CHAPITRE III

THÉORIIS ÛÉNÉBALË DE LA MACHINE A VAPEUB.

ARTICLE PREMIER-

.D^l'e^FF^JDES ^JiC^lJS[^ DANS US CAS p'uAE PÉTEUTE |K>NflàB| AVEC UNE VITES&E OU UlfE CHABŒ QUEL-

§ I . Des divers problèmes qui se présentent dans h calcul des machines.

Après avoir exposé d'une manière succincte, dans le premier chapitre de cet ouvrage , la manière dont nous concevons le mode d'action de la vapeur dans les machines , nous allons passer maintenant au développement complet de la théorie dont nous n'avons encore donné qu'une esquisse fort imparfaite, et à la solution des divers problèmes qui peuvent se présenter dans le travail ou dans la construction des machines à vapeur.

Nous distinguons trois cas dans le travail d'une machine : celui où elle travaille à une détente donnée de la vapeur, et avec une charge ou une vitesse quelconques; celui où elle travaille à une détente donnée, et avec la charge ou la vitesse qui conviennent à la production de son maxi-^ mwn d effet utile avec cette détente; et enfin, celui où la détente ayant d'abord été réglée pour

DE t^'effet des machines. ttS

Je tratail le plus £ivorable de la vapeur datis cette machine 9 on kii donne > tm outre, là chaîne la plus avantageuse, pour cette détente; ce qui produit, par conséquent, le maximum absolu d^ejfet uiHe pour cette ibachine.

Cela posé, nous avons dëjà dit que les trois problèmes fotttkimentaux<da calcul des lAacïhinès, consistent à trouver suocessivemetit la vitesse, la charge et la vaporisation de la machine. Aprè^ la aolUtion de ces trois problèmes , celui qui ée pré- ^nte d abord comme un corollaire defs premiers, consisté à délermbier l'effet utile de la machine ; et cette détermîaatimi elle-méfâe peut s'eiprfafièt* $pus huit (brmès diiïérentes, savoir : par lé nombi^e de livres ou de kilogrammes élevés à une hauteur donnée par la mac^ne dans «ne Unité de temps; f>àr kl Ibrce en cbevâux de k maehine; par Tef^ let de i livre ou de t kilogramme de charbon ; par l'efSet de « pied <5ttbe 4îU de i mètre cubé d'eau Vaporisé ; (mr le nom^e de livres de lèhàrbon ou par le nombre de piedi cubes étt^n và<< jmrisés , qu'il faut pour produire la forcé d\in <;heval; et eiifin paf le «ombre dé chè»vauK que représente chaque livre de combustible consommée , oii dïaque pied cube d*eau vaporisé. Notis devrctos donc donner successivement le moyen de ré^udré ^ses différentei questiona^

Cependant ^Cdmmô il Convient de préciser cfesf énoncée davantage, voici lè& problème^ que nt)us nous proposons de résoudre d'une manière géné-

Il6 CHAPITRE TROISIÈME.

raie pour chacun des trois cas indiqués ci-des^s^ et pour les différentes espèces de machines :

j ""^ Étant donnée la charge d'une machine entièrement connue du reste, déterminer la vitesse que prendra la machine avec cette charge.

SI*. Connaissant, au contraire, la vitesse à laquelle on veut faire travailler la machine , déterminer la charge qu elle pourra mettre en mouvement à la vitesse donnée.

3*. Connaissant la charge que doit mouvoir la machine^ et la vitesse qu'elle doit imprimer à cette charge > déteri^iner la vaporisation dont doit être capable cette machine, et par conséquent, lesdt* mensions qu il faut donner a sa chaudière , pour que les effets voulus soient produits.

4^, Connaissant la vaporisation , la pression et les dimensions d'une machine, calculer l'effet utile qu'elle produira en un temps donné, à une vitesse fixée ou avec une charge déterminée.

Connaissant les mêmes données dans la machine, déterminer sà force en chevaux.

Connaissant les mêmes données , et en outre, la consommation de combustible du foyer par heure y déterminer successivement:

L'effet utile que la machine produira par unité de poids de combustible.

L'effet utile que la machine produira par pied cube ou mètre, cube d'eau vaporisé.

Le poids de combustible qui produira là force d'un cheval.

