DE LBFFËT DES MACHINES

de son propre poids sur les rails; et le troisième enfin , pour tenir compte de la force dépensée par la machine à l'alimentation de son feu^ suivant le mode en usage dans ces machines. Mais comme ces diverses circonstances ne se rencontrent pas en général dans les machines stationnaires^ nous les omettrons >n ce moment, et 4'on pourra les rétablir dans les cas particuliers où cela pour*rait devenir nécessaire.

D'après ce qui vient d'être dit , la résistance fi. peut être remplacée par

Nous substituerons donc cette valeur dans celle de 1;, et nous ferons en même temps

expression qui, dans le cas de 2''=/, c'est-à-dire dans le cas des machines sans détente , se réduit simplement au rapport

Alors la valeur de v deviendra S *

OU

Et si l'on remarque que la quantité

n+jR

t3o CHAFITRE TROlSlàirE.

n'e^t aiutre chose que le Tolume absolu occupe par la vdpeur en coutact ayec te Uqokte sons la pression R, on reconnaîtra que pour aTOÎr là vtfesse ehercliée, il faut calculer l6 rolume de vapeur qui correspond au volume d'eau S, aupp^aé immédiatement transformé en vapeur som une pression égale à la résistance R, diviser ctisuite '4sé volnine par Taire ^ du piston^ et enfin «nultîplier le quotient par la quantité Ar dont nou$ àyùns donné il y a un instant Texpression développée.

La formule (i) contient la relation giéuérale entre toutes les données du problème; et c'est celle qui nous servira à résoudre successivement les différentes questions que nous nous sommes proposées. On remarquera seulement que l'homogénéité de la fbnnule exige que les dimensions a^l^ V j de la machine soient exprimées en mêmes unités que le volume S de feau vaporisée , et que les pressions par unité de surface P, r et/; soient également rapportées à la même unité que S; circonstance que nous mentionnons , parce que , d'après les usages adoptés, ces diverses quantités sont ordinairement rapportées à des uuitéaf différentes y selon ce qui semble plus commode dans la pratique pour eicprimer chacune d'elles.

Il faut encore ajouter que, d'après le mode même du raisonnement^ il doit être entendu que la quantité S^ qui entre dans l'équation^ est la vaporisation eJfeCtwe de la machine; c'est-à-dire qu'elle représente le volume d'eau qui est réelle-

))£ l'sFFBT des MAGHllfES. l3f

ment admis à l'état de vapeur dans le cylindre ^ ^t qoi y a effet sur le piston. Si donc, par un Biodede coiïStrucition inhérent ou non au système de la machine, il se trouye qu'une portion de la vapeur produite s'échappe ou s'écoule sans agir èur te piston, cette portion ne doit pas être considérée comme comprise dans la quantité S, et ainsi doit être déduite avant tout calcul.

La formule que nous venons d'obtenir donnera la vitesse du piston pour une charge r quelconque, lorsqu'on connaîtra les dimensions et les données diverses de la machine contenues dans l'équation. Cette formule est générale pour toute espèce de machine à vapeur rotative ou à mou* vement continu. Si l'on emploie la détente, il suffira de mettre pour /' la valeur correspondante au point de la course où la vapeur commence à être interceptée ; si la machine n'est pas à détente, il suffira de faire ^ =s /. Si elle est k Condensation , il faudra mettre pour p la pression de condensation ; et enfin , si elle n'est pas k condensa-^ tion, on mettra pour p la pression atmosphérique. Néanmoins, avant de faire ces déductions relatives aux différents systèmes de machines > nous allons cûtDtinuer à chercher les formules ^nérales pour tons les pmblènies que nous pous sommesproposés.

Nous ferons remarquer cependant que la vitesse do piston, dans une machine donnée, est totale^ ment indépendante de la pression à laquelle là vapeur se fbfiiie dans la chaudière; et qu'elle dë-

l3a CHAPITRE TROlSlËltfR.

pend essentiellement, au contraire, de la vaporisation S, de la chaudière par unité de temps, et de la résistance totale [( i -f^cT) r-+-/> -f-/^! opposée au mouvement du piston.

§ 3. De la charge de la machine par une vitesse donnée.

