CHAPITRE X

ARTICLE PREMIER

§ l". Du Règlement de la machine.

Dans les machines de Watt à simple effet, Faction de la vapeur est appliquée uniquement sur la face supérieure du piston , et Faction de la machine, pour élever Feau dans les pompes d'épuisement, ou pour produire Feffet utile, ne s'exerce que pendant la course descendante du piston. C'est ce qui a fait donner a ces machines le nom de machines à simple effet.

La communication étant d'abord ouverte entre la chaudière et la partie supérieure du cylindre, d'une part, et entre la partie inférieure du cylindre et le condenseur, d'autre part, la vapeur de la chaudière arrive dans le cylindre, et presse avec toute sa force au-dessus du piston , tandis qu'audessous, la vapeur qui a servi à la course antérieure, se trouve condensée. Le piston commence donc sa course descendante. Après qu'il en a parcouru une certaine portion , la communication de la chaudière au cylindre est interceptée. Le pis-

IfACHlNKS 1>B WArr ▲ SIMPLE EF]?ET. a 77

ton poursuit néanmoins encore son mouvement par l'effet de la détente de la vapeur qui a pénétré jusque alors dans le cylindre. Mais quand il est parvenu près de la fin de sa course , une soupape nommée soupape d'équilibre, établit, en s^ouvrant , une libre communication entre les deux portions, supérieure et inférieure, du cylindre. Alors la vapeur se répand des deux côtés du piston, et celui-ci se trouve en équilibre dans la vapeur, c'est-à-dire pressé également sur ses deux faces. Tl y a par conséquent cessation totale dans l'action de la force motrice, et comme la résistance opposée par la charge reste la même , lé piston déjà ralenti pendant l'action décroissante de la détente, se trouve promptement ramené au repos.

Ijd piston est alors parvenu au bas du cylindre ^ et coH^me la soupape d'équilibre continue toujours d'être ouverte , le piston continue aussi d'être en équilibre dans la vapeur. D'un autre côté , pendant la course qui vient de s'opérer, un contrepoids suspendu à l'extrémité opposée du balancier, a été élevé en même temps que la charge. 11 tend donc maintenant à redescendre par l'effet de son poids , et par conséquent à faire remonter le piston dans le cylindre. Le piston, d'ailleurs, ne porte plus aucune charge qui puisse s'opposer à ce mouvement, puisque l'action de la pompe d'épuisement ou de la charge de la machine ne s'exerce que quand le piston tend à descendre , et qu'en ce moment il tend au contraire à remonter. 11 n'y it

2'jS CHAPITRE DIXIÈME.

donc que le frottement propre de la machine qui fasse résistance à Teffort du contre-^poids ; mais comme on dotine à celui-ci un poids suffisant pour qu'il puisse surmonter le frottement de la machine, il s'ensuit que le pistou est enleré et ramené au sommet du cylindre.

Ainsi les choses se trouvent replacées au même état qu'à l'origine, et l'action de la vapeur recommence , pour faire exécuter au piston une nouvelle course descendante.

En comparant ces madiines à celles que nous avons traitées jusqu'ici, on voit qu'elles en dif-^ fèrent par trois circonstances : r le contre-poids agit alternativement comme résistance et comme force motrice : a® pendant son action comme force motrice, il exécute le mouvement par l'effet de sa chute; 3"* il n'y a ni continuité, ni uniformité dans le mouvement de la résistance. Il convient donc d'examiner si ces circonstances doivent changer les bases qui nous ont servi à établir la théorie des autres machines.