DE L EFFET DES MACHINES. Il 7

Le volume d'eau vaporisé qui produira la force d'^un cheval.

La force, en chevaux, que produira la consommation d'une unité de poids de combustible.

La force, en chevaux, que produira chaque unité de volume d'eau vaporisée.

Ces divers problèmes seront résolus, dans Le^ trois cas mentionnés plus haut. Dans les deii^ derniers cas, par conséquent , la question sera d^ calculer la vitesse, la charge et les effets qui cor-. respondent au maximum d effet utiles relatif ou, absolu j de la machine.

Dans la théorie ordinaire des machines à vapeuiv on n'avait jamais eptrepris que de résoudre trois questions, savoir : déterminer la charge, la vapiQrisation et l'effet utile ( sous diverses formes ) \ et nous avons vu que la solution en était fautive^ Quant à la détermination de la vitesse pour une charge donnée, on n'en avait proposé aucune solun. tion ; et la nature même dç la tl^éorie qu'on ero* ployait, ne permettait pas de distinguer dans.lç.^ machines, l'existence des trois cas qui s'y rencontrent réellement. H çst àqnc possible que les. énoncés que nous, venons de présenter, paraîssenjt d'abord un peu obscurs , exprimés ainsi en termes géna:aux/et çooiportant des. rapports sOus lesquels on n'a pas coutume de considérer les roa^-. chines; mais ils s'expliqueront à mesure que nous entrerons dans la question, et l'on en verra à la. fois la solutioi.^ et l'indispensable nécessité, poui^

1^1 8 CHArtTRE TflOISlfeME.

calculer d^niie manière exacte, soit les pro{>6rtions^ soit les effets des machines à vapeur de tout genre' et de tout système.

§ 2. De la vitesse dit piston sous une charge donnée.

Nous aYons, dans le paragraphe 6 du chapitre précédent, déniontré que pendant toute son action dans la machiqe, la vapeur reste continuellement à Tétat de vapeur au maximum de densité pour sa température. D'autre part, nous avons donné une formule au moyeu de lac|ueUe on établit une relation directe et immédiate entre le volume et la pression de la vapeur au maximum de densité pour sa température. Il est donc clair que cette formule conviendra à tous les changements que peut subir la vapeur pendant qu'elle fonctionne dans la machine.

Nous admettrons , par conséquent , comme une relation générale convenable à tous les états de ta vapeur, pendant son action dans la machine, l'équation déjà exposée

'^ n + gp' ^ ' dans laquelle /u exprime le volume relatir et j> la pression dé la vapeur; et où les constantes n^tq ont, selon les machines considérées, les vatéurs respectives :

Machines à condensation :

fk as 0.00004^27 • • . ^ = 0:0000000629 mesures françaises» a SB 0.00004227 . • . 7 := O.0Q0O0O258 mesures anglaises.

DE L EFFET DES MAGHINKS. ( fcj[

Machines sans condensation :

/i=:o.oooi42i ••• 7SSO.0000000471 niMiiretfrtfaçsiisét; n :=z 0.006 1 4^ 1 • • . j» = o. OOO0O023 mesures anglaUf s*

D'après Téquation (iz), si Ton suppose qu'un cer*

tain volume d'eau représenté par S soit transformé

en vapeur à la pression p, et que l'on appelle M le

volume absolu de la vapeur qui en résulte, on aura

Ml

s n + qp

Si ensuite le même volume d'eau se transforme en^ vapeur à la pression p\ et que Ton appelle M' le volume absolu qu'occupera la vapîeur résultante^.

on aura encore

"5* n + qp'*

Donc enfin, entre les volumes absolus de vapeur qui correspondent au même poids d'eau, on aurr^ la relation définitive

c'Iest-JHdnre que les volumes de h vapeur seronr entre eux, non pas dans le rapport inverse des prisions, comme on le supposait en admeitsnt la loi de MarkMe,^ ^nais^ dans le rapport inrarsë des pressions aiignteutée& d'une constantes ' Oa en tire encore

Et les deux éqiifiations (6) et (c) servicottfc à déter->

12IO GUAPITRE TROlSlÀl^E.

miner soit M, soit p^ selon celle de ces de«ix qaan-^ tîtés qui se trouvera inconnue.