La relation que nous venons d'obtenir fait connaître, réciproquement, la résistance que peut mettre en mouvement une machine connue à une vitesse déterminée. En effet il suffit d'en tirer la valeur de r; ou plutôt, comme r n'est que la résistance par unité de surface du piston , et qu'il convient d'avoir la résistance entière , on prendra immédiatement la valeur de a X r, savoir:

D'après la forme de cette expression , il semble au premier aperçu, qu'en y faisant i>s= o, c'està-dire en supposant la vitesse nulle, on aurait pour résultat une charge infinie; mais en exami^ nant plus attentivement la formule, on reconnaît bientôt qu'elle ne donne nullement ce résultat.

En effets si4'on a i^ =o, il fautaussi qu'on ait S =5 o : car S est la quantité de vapeur qui Ira* verse effectivement les cylindres , dans une unité de temps; et une quantité quelconque. de vapeur ne pourrait traverser les cylindres, sans pousser le piston et sans créer, par conséquent, une vi-

DE l'effet des màchikes. i33

tesse quelconque pour la machine. Si l'on suppose la vitesse égale à zéro, il faut doue nécessairement <]u'on ait en même temps S=o. Mais ea faisant à la fois i' = o , et S = o , on trouve

et non pas ar s= oo , comme il le paraissait d'abord^ Ainsi, dans ce cas, la formule se réduit à la forme indéterminée; mais la solution n'en est pas moins directe : il suffit, pour cela, de considérer les autres conséquences qui résultent encore dans le problème, de l'hypothèse de (^ = o.

Si nous supposons ïa vitesse nulle, il est évident d'abord que, puisqu'il ne passe plus de vapeur dans !e cylindre, il ne se produit plus aucune détente de la vapeur, et que par conséquent nous retombons dans le cas général des machines où Ton ne fait pas usage de la détente. C'est -à - dire qu'il: devient impossible de faire une distinction entre la portion V de la course, parcourue avant là détente de la vapeur, et la longueur totale / de cette course, et qu'ainsi l'on doit faire /' = /. D'un autre côté , puisque la vitesse est nulle, il est clair que le piston, désormais immobile, devient une portion des parois de la chaudière, et que là pression qu'il supporte est nécessairement là même que celle supportée par tout autre point de la chaudière. Or nous avons vu que, dans le cas de /' = /, la prcjssion de la Viipeur dans le cylindre

>34 GHA1»|T&K TROfSliME.

a pour expression générale :

Dans le cas qui nous occupe, cçtte pression est égale à P, qui exprime la pression dans la chait- (lière. Donc on a l'équation de condition

et celle-ci résout immédiatement la question, car on en tire

Or^ lorsque nous présenterons ^ dans l'article suivant de ce chapitre , l'équation (i3) qui détermine la plus grande charge dont soit capable la machine avec une détente donnée /', on y reconnaîtra d'abord que cetle charge acquiert son maximum absolu, pour le cas de /'?=/; et qu'ainsi le maximum absolu de charge que la machine puisse maintenir en mouvement , est précisément comme ci -dessus :

Par conséquent, dans la suppositicHi d'uiie vitesse nulle, la charge donnée par les relations gé^ nérales n'est autre que la charge maximum que la xnachine puisse maintenir en mouvement, à une vitesse qui, comme on le verra ^ est sa moindre vitesse uniforme possible.

Il peut paraître singulier^ au premier aspçct^,

D£ l'eFF£T des M/lCHllIES. 1 35

qii€ la machine puisse exister au repos , avec la même charge saus laquelle elle est susceptible iracquérir une vitesse uniforme finie; mais comme on sait que dans toutes les machines , une force donnée peut maintenir au mouvement uniforme , c^est-à-dire maintenir dans Téquilibre dynamique, la même résistance qui^àTétat de repos, lui ferait pareillement équilibre, ce résultat doit cesser de surprendre.

On doit remarquer^ du reste , que les formules exposées ne donnent les effets de la machine qu'après que le mouvement est parvenu à l'uniformité. Or nous verrons bientôt que , pour une vaporisation donnée, la vitesse uniforme ne peut jamais, être moindre que :

puisque c'est celle qui correspond au passage de la vapeur dans les cylipdres, à son état de plus grande densité, et qu'à toute autre densité, cette vapeur occuperait un volume plus considérable , et par conséquent, ne pourrait traverser les cylindres dans le même temps , sans produire plus de vitesse. Toute supposition de vitesse moindre que celle-ci est donc inadmissible dans ce problème , comme étant incompatible avec l'état d'uniformité de mouvement , pour le<juel seul on calcule les effets des machines.

r36 CHAPITRE TROISr£ME.