1*. Relativement à Tactioa alternative du contre*» poids comme résistance et comme force motrice, il n'en doit résulter aucun changement dans le mode de raisonner; car ce contre-poids agit précisément à la manière d'un volant ordinaire , tel qu'il en existe dans les machines que nous avons traitées jusqu'à présent. En effet, le mouvement de la machine à simple effet se compose de deux parties distinctes : i^ la course descen*

MACHINES DE WATT A SIMPLE EFFET. a^J^

liante, pendant laquelle l'eau est élevée dans les pompes d'épuisement, c'est-à-dire pendant laquelle TefFet utile se produit; et a^ la course remontante exécutée par le contrepoids, et qui n'est accompagnée d'aucun effet utile : tout consistant , pour cette course, à replacer les choses dans le même état qu'à lorigine, afin que la vapeur soit mise ea état d'agir de nouveau. Or, pendant la première période de ce mouvement, une certaine quantité de travail est communiquée au contre-poid$, en rélevant à upe certaine hauteur; et pendant la se-^ conde période , il ne fait que restituer cette quantité de travail à la machine, par sa descente de la même hauteur où il était monté. Son rôle se borne donc à recMcillir c)'abprd une certaine quantité d'action, pour la délivrer ensuite en temps opportun , pepdairt la suspension d'effort de la force motrice; et par conséquent son action est de même nature que celle d'un volant ordinaire..

!2^. Pendant la course mpnfônte du piston, Li^ gravité du contre-poids devient la force motrice du qaouvement, et il est incontestable que la vitesse qipi se produit dans cette course, dépend de 1% supériorité du contre-poids sur la résistance alors, opposée par la machine. Si donc on voulait fair^ une distinction entre la vitesse de la course des* cendantQ et celle de la course montante du pistpn,^ il ^udrait nécessairement calculer la seconde d'auprès les circonstances de la chute du contre-poids. Mais on remarquera: que, pour h machine ,^ une

a8o CHAPITBE DIXIÈME.

osciHation complète se compose d*une course mon» tante et d'une course descendante du piston. Il importe peu qu'une course soit très rapide et l'autre très lente ; il n'y aura jamais une oscîtiation nouvelle, que le temps nécessaire à l'une et à l'autre des deux courses ne se soit écoulé. Si leurs vitesses respectives sont égales , le mouvement du piston , pendant la durée de l'oscillation, sera régulier; si elles sont inégales, au contraire , ce mouvement se trouvera accéléré en un point et retardé en un autre. Mais dans un cas comme dans l'autre, la véritable vitesse de la maciiine, celle que Ton a besmn de connaître pour calculer son effet utile ^ sera toujours la vitesse moyenne des deux courses.

En efiet , dès que nous connaîtrons seulement le nombre des oscillations complètes que donne )a machine par minute, nous aurons nécessaire^ ment aussi son effet utile; puisqu'à chaque oscillation complète , nous savons que la charge avance de la longueur d'une course.

Ainsi , d'abord , la vitesse que l'on a besoin de connaître pour calculer refTel utile, n'est pas la vitesse avec laquelle s'exécute la course montante ou la course descendante du piston , mais bien la vitesse moyenne prise sur rensemblé des deux courses. Or^ celle-ci est nécessairement réglée à priori par la production de vapeur danîs la chaudière , et peut se calculer directement d'après cette donnée. Car, si la chaudière produit par minute et transmet au cylindre , une certaine quantité de

vapeur dont le volume soit connu , il est clair que, puisque ce volume de vapeur s'écoule par le cylindre dans une minute y en le divisant par la contenance du cylindre ^ on aura le nombre des oscillations complètes qu'il fournira pour la macbine. Ce sera donc la vitesse moyenne du piston ; et cela, quelque rapide qu'ait été d'ailleurs le mouvement du piston en un point de son oscillation , et quelque lent, au contraire, qu'il ait pu se trouver en un autre point de cette même oscillation.

Quant à la plus ou moins grande vitesse du piston pendant la course montante, tout étant supposé le même, du reste, dans la machine, elle ne changera rien à la vitesse moyenne qui se produira. En effet, si l'on fait exécuter la course montante du piston dans un temps plus long , comme l'écoulement de la vapeur par le cylindre n'a lieu que pendant les courses descendantes , il arrivera que les interruptions successives ainsi mises à l'écoulement de la vapeur, seront d'autant plus longues. Mais puisque la production de vapeur par minute dans la chaudière est une quantité fixe et déterminée, et que son écoulement par le cylindre se trouvera maintenant suspendu pendant un temps plus long , cette vapeur s'amassera durant cet intervalle dans la chaudière. A l'origine de la course descendante , il s'en trouvera donc une plus grande quantité susceptible d'être appliquée à produire le mouvement ; et elle pourra suppléer par conséquent à une vitesse d'autant plus grande de cette course.

