AB

On voit que tg (<*/ + w") et par suite la somme J + <*>'\ est indépendante de l, c’est-'a-dire de la position particulière du tiroir. Il résulte de là ce fait important que la somme des angles de rotation qui répondent à une même position du tiroir, lorsque celui-ci y passe d’abord, puis qu’il y revient, est constante et double par conséquent de l’angle de rotation qui a lieu lorsque le tiroir arrive à l’extrémité de sa course. Appelons 12 ce dernier angle. On aura :

c’est-à-dire que l’angle de rotation ,. qui a lieu depuis une position du tiroir jusqu’à l’instant où il commence à rétrograder est toujours égal à l’angle de rotation , depuis l’instant où il rétrograde jusqu’à celui où il repasse par sa première position.

On peut d’ailleurs déterminer directement l’angle 12 à l’aide de l’équation

\ = A cos a) + B sin w,

Il subit de chercher le maximum de ce qui donne

— A sin 12 -|- B cos 12 = 0 ,

Ou voit encore que

tg 2Q =

ou que

2tgü 2AB 1 — tg 2 û A2 — B2

2Q = co' -|- o>".

tg (»'+«-")

Etude au moyen des formules précédentes , desciroonslances de la distribution d’une machine, dont on donne les éléments, c’est-à-dire l’excentricité l’angle

de calage, etc., sans être obligé de recourir à aucune épure.

On peut maintenant résoudre avec facilité le problème suivant :

Élant donnés les éléments d’une distribution , c’est-àdire r, 0, d , c, u pour chaque cran , e ou le recouvrement extérieur de chaque côté et i ou le recouvrement intérieur de chaque côté , chercher de quelle manière s’opérera la distribution pour les différents crans de détente .

Avance linéaire . — On peut la déterminer directement, comme cela a été exposé au commencement, en cherchant, d’un cran à l’autre, les différences des flèches dues d’une part au rayon réel de fabrication de la coulisse que je suppose donné, et d’autre part au rayon théorique déterminé comme on l’a vu au commencement. On peut aussi l’obtenir 'a l’aide des formules (o) et (7j . Quant à l’angle de rotation qui répond . eu égard à l’avance linéaire , au commencement même de l’admission , voici la manière la plus exacte de le déterminer. L’équation

donne

l — A cos co -j- B sin co ,

— = — A sin co -f B cos w d co

ce qui, quand u — 0, c’est-à-dire quand la manivelle est horizontale, donne

Donc, quand la manivelle est horizontale , si le tiroir avance d’une quantité très - petite tâ , la manivelle

tourne d’un angle très-petit égal h et si le tiroir recule d’une quantité très-petite cté, la manivelle tournera d’un angle négatif — Or quand w = 0, le tiroir a déjà dépassé le bord de la lumière d’une quantité égale à S , en appelant 8 l’avance linéaire correspondante au cran que l’on considère. Donc il faut le faire reculer d’une quantité égale à 8, pour avoir l’instant où l’admission commence-, par conséquent l’angle exact de l'admission est:

Admission. — Pour déterminer la durée de l’admission , on commencera par chercher l’angle Q par la formule (14) et, d’après les principes exposés précédemment, la fin de l’admission aura lieu pour un angle :

Ouverture maximum de la lumière (T admission. — Cette ouverture maximum correspondra évidemment à l’angle a. Appelons-la a. On aura, pour la déterminer, l’ équation

\ — A cos a-j-B sin a.

Donc

(■17) a = A cos a -U B sin a — e.

Durée de la dclente. — La détente commence à l’angle déterminé par la formule (16). Pour obtenir l’angle o>2 qui correspond à sa fin, il faut remarquer qu’à ce moment \ = — i. 11 faudra donc faire \ = — i

THÉORIE DE LA DISTRIBUTION

dans les formules (10) et (il), qui donneront quatre angles dont deux plus petits, et deux plus grands que 180°. Il faudra rejeter ces deux derniers, et parmi les deux autres, prendre le plus grand des deux, car le tiroir doit passer par Z = -\- i avant de passer par \ — — i. On connaîtra ainsi w2.

Duree de V échappement. — L’échappement commence 'a l’angle w2. Quant à sa fin , elle est très-facile a déterminer. En effet, appelons w3 l’angle correspondant. On aura, pour l’obtenir, la relation connue :

180° -|- ü — w2 = u>3— (180°+ a) ou

Durée de la compression. — La compression commence h l’angle to3 et elle finit à l’angle w0 déterminé par la formule (15).

Course du tiroir.— En l’appelant 2s, on aura évidemment

(19) 2s = 2A cos û + 2B sin ü.

Tous les angles qui viennent d’être déterminés se rapportent à la distribution sur l’arrière du piston. Quant à lavant du piston, il suffit, pour avoir les angles qui y correspondent, d’ajouter 180° a ceux qui viennent d’être obtenus.