§ 4' De Ut vaporisation nécessaire pour produire des effets voulus.

Pour trouver la vaporisation dont doit être capable une machine, pour mettre en mouvement une certaine résistance r^k une vitesse connue i^, on tirera de la même équation (i) la valeur de S,

s, ^ a.'t±5SLl±p!:±P±fl (3).

Cette équation donnera la quantité d'eau que la machine doit être ea état de vaporiser et de transr mettre au cylindre par minute. Il sera donc facile, d'après le mode de construction que L'on se pror pose d'employer pour la chaudière,. et les donr nées pratiques propres à évaluer la quantité d'eau vaporisée par cette forme de chaudière, de connaître quelle étendue de surface de chauffe il convient de donner à la chaudière de la machine pour obtenir les effets voulus.

Gomme la quantité S représente ici la vaporisation effective, dont doit disposer la machine, il est entendu que si la construction habituelle des machines dont on s'occupe , donne lieu à une certaine perle de vapeur, soit par les soupapes de sûreté, soit autrement, on en tiendra compte avetc autant d'approximation que possible, en ajoutant d'abord cette perte à la quantité S déduite de l'équation précédente, puis esHmant la surface de chauffe convenable à la production de la vapeur utile augmentée de la vapeur perdue.

DE l'effet des machines. i37

§ 5. Des diverses expressions de Vejfet utile.

1^ L'effet utile produit par la machine dans l'unité de temps à la vitesse Vy est évidemment a/v, puisque la vitesse v est en même temps l'espace parcouru par le piston pendant une unité de temps. Par conséquent en multipliant les deux membres de l'équation (a) par i^, on aura cet èflet utile , qui a pour mesure

^— <rFrr,-rf>G+''+/] «'■

On peut encore l'exprimer en fonction de la charge , en multipliant par ar les deux membres de l'équation (i). Alors on aura pour l'effet utile que peut produire la machine avec une charge fixée,

On remarquera que, dans une machine donnée, cet effet utile ne dépend pas de la pression à laquelle la vapeur se forme dans la chaudière, puisque la quantité P n'entre pas dans les expressions cidessus; mais qu'il dépend essentiellement de la vaporisation S effectuée par la chaudière dans l'unité de temps.

a*. Si l'on veut avoir la force en chevaux dont est capable la machine, à la vitesse i^, ou quand on la charge d'une résistance r, il suffit d'observer que ce qu'on appelle la force d'un chev|il repré-

ï38 €fi[A:t>fTRE l*ROlStÈME.

sente, en mesures anglaises, un effet de 33ooo livres élevées à un pied par minute, et, en mesures françaises , un effet de 4^00 kilogrammes élevés à un métré par minute. Tout consistera donc à raptpcHter l^eflfet utile produit par la machine dans Tunité de temps, à la nouvelle mesure que l'oQi vient dé choisir, c'est-à>dire à la force d'un chevsJ; et il suffira par conséquent de diviser Texppesr sion déjà obtenue dans réquatkin (4)^ par 33iOOp ou par 4^0 , selon l'unité à laquelle cette expression était rapportée.

Ainsi, la force utile, en chevaux ^ dont est capable la machine à la vitesse i^, ou chargée dé la résistance r, sera

p n. r». --. • , ^ en Tnesures angiràses (5)

F. "•**•= 7p — ,«» Hiesures françaises.

Nous ferons toutefois observer que ce qu*on désigne ^wjbrce dun ckes^al^ serait avec beaucoup plus de raison nommé ejjfet de la force dtwi chenal ^ ou effet et un ches>aly puisque c'est un ^et et non une force. On dirait alors qu'une machine est de l'effet de tant de chevaux, au lieu de dire qu'elle est de la force de tant de chevaux.

3*. Nous venons, dans les deux questions précédentes, d'exprimer l'effet de la machine d'après l'effet total qu'elle est capable de développer, sans égard à sa dépense de consommation. Maii|-

DE ]l'£FF£T des MACHIJEIES. 1 $9

tenant nous allons, au contraire, Texprimer, soit d'après l'effet qu'elle produit par chaque unité de sa dépense de consommation , soit d'après sa con-^ sommation poiu* exécuter un travail donné.