Ces relations préliminaires une fois établies, pour embrasser immédiatement \e mode d'action le plus complet de la vapeur, nous supposerons une machine travaillant par détente, avec une pression quelconque dans la chaudière , et avec condensation. £t pour passer ensuite aux machines où Ton n'emploie pas ta détente , ou bien à celles où Ton n^emploie pas ta condensation, il suMra de faire dans les équations générales, les suppres^ sions ou les substitutions convenables.

D'après ce qu'on sait déjà de la théorie proposée , la relation que nous cherchons entre les diverses données du problème ^^ se déduira de deux conditions générales : la première exprimant que la machine est arrivée au mouvement uniforme,, et par conséquent , que la quantité de travail appliquée par la puissance, est égale à la quantité d'action développée par la résistance ; la seconde, qu'il y a nécessairement égalité entre la masse de vapeur dépensée par le cylindre et la masse de vapeur produite dans la chaudière.

Soit P la pression totale de la vapeur dans la chaudière, et P' la pression qu'aura cette vapeur à son arrivée dans le cylindre, pression qui sera toujours moindre que P, excepté dans un cas particulier que nous traiterons plus loin. La vapeur pénétrera donc dans le cylindre à la pression P',, et elle continuera d'affluer avec cette pression et

DE X£fFET D£S AIAGHINES. 121

de produire uu effet correspondant, jusqu'à ce que la communication entre la chaudière et le cylindre soit interceptée. Alors il cessera d'arriver de la vapeur nouvelle dans le cylindre, mais celle qui y est déjà parvenue , commencera à se dilater pendant le reste de la course du piston, en produisant par sa détente une certaine quantité de travail, qui s'ajoutera à celle déjà produite pendant la période d'admission de la vapeur.

P étant la pression de la vapeur dans la chaudière , et P' la pression qu'elle prendra à son arrivée dans le cylindre avant la détente , soit tf la pression de cette vapeur en un point quelconque 4e la détente. Soit en même temps / la longueur totale de la course du piston , t la portion parcourue au moment où a commencé la détente ^ et A celle qui correspond au point où la vapeur a acquis la pression tf. Enfin , soit encore a l'aire du piston, et c la liberté du cylindre, c'est-à-dire l'espace libre qui existe à chaque bout du cylindre, au-delà de la portion parcourue par le piston, et qui se remplit nécessairement de vapeur à chaque course; cet espace, y compris les passages aboutissants, étant représenté par une longueur équivalente du cylindre.

Si l'on prend le piston au moment où la Ion* gueur de course parcourue est A, et la pression^, on verra que si le pbton parcourt, en outre, un espace élémentaire rfA , le travail élémentaire pro- 4uit dans ce mouvement $era tto^A. Mais en mém^

122 CHAPITRE TBOISlJCME.

temps, le volume a{lf+c)^ occupé par la vapeur âvaiit la détente , sera devenu a(A-f^). Donc , d'après l'équation (c) précédemment indiquée , il existera entre les deux pressions correspondantes P' et ^, la relation

£n multipliant les deux membres de cette équation par adXy ou en déduira

Cette expression donnera donc la quantité de travail élémentaire produit par la détente, pendant que le pistou parcourt l'espace dX\ et si l'on prend l'intégrale entre les limites T et Z, on aura Teffet total produit par la détente de la vapeur , depuis le moment où elle est interceptée , jusqu'à la fin de la course, savoir:

«(f+c)(= + r)îog^-±f-%(/-r),

expression où le logarithme est un logarttkrae hyperbolique.

Cette quantité exprimant le travail efifcdué pendant ta portion de eonrse durant laquelle it y a eu détente, en y ajoulîai^ Fefïel ^aï ^ produit pendant la partie antérieure ï de cette course, ou avant Recommencement de la détente^ o» aura pour le travail total développé par la va»

DE l'effet des MACHiUES. 123

peur durant toute ta course du pisto» ,

Mais la machine étant supposée parvenue au niouvement uniforme , le travail développé par le moteur doit être égal à celui développé par la résistance. En représentant par R la pression totale exercée sur l'unité de surface du piston en vertu de cette résistance , ou plutôt en vertu de toutes les résistances diverses qui ont lieu dans la machine, le travail qu'elle aura développé pendant une course, aura pour expression

Donc on doit avoir la relation

qtiî est la première relation générale entre les diverses données du problènïe.

