II II

En raisonnant comme nous avons fait n** 8, nous trouverons pour le volume de la goutte

V^a'Xsini- (l^ -^ q\\^^

en désignant par q la hauteur de la goutte, \ le contour et B la surface de la base.

Il est utile de remarquer que, lorsqu'on aura calculé la figure d'une

goutte (l'un liquide, on en pourra conclure la figure d'une correspondante d'un autre liquide quelconque. En effet, d'après les formules (a),

^ et T ne dépendent de a et h que par le rapport -• Par conséquent, à

une goutte du premier liquide correspondra une goutte semblable du second liquide.

37. Application I. — Nous allons déterminer avec une grande précision la figure d'équilibre d'une goutte d'eau suspendue à un tube dans la supposition que le rayon de courbure b au sommet soit égal a 2'

Fig. 39. — Échelle lo.

.mai

Faisons donc 'aaurons

= 7,5 et appliquons d'abord les formules (a), nous

Z:rr ïï>- -f- 0,Ol67Cp*-f 0,©078cp'-f- 0,OOl63cp',

/'zn:

20 — Oj20'

o,oo4oo'— o,ooo35<p''.

Faisons 9 = -, et nous aurons

ainsi le plus grand rayon de la goutte est 2*"",3i6. Ces coordonnées correspondent, sur Vàfig. 39, au cercle aa'. Pour ç = ^> on a

x;r::z 0,625, rizi 1,478,

ce qui correspond au cercle bh\

Appliquons ensuite les formules [b) et [d)\ nous aurons

C=:^2,3l6, H:=^2,8o6 — 7,5=:— 4>^4» m,=zo,

et nous trouverons

--jL = — o,i94oÎ4- o,o666Ç* — o,ooo4P--o,oo4i î*.

Nous en concluons

Pour Ç=^ 0,5 ou -3:=3,3o6, /• 1=2,295,

Ç=ii 3=1 3,806, /• 1=2,241,

Pour ^ = 2, la série qui donne -rp n'est pas suffisamment convergente; mais cette série est égale à — 0,121 pour ^= i,5. Appliquons donc les formules (6) et (c) à partir du pointe correspondant à 2^= i,5; nous aurons

c»=i 2, 179, H =:4j3o6 — 7,5 =:— 3,194, cmj=i— 0,121, et nous trouverons

/•=! 2,179 — 0,121 Ç-f o,oi52i*-f- 0,0272 C

-rr =1—0,121 4-o,o3o4î4-o,o8i6ï*;

—— =zo,o3o4-l- o, 1632Ç.

La première dérivée est nulle sur le cercle de gorge et pour

et la seconde dérivée est nulle au point d'inflexion pour

ï=zz — 0,l86, w:iz:4,I20, /•=:2,202.

Appliquons les formules {b) et {d) à partir du cercle de gorge dd'; nous aurons

C =: 2 , I OO, H — — 2 , 1 44» <^'ff^l = <>)

et ensuite

/•iin 2, loo -i- 0,095 î* -H 0,0222 î^ — o,ooi6î*.

Pour vérifier cette formule, employons-la à la détermination d'un point déjà obtenu et faisons ^ = — o,55, ce qui correspond a z = 4>8o6, et nous retrouvons en eff*et r= 2,128.

Pour ^ = 0,55 ou 5 = 5,906, nous obtenons /•= 2,129.

Enfin, calculons le volume de la goutte jusqu'au cercle de gorge, d'après la formule {e); nous ferons

</=:z5,356, £=!-> X=:27rX2,I, B:^7r.2,l',

et nous trouverons

ainsi son poids est de 69™«5% 26.

38. Application IL — Résolvons la même question dans la supposition que le rayon de courbure b au sommet de la goutte soit égal a i*""',75. Depuis le sommet jusqu'au plus grand cercle de la figure, nous appliquerons les formules (a), qui deviennent

z 1=0,8750*— o,oo6tp*4- 0,0026©' -h o,ooo4îp', /• :=! I , ^50 ^ — o , 2o3 o' — o , oo3 1 cp* — o , ooo5 ç' ;

et nous en déduirons

Pouro^ijj ;;-:=o,538, /• — 1,275,

P0Ur<f=::-> ,31=2,176, /• =11,920,

ce qui correspond, sur Vàfig. 4o> ^^ux cercles bb' et au.

OOllTTE SlISPENDUR.

Appliquons ensuite les formules (/yj et [d) nu-dessus du retrle (Ui'\ nous obtiendrons

r=: 1,920 — o,i66s* \ OjO'Jîv/i î'- o,f>o4î^ » r>,oo'4/|!;%

- .,^ " — 0,332 ï M o,r>(>GO;*- 0,01 f>î' ♦ 0,0 140 ï*,

et, pour ?^.-= 1,3,

0,320, C 'îf^l/O.

Pig, 4^1. — fjtMlt to.

r -rv*r; -", >^>: -^.-//^r ^''/•.r»<

f^) «:hap!TRE V.

Nous aurons ensuite

et, pour 'C= o/î,

/•r3r,4.io, -7?^— — o.ioi, j— 4,1711;

puis

et, pour ^ =r 0,5,

«^ dr ,

Enfin, à partir de ce dernier point, nous aurons

Cette dérivée est nulle pour ^ = o.43* oe qui correspond au cercle de gorjçe dit. Ainsi l'on a sur ce cercle

En comptant la coordonnée verticale ^ ii partir du cercle de gorge, on a encore

r — 1 ,341 -J- o. 149?— o.oîîî^T* — 0,0375;^.