L'effet utile que nous avons obtenu dans Téqua* tîofl (4)9 est celui qui est produit par le volume S d'eau transformé en vapeur ; et comme ce volume d'eau S est v^orîsé dans une unité de temps, le résultat est, comme nous l'avons dit, l'effet utile produit dans l'unité -de temps par la machine. Mais si l'on supppse que pendant l'unité de temps, il se consomme N livres de combustible, il est clair que Tefifet utile produit par chaque livre de combustible, sera la N**^ partie de l'effet ci-dessus.

Donc l'effet produit par la consommation de I livre de combustible sera

Il su£Sra pour appliquer cette formule, de con-^ naitre la quantité de combustible qui se consomme par minute dans le foyer, c'est-à-dire pendant que la vaporisation S se produit. Cette donnée pourra être déterminée par une expérience directe sur la chaudière elle-méode, ou par analogie avec d'au^ très chaudières d'une disposition semblable. Et ce renseignement une fois obtenu, on pourra en &ire usage pour tout autre cas et pour toute suppost-^ tion de vitesse de la machine.

4*. Nous avons vu plus haut que l'effet que

l4o GHAPITKE TROISIÈME.

nous avons indiqué par E."' , est celui qui est dû au volume d'eau S transformé en vapeur. Si donc nous voulons avoir l'effet utile qui sera produit par chaque pied cube d'eau, ou par chaque unité du volume S, il est clair qu'il suffira de diviser l'effet total £."• , par le nombre d'unités qu'il y a dans S. Ainsi l'on aura pour l'effet utile dû à la vaporisation de i pied cube d'eau dans la machine,

E.-'Pv. =— (7);

5®. Nous avons obtenu plus haut l'effet utile produit par une livre de combustible. Il sera facile, par conséquent, de connaître le nombre de livres de combustible qui représente un effet utile quelconque, comme, par exemple, la force d'un cheval. En effet, il suffira d'une simple proportion , et l'on trouvera pour la quantité, en poids, de combustible nécessaire pour produire la force d'un cheval

^ i.4. „> i/>A 33oooN - . ,..,

Qeo.pr.icn. -«5 ^ gjj mesures anglaises...... (8);

Qeo.pr.ich. -— î——- ^ en mesures françaises.

té»

6**. On trouvera également par une simple proportion, que la quantité ou le volume d'eau qu il est nécessaire de vaporiser pour produire la même force d'un cheval , sera

^ , 33oooS - .

Q/.pr.icft. ;-- ^^ ■., en mesiues anglaises....... (9)

DE l'effet des Machines. 141

qe.pr.icn, ... -£^7 » ^" mcsures françaises.

7*". On peut encore demander quelle force de chevaux sera produite, soit par i livre, soit par I kilogramme de combustible; et c'est évidemment

F.«.cft.pr.u>.ro. j^£^, çn mesures anglaises.... (lo);

fu^ck.pr,ikco. -. jF-^9 en mesures françaises.

8*. Enfin, la force de chevaux produite par la vaporisation de i pied cube ou i mètre cube d'eau, sera de même

E ** F^u.c&.ff.i.p.e. " ^ en mesures anglaises. ... (i i) ;

p u.cfc.pr.im.*. -j. 7F--ô> en mesufcs françaises.

En mettant donc dans ces diverses équations, pour E."* sa valeur déterminée par la formule (4), on en déduira immédiatement la solution numérique des problèmes cherchés.

§ 6. Table pour la solution numérique des formïdes (^Machines rotatives).

Comme les formules que nous venons d'obtenir, et celles qui vont suivre, contiennent des logarithmes hyperboliques, dont l'usage est peu commode, nous joignons ici une table qui donnera sans calcul les éléments principaux des équations ,

t4a CHAPITRE TROISIÈME. '

et simplifiera considérablement toutes les recherches.

Dans cette table, nous avons supposé la liberté du cylindre é7 = o.o5ly comme cela a lieu dans les machines à rotation et à volants, auxquelles nou^ nous bornons en ce moment. Dans les machines sans volants, dont nous parlerons plus loin, la liberté du cylindre, passages aboutissants compris , se fait de o . I de la course , parce que le mouvement du piston n'étant pas limité par une manivelle, il y a plus de danger qu'il ne vienne à friper le fond du cylindre.

DE lij^FFET DES MÀCHIKES.

Table pour la solution numérique des Jàrmules[ {Machines rotatives).

PORTIOI» DE COURSE

VALEUR

VALEUR

parcourue

correspondante

correspondante

avant ta détente,

de

deit.

ou valeur de la frftétton

la fraction

ou de Texprcssion

/' , l-hc