^Sa CHAPITRE DIXIÈME.

Donc la vitesse de la course descendante augmentera k mesure que celle de la course montante diminuera. Si au contraire la course montante se fait plus rapidement , la vapeur s'amassera en moindre quantité durant l'intervalle des courses montantes , et elle pourra fournir par conséquent à un moindre dégagement de vapeur, c'est-àndire à une moindre vitesse du piston , pendant la course descendante. Ainsi dans tous les cas, la vitesse de la course descendante, variera en sens contraire de celle de la course montante, et la vitesse moyenne ou définitive, sera toujours réglée par le nombre des cylindres pleins de vapeur que la chaudière fournit par minute. Il ne pourrait y avoir qu'un cas où cette règle serait en défaut. C'est celui où le mouvement de la course montante serait tellement lent que le temps laissé à la sortie de la vapeur pendant les courses descendantes, deviendrait insuffisant pour l'écoulement total de la vapeur formée par minute dans la chaudière, et qu'une partie de la vapeur s'échapperait par les soupapes. Alors la vitesse moyenne ne pourrait plus se calculer comme précédemment, sur l'écoulement total de la vapeur formée, puisque cet écoulement total n'aurait plus lieu. Mais comme, dans les machines à simple effet , on a toujours soin d'adopter un contre-pmds capable d'exécuter la course inutile , avec une vitesse à peu près égale à celle que l'on veut donner à la course utile ^ cette lenteur excessive de l'uae des deux courses ne se présente jamais dans la pra-

MACHINES D£ WATT A SIMPLE EFF£T. 2k83

tique, ei il n*est pas nécessaire de s'arrêter à cette supposition.

On voit par-là que Fusage du contre-poids n'empécbe pas qu'on ne doive toujours calculer la vitesse de la machine sur la production de vapeur de la chaudière.

3^. Ces machines ne sont pas munies d'un volant, et le mouvement de la résistance n'y est ni continu ni uniforme. Mais la conservation de la machine exige qu'on y régularise et qu'on y modère les effets de la force motrice, de telle sorte qu'à la fin de chaque alternation de mouvement, le piston se trouve ramené au repos sans choc et par degrés insensibles. Il ne se produit donc aucune perte de force vive; et par conséquent, dans ces machines comme dans celles à double effet , il y a toujours égalité entre le travail appliqué par la puissance et celui qui est exécuté par la résis-* tance. 11 est seulement nécessaire , avant d'aller plus loin, d'expliquer comment ce règlement de la machine peut être obtenu dans la pratique, tant dans la course descendante que dans la course remontante du piston.

Pour cela, pendant la course descendante, on a soin de n'admettre de vapeur dans le cylindre, que juste ce qu'il en faut pour que le piston soit conduit par la détente de cette vapeur jusqu'au point où doit se terminer sa course, et qu'il #'y arrête de lui-même sans le dépasser ou s'arrêter auparavant. Cet effet s'obtient facilement par ta-

!l84 CHAPITRE DIXIÈME.

tonnemcnty au mornent de la mise en train de la machine. On admet avec précaution une très petite quantité de vapeur dans le cylindre , puis on l'augmente de plus en plus jusqu'à ce qu'on voie que le piston atteint précisément le point marqué pour la fin de sa course ; et si l'on trouve que le piston dépasse ce point et vient frapper les ressorts qui protègent le fond du cylindre , c'est une preuve que la quantité de vapeur admise est trop grande y et on la réduit en conséquence ^ jusqu'à ce qu'on ait obtenu le règlement désiré.

