5* 4- A3 5* H-

On a aussi un point critique correspondant à

dry

En effet, aux environs d'un tel point, le second membre de l'équation (A) est très petit en comparaison des termes du premier membre, et cette équation se réduit sensiblement à

Intégrons cette équation, et, en désignant par G et G' deux constantes arbitraires, nous avons

l82 CHAPITRE V.

et, puisqu'on doit avoir, si l'on suppose le point à l'origine des coordonnées,

dr

-p ~± i pour ç — o, en faisant i - V— i, il en résulte

et la valeur de r devient, pour la même valeur de C,

/• — C COS - rrz O.

dr

On a ainsi deux points doubles, pour lesquels -^r = dr /, et, en désignant par a et p deux quantités réelles, on peut représenter les coordonnées de ces deux points par

5 = a 4- pi, 7=0,

Zrrr. 7, — p /, /' -m O.

L'expression (B) de r peut s'écrire

OU, en changeant C en -

Nous pouvons prendre cette expression pour le premier terme d'un développement et poser

(C) / izzC/sin^ -f- D sin'^^, 4-Esin«^, +Fsin"^^ -h....

Vi vj Vi Li

Si ^ a un petit module, on peut remplacer dans (A) ^ par son développement suivant les puissances de sin^r»

C( smrr ~h ^ sm'r^ -h. . . 1,

et en prenant le radical du second membre de (A) avec le signe ±, puisqu'il s'annule en ce point, on aura, si Ton désigne par A' la valeur imaginaire

que

prend h

en ce

point.

II' O a^ lo

-hiGD-