Tous ces angles étant comptés 'a partir de la position où la manivelle est horizontale , il devient très-facile d’en conclure les positions correspondantes du piston. En effet, soient, fig. 4, la manivelle OB = m; la bielle BC = b et l’angle de rotation BOD = u>. On a

OC = DC — OD = sin2to — m cosw.

Supposons que , quand io = 0, le point C vienne en

S ; alors OS = b — m. On aura donc

OC — OS = s/b2 — m2 sin2to — b -j- m(l — costo).

En appelant l la distance du piston au fond S de sa

course, on a donc

(20) 1= s/b2 — m 2 sin2o) — b -f- m( 1 — costo).

Par les moyens qui viennent d’être indiqués, on peut donc très-facilement se rendre compte, pour chaque cran de détente et pour l’arrière et l’avant du piston , de toutes les circonstances d’une distribution dont on donne les éléments, c’est-à-dire r, ô, c, e, t, d, etc.

On peut tirer des formules générales (5) et (7) quel- conséquences

* ° \ \ / i m.j rpssnrtpnl

qui ressortent des formules générales.

ques conséquences générales.

Ainsi on peut voir d’abord que l’angle Q est indépendant de r, c’est-à-dire du rayon d’excentricité. Or, comme est sensiblement l’angle dé rotation de la manivelle à partir de l'horizontale répondant à la durée totale de l’admission, il en résulte qu’on peut dire d’une manière générale que la durée de l’admission est, toutes choses égales d’ailleurs, indépendante du rayon d’excentricité.

En remplaçant A et B par leurs valeurs, on a, quand le système est celui des barres d’excentriques droites,

tgû

pour la marche en avant, et quand le système est celui des barres croisées,

aussi pour la marche en avant.

THÉORIE DE LA DISTRIBUTION

La comparaison de ces deux formules montre que, toutes choses égales d’ailleurs, on a des admissions plus longues dans le système des barres croisées que dans celui des barres droites et que la différence est d’autant plus grande que l’on opère avec plus de détente, ce qui est pleinement confirmé par l’expérience.

Voici une autre remarque. Quand le tiroir est dans, la position marquée sur la fig. 3, on a£ = 0^ donc

A cos O' B sin Q' == 0, ou

a' désignant l’angle correspondant. Mais

Donc

tg Q' tg Q = — 1 ; donc Q' = Q -J- 90°.

Ainsi, c’est 90° après la limite de la course du tiroir que celui-ci se trouve dans la position symétrique marquée fig. 3. Or, le recouvrement intérieur étant trèsfaible, c’est très-peu après que l’échappement commence. Mais l’angle Q, toutes choses égales d’ailleurs, est plus grand avec les barres croisées qu’avec les barres droites; donc l’échappement doit commencer plus tard et, par suite, l’avance à l’échappement est plus petite avec les barres croisées qu’avec les barres droites. De même, le tiroir étant revenu dans la position de la fig. 3 au bout de l’angle 270° -f on voit qu’il y revient plus tard et par conséquent qu’il y a moins de compression avec les barres croisées qu’avec les barres droites, ce qui est encore confirmé par l’expérience ( Guide du mécanicien , pages 194 et 197).

On reconnaît encore que le rayon d’excentricité n’a

aucune influence, non-seulement sur la duree de l'admission, mais sur celle de la détente, ainsi que sur l’écliappement et la compression. Le rayon d’excentricité indue seulement sur les courses du tiroir et sur les ouvertures de lumières.

On voit aussi que, les barres étant droites ou croisées, plus l'angle de calage est petit et plus les admissions sont longues.

On voit enfin que plus u est grand et , par conséquent, plus le tiroir est mené par un point voisin du milieu de la coulisse et plus l’angle & est petit, et, par conséquent, moins les admissions sont longues, ce qui est la propriété fondamentale de la coulisse.

Enfin, l’angle d’inclinaison de la coulisse étant

a = — sm 0 si 11 to

avec les barres droites, et

a = sin 0 sm w

avec les barres croisées, on voit que la coulisse s’incline d’autant plus que le rayon d’excentricité est plus grand, et l’angle de calage et la longueur de la coulisse plus petits.

Un problème important à résoudre consiste à déterminer ce que doivent être les éléments d’une distribution, r, 0, c, i, etc., pour satisfaire à des conditions données d’admission, de détente, etc. Je vais prendre un exemple, et donner un aperçu de la solution. A la fin de cette notice, par des exemples numériques, je ferai voir, avec tous les détails, comment on doit opérer pour avoir les résultats parfaitement exacts, la méthode dont je vais parler étanl plus prompte, mais moins rigoureuse.

Détermination des éléments d’une

distribution c’est-à-dire du rayon d’excentricité de l’angle de calage du recouvrement extérieur, etc., de manière à avoir

des conditions données pour la distribution.