Cette équation exprinlant que le travail développé par la puissance, se retrouve en entier dans l'effet produit, ga remarquera que pour qu'elle ait lieu, il n'est pas nécessaire que le niouvemeat de la machine soit strictemeut uniforme. H peut également être composé d'osciUatioQS égales, partant chaque fois d'une vitesse nulle pour revenir à une vitesse nulle; powvu que les osicillations successives aient lieu en temps égaux, et que les changements de vitesse se fassent par degrés inseQsîbks y^ de manière à éviteif la perte de f<M*ee vive*.

124 CHAPITRE TROISlèME.

On doit observer également que si dans cette expression , on fait /'==/, ce qui revient à supposer que la machine travaille sans détente, l'équation se réduit à P' = R; c est-à-dire que dans ce cas , la pression de la vapeur dans le cylindre sera égale à la pression de la résistance contre le piston , comme nous Tavons déjà démontré directement pour les machines sans détente, dont nous avons parlé dans le chapitre premier.

Nous venons d'obtenir la première relation générale entre les données et les inconnues du problème. Maintenant il s'agit d'obtenir une seconde relation résultante de l'égalité entre la production et la dépense de vapeur. Pour cela , si l'on exprime par S le volume d'eau vaporisé par la chaudière dans l'unité de temps, et transmis au cylindre, ce volume en arrivant dans le cylindre,, transformé en vapeur à la pression F', y deviendra, d'après la relation déjà énoncée (à)j

Ce sera donc le volume de vapeur, à la pression P', fourni par la chaudière dans l'unité de temps, ou dans une minute , par exemple. D'autre part, €ï(/'+c) étant le volume de cette vapeur qui se dépense par coup de piston, s'il y a K coups de piston par minute, la dépense par minute sera

Ka(l' + c).

Mais si l'on exprimé pai^ (> la vitesse dii piston par

]>E l'effet des machines. ia5

minute, on aura aussi ç = Kl; ce qui donne

K s=: 2* Donc la dépense ci-dessus sera

Donc, puisqu'il y a égalité entre la production et la dépense de vapeur , on aura l'équation

qui est la seconde relation générale entre les don-, nées et les inconnues du problème.

Par conséquent , en élimijnant P' entre les deuic équations (A) et (B), on aura pour la relation définitive cherchée ,

Dans cette équation le logarithme log ^7. ^ ^st

un logarithme hyperbolique. Comme on sait que ces logarithmes se déduisent de ceux des tables , en multipliant ces derniers par le nombre constant 2.3o2i585 , ou approximativement par le nombre a.3o3, on pourrait remplacer, pour la pratique,

le terme log ., ^ par le suivant 2.3o3 log jf^»

dans lequel log. exprimerait alors un logarithme ordinaire. Mais comme il existe dans plusieurs ouvrages des tables de logarithmes hyperboliques, et que , d'ailleurs, nous donnerons plus loin une

laÔ CHAPITRE TROISt^MK.

tabjie qui dispensera de toute recherche à cet égaixl^ nous ne ferons ici aucun changement à la formule.

Cette équation est moins simple que celle à laquelle on parviendrait dans la même recherche, en supposant que pendant toute son action dans la machine , la vapeur conserve sa température.

Mais cette dernière supposition , quoique ne produisant souvent que peu de différence dans les résultats définitifs du calcul j n'est cependant pas réellement exacte; puisqu'il est incontestable que la tapclur change dé preôsi<>ii, et que \ûs expéh riences dont nous âVODS parlé plus haut ^ prouvent qu'elle change de température d'une manière ex&clètixent correspondante. La dernière formule que nous venons de présenter, a donc l'avantage de tenir compte dans le calcul de cette circonstance importante, et par conséquent, d'inspirer plus de confiance dans les applications. Du reste, en détruisant dans l'équation (i) l'effet du changement de température, on retombe immédiatement sur le^ formules que nous avons présentées dans le premier chapitre, en supposant la conservation ^e température de la vapeur.

.En effet, nou3 avons vu d'après l'équation (a)^ qu'après que la vapeur est, passée dans la machine à la pression R, le volume absolu de cette vapeur, tfûA correspond au volume d'eau S^ est donné par là relation