ï>a hauteur de la goutte jusqu'au cercle de gorge est donc 9= 5, 206, et, en appliquant la formule (^), on trouve 44"*% 18 pour le poids de la goutte.

On doit remarquer que la hauteur de cette goutte diflère peu de celle de la précédente, mais que le cercle de gorge et le volume sont devenus beaucoup moindres.

39. Application III . — Résolvons ensuite la même question dans la supposition que le rayon de courbure h au sommet de la goutte soit égal à i"*"',5. Nous aurons d'abord, d'après les formules (a),

z z=z 0,7000* — o,02o3ç*-f-o,ooo6©*-i- 0,0000.55', r=i,5ooo — 0,19380' — 0,0006 5* -h 0,000075'.

En faisant <p = -> nous aurons, sur le plus grand parallèle de la goutte, représenté sur lay?^. 4i par aa',

Z =z 1 ,788, /• ir: 1 , 600.

Fig. 4». — Échelle 10.

Ensuite, d'après les formules {b) et (rf), on obtient

/•=:l,600 — 0,239?*-+- 0,022 Ç*— 0,0Ilî*-*-0,005C*,

— 0,478c -ho,o66Ç*— o,o44Ç*H-o,o25ÇS

et, pour 2^ = 1, on a

Au delà de ce point, nous appliquerons la formule

/'=: I ,377 — 0,43lî — 0,192^*4- 0,0262c',

clr

et, pour ^ = 0,75, nous aurons

dr /•=: 0,964, ^ = — 0,629, -3 = 3,488.

A partir de ce point, nous emploierons la formule

et nous aurons, en faisant ^ = o,32j,

dr /•=:i:o,767, -7^^^ — 0,555, -3=;3,8i3.

Nous aurons ensuite

/•zz> 0,767 — o,ô55C -r o, 286^^4- 0,248^*, et, pour ^ — 0,2,

dr '• = 0,667, ^^— — o,/|3i, -3z=4,oi3;

puis

/•i::io,667 — 0,43 iC -+-0,3732;* 4- o,i99ÏS

et, pour ^ = 0,2,

/•=i:0,598, ^=zi— 0,258, -3=:4)2l3.

Enfin nous aurons

/•izio,598 — o,258ï4- o,466î*4- o,ii4ï*,

et cette dérivée est nulle pour ^ = o,25. Ainsi l'on a pour le cercle de gorge marqué sur la figure par dd\

On aura, pour le volume de la goutte terminée au cercle de gorge,

V izi 2 TT X o , 565 .a* — 1: . o , 565* x 5 , 687 =1 2 1 , 074 ; on en conclut que son poids est 2i™ei'^o74.

40. Application IV. — Passons au cas oîi le rayon de courbure au sommet de la goutte est b = 1»"*". Nous aurons d'abord

<3 =1: o , 5 ^* — o , 029 np^ 4- o , 0003 îp® 4- o , 00002 ^' 4- . . . ,

et, pouro— -> nous obtenons

^izi 1,0^9, / ==1,029;

ce qui correspond au plus grand cercle aa' de \^Jig* 4^

Fiff. /|3. — Échelle 10.

Nous avons ensuite

/• = 1,029 — 0,4^3;^ -4- 0,022;^— o,o6CC*"h 0,0176;^,

et, pour ^ = 0,6,

dr r = 0,867, 77?=^ — 0,554, ^=1,659,

7? A partir de ce point, nous avons

r = 0,867 — 0,554? — o, i35î'— o,oi6î;\

et, pour ^ = 0,3,

3** Nous aurons

et, pour ^ = 0,25,

l8o CHAPITRE V,

V Nous obtenons

/• — o,5o3-o,8iU- 0,208 C» 4- 0,843 î',

et, pour ^= 0,25,

/•ru 0,292, ^= — 0,790, :?- 2,459.

5** Nous aurons enfin

/• =10,292 — 0,790^4- i,o5iÇ« 4- 2,427 c», dr

jp— —0,790 4- 2,I02Î 4- 7,28lÇ*.

Cette dérivée est nulle pour ^ = 0,214. Ainsi l'on a, sur le cercle de gorge marque sur lay?^. 4^ par dd\

En comptant ^ à partir du cercle de gorge, on aurait encore

/• — 0,195 4- 1 .742 ç* 4- 0,022 î» — 1 , 126C*. On trouvera ensuite, pour le poids de la goutte, le nombre

Figures d*une goutte suspendue à un tube et en équilibre stable.

41. Si nous coupons une des y?^. 39, 4o» 4i et 42 au-dessous du cercle aa' par une section circulaire et horizontale, la partie située audessous représentera la figure d'équilibre d'une goutte suspendue à un tube vertical.

En prenant cette section suivant le cercle aa\ on aura les figures de gouttes d'eau en équilibre attachées à un tube dont la section extérieure sera aa\ lorsque le plan tangent le long du bord fait avec l'horizon le plus grand angle, c'est-à-dire un angle droit.

En prenant ensuite, par exemple, les parties situées au-dessous du cercle bb\ on aura les figures de gouttes d'eau, suspendues à un tube dont la section est bb\ lorsque le plan langent le long du bord de la goutte fait un angle de 4^" î^vec l'horizon.

GOUTTE SUSPENDUE. l8l

Ce sont les figures que nous avions assimilées dans une première approximation à une portion de sphère (Ghap. III, n"3I).

Sur le développement en série (/i*' 36) de la /onction r

suis^ant les puissances de ^.