THÉORIE DE LA DISTRIBUTION

On donne l’angle a répondant a la moitié de la durée angulaire de l’admission pour le dernier cran de la détente, c’est-a-dire celui où l’on admet le moins; cela revient au même que si l’on donnait la fraction de la course du piston pendant laquelle on veut admettre-, il suffît pour cela de se servir de la flg. 4. Comme ce

xi!

cran est déterminé, cela fait qu’on donne—. Comme

la longueur de la coulisse est toujours a peu près nécessairement déterminée, je suppose c donné et par suite u'; je suppose également d donné, parce que d est toujours aussi à peu près déterminé par des conditions de construction. Je suppose en outre que l’on donne l’ouverture maximum a des lumières, pour un certain cran de détente, répondant à ux ; de plus, l'avance linéaire, d, pour un certain cran i/2, et enfin l’angle répondant à l’avance à l’échappement pour un certain cran de détente w3.

Supposons, pour fixer les idées, qu’il s’agisse du système des barres droites; alors on a

d’où l’on tire

Telle est la formule que donne l’angle 0 et par suite l’angle de calage. Cette formule indique que l’angle o est d’autant plus petit que l’angle g l’est lui-même et, par conséquent, qu’on veut admettre moins de vapeur.

Mais il ne faudrait pas viser a obtenir une admission trop faible. En effet, appelons Q0 l’angle, moitié de la durée angulaire de l’admission, quand u = 0. On a tgûo = tg0 ou Q0==e.

Or, si 0 devenait trop petit, il en serait de même de q0, et par suite , à pleine admission, on n’admettraii plus assez de vapeur. Sous ce rapport, le système des barres droites offre un certain avantage sur celui des barres croisées, en ce sens que, poussant la détente jusqu’à la même limite inférieure, on a, à pleine admission, des admissions plus longues avec les barres droites qu’avec les barres croisées, ou inversement, ayant la même admission à pleine admission, on peut arriver, au dernier cran de détente, à détendre davantage avec les barres droites qu’avec les barres croisées.

Pour le cran de détente répondant à w1? on peut avoir l’angle correspondant par la formule

tge 1

et on déterminera r et e par les deux équations

e a = r cos (0 — Qj + sin (0 q ) ÜjL sjn 0 sin ü,

CL c 1

d’où l’on tire

e -f- 8 = r cos 0 -| — §- sin 0 .

cos (0 — o1 ) — cos 0 + sin ( 0 — Q1 ) — si n 0 — — sin0 sinQ,

et on aura ensuite

e — r cos 0 -f- ~ sin 0 — 8 .

THÉORIE DE LA DISTRIBUTION

Enfin, on aura i par F équation

i = r cos (0 — o>3) -j — ~ sin (0 — w3) — sin 6 sin oj3 y

d’oit

(24) i = — r cos (6— to3) — sin (6 — *o8) + ^ sin 0 sin co3.

On pourrait varier les données du problème, et toujours on serait conduit à résoudre des équations fort simples.

Il convient en général que a soit le plus grand possible. Cependant on se trouve limité à cet égard. En effet, plus a est grand et plus r doit l’être, d'après

la formule (J22). Or, comme a = - sin ô sin w, pour

que l’angle a qui mesure l’inclinaison de la coulisse ne devienne pas trop grand, il faut que c s’augmente en même temps que r, et souvent il est difficile d’augmenter beaucoup la longueur de la coulisse, parce qu’elle pourrait venir rencontrer la chaudière.

Relativement a la bielle de suspension, nous avons vu que, excepté pour l’avance linéaire , son influence était tout a fait insignifiante. Pour se rapprocher le plus possible des conditions où nous avons présenté la solution de ce problème, il convient de faire en sorte que cette bielle s’écarte toujours aussi peu que possible de la verticale, et pour cela, comme la coulisse oscille toujours de part et d’autre du point T [fig. \) à une distance d du centre O de l’axe moteur, il convient que le point d’attache de la bielle soit autant que possible sur la verticale qui passe par le point T et que sa longueur soit la plus grande possible.

Nous avons supposé jusqu’à présent le calage des

Cas où le calage . Y A J \ ..JT,

des deux deux excentriques le meme. Quelquefois il est different ;

excentriques 1 1

est différent. dans ce cas, le plus souvent le calage de l’excentrique

de la marche en avant surpasse celui de la marche en arrière. Il est clair que, quel que soit le calage de la manivelle par rapport aux excentriques, le tiroir a toujours le même mouvement. Seulement, suivant le calage de la manivelle, les positions du tiroir ne correspondront plus aux mêmes positions du piston. Appelons 0 | 0

o la demi-somme -^—1 des angles des excentriques

de la marche en avant et de la marche en arrière avec l’horizontale, lorsque la manivelle est horizontale, et

£ leur demi-différence— -fa> *. Il est clair que toutes les

formules précédentes, et notamment les formules (5), (6), (7), (8), s’appliqueront en faisant 0 = <? et changeant « en io -J- e. Ainsi la formule (5) deviendra, par exemple,

(25) £ = r cos (<r — e — w) — sin (<y — s — co) —

ur . . , . .

sin a- sin (e -4- co .

Si l’on cherche, pour un des crans de détente, l’angle correspondant à l’instant où la lumière d’admission est ouverte au maximum, on aura, comme précédemment,

lg (û + £) —

Cet angle Q, représentera la demi-durée angulaire de l’admission, et on voit qu’il est inférieur de £ à l’angle Q-j-e, qui serait la demi-durée angulaire de l’admission si le calage était symétrique et égal a * de part et d’autre de l’horizontale. Donc, par le fait des calages

32 THÉORIE DE LA DISTRIBUTION

différents, la durée angulaire de l’admission pour un cran quelconque est diminuée de 2e, c’est-à-dire de la différence des deux angles de calage. On a donc par là un moyen d’obtenir de plus fortes détentes que par le calage symétrique. Il est vrai que par là on réduit en même temps l’admission d’une même quantité angulaire pour tous les crans de détente, et par conséquent aussi par la pleine admission. Mais on peut reconnaître qu’on réduit ainsi plus efficacement la détente pour les derniers crans qu’on ne le pourrait faire avec un calage symétrique en réduisant l’angle 6. En effet, dans ce dernier cas, en diminuant l’angle 6 d’une quantité k et appelant i la diminution de l’angle Q, il est facile de voir par les formules ordinaires que l’on peut poser avec une assez grande approximation

tgQ — tg(Q — •').= (, — 7) [tg® — tg(6 — *)]-

Or l’angle Q pour les derniers crans de détente est assez petit pour qu’on puisse remplacer tg Q par Q et Ig (q — t) para — i. On a donc

* = (1 — 7) t(tg 0 — tg (6 — &)].

Or, 1 — — , pour les derniers crans de détente, est

une fraction assez petite. De plus, tg ô — tg (0 — k) n’est pas beaucoup plus grand que 6 — (ô — k)—k. On voit donc qu’on aura en général

Ceci fait comprendre que, avec le calage symétrique, une même diminution angulaire de l’angle de pleine admission produit en général une diminution moindre

A COL' LISSE. 33

pour les crans inférieurs que si cette diminution était produite sur la pleine admission, en calant les deux excentriques d’une manière différente et telle que la différence des deux angles de calage soit précisément cette diminution. Le seul inconvénient qui en résulte est un rétrécissement des ouvertures des lumières.

Appliquons ces principes au problème résolu un peu plus liant de la détermination des éléments d une distribution, de manière a satisfaire à des conditions données. On aura (formule 21) :

tg (Q -|- s) -f- -,

{'ÎG) tg 1 = n' v' '

1____tg(a+e) |

En appelant la demi-durée angulaire de la pleine admission, on aura :

a = ilo + £

Les deux équations (26) et (27) déterminent a et e. Pour les résoudre plus commodément, on pourra donner dans (26) à e de petites valeurs croissantes, puis substituer les valeurs de déduites de (26) dans l’équation (27) jusqu’à ce que celle-ci soit satisfaite à un degré suffisant. Connaissant et e, on aura eo et ô1 par les relations

6o=ff + £ et 01=cr — £.

On déterminera e et r par les deux équations

(28) ' e -f a = r cos (a — £ — ü,) + ~~ sin (a — e — Qj —

— sin a sin (s + Q.)

Détermination des éléments d’une

distribution r, e, etc , conmassant les conditions dans lesquelles cette distribution doit s’opérer et en voulant donner des calages differents aux deux excentriques.

THÉORIE DE LA DISTRIBUTION

(29) e + 8 = r COS (a — e) + — sin (a — e où ^ est déterminé par l’équation

sin a sin s.

tg®

tg (ût + e)

i+jis-

Enfin, le recouvrement intérieur i se détermine par l’équation

— i—r COS (a — £ — Cû8) + -J- sin (a — £ — a>3) —

— sin a sin (e + &>3) ,

(30) i = —~r cos (a — £ — a>3) sin (a — £ — co3) -f-

+ ~ sin a sin (e + w3).

On pourrait traiter de même une foule de questions analogues.

Voici un exemple entre autres qui montre le degré d’approximation des formules générales :

Machine mixte du chemin de fer de l’Ouest.

Données.

d = lm,396 \ Système 2c = 0m,292 ) des barres croisées.

Numéros des crans de délente.

0 (point mort)

Courses du tiroir données

par les formules, millim.

Courses du tiroir données par l’expérience.

milliro.