Pendant la course remontante, au contraire^ comme le piston ne remonte librement dans le cylindre, que parce que la soupape d'équilibre permet à la vapeur qui se trouve dans la partie supérieure du cylindre, de passer dans la partie inférieure et de faire place au piston, on referme cette soupape d'équilibre un peu avant le point où l'on veut que le piston s'arrête. Alors celui-ci continuant encore quelque temps son mouvement en vertu de sa vitesse acquise et de l'effort du contre-poids, la vapeur qui est située dans la partie inférieure du cylindre , se dilate à mesure que la progression du piston lui abandonne un espace plus considérable , et celle qui est interceptée dans la partie supérieure, se trouve au contraire graduellement comprimée et acquiert par conséquent une force élastique de plus en plus grande. Ainsi la différence des deux pressions s'augmenlant de plus en plus, et créant une résistance toujours

MACHINES DE WATT A SIMPLE EFFET. a85

croissante contre le mouvement du piston ^ finit par le ramener doucement au repos. Dans la pratique, ce règlement s'obtient encore par tâtonnement, en fermant la soupape d'équilibre un peu plus tôt ou un peu plus tard, selon qu'on voit le piston s'apprcîcher trop du fond du cylindre , ou ne s'en approcher pas assez. En outre , dans ce règlement de la soupape d'équilibre, on remarquera que la vapeur refoulée dans le haut du cylindre recueille tout le travail développé par le piston pendant qu'il est ramené au repos, et qu'à cet état de compression , elle contribue ensuite à produire la nouvelle course descendante du piston; d'où résulte qu'il n'y a aucune perte d'action , et que la dépense de vapeur ne se compose que de la portion qui est restée interceptée au-dessous du piston.

Cet ajustement préalable de la machine doit nécessairement être changé, chaque fois que la charge varie; mais une fois qu'il est effectué, c'est-à-dire dès que la machine est arrivée à sa marche régulière, le piston se trouve toujours , dans un sens et dans l'autre , ramené au repos par degrés insensibles et sans perte de force vive. Ainsi, dans les machines à simple effet, aussi bien que dans les machines de divers systèmes que nous avons traitées déjà, il y a toujours égalité entre le travail développé par la puissance et celui qui est exécuté par la résistance ; et par conséquent nous pourrons appliquer à ces machines, le même mode de raisonnement dont nous avons fait usage jusqu'ici.

a86 CHAPITRE DIXIÈME.

On doit seulement observer qu'il est nécessaire d'établir ici une distinction entr€ la course dest)endante et la course montante du piston, et que l'égalité de travail produit par la puissance et par la résistance, a lieu dans chacune séparément. Cette double condition fournira donc d'abord deux équations propres à faire connaître par le calcul, la détente de la vapeur dans la course descendante, et l'arrêt de la soupape d'équilibre dans la course contraire. Ensuite, pour -déterminer la vitesse de la machine, il restera la condition que la dépense de vapeur soit égale à sa production. Nous allons établir d'abord <^es trois équations fondamentales , puis nous chercherons à en déduire les formules propres à la solution des diverses questions que peuvent présenter ces machines.

§ 2. Des effets de la machine^ dans le cas d'un contrepoids donné y avec une charge ou une vitesse quelconques.

Nous distinguons trois cas dans le travail des machines à simple effet : celui où elles travaillent avec un contre-poids donné, et une charge et une vitesse quelconques; celui où elles travaillent avec un contre-poids donné et la charge ou la vitesse qui produisent le maximum d effet utile avec ce contrepoids; et enfin , celui où le contre-poids ayant d'abord été réglé à sa mesure la plus avantageuse pour la machine , on donne en outre à celle-ci la

charge la plus avantageuse pour ce contre^poids^ ce qui produit par conséquent le maximum ab^ solu d'effet utile qu'il est possible d'obtenir de la machine.

Dans les machines rotatives, ou à double effet , que nous avons traitées précédemment , nous avons vu qu'au moment du départ de lamachine, la vapeur pénétrait dans le cylindre avec une pression égale à celle de la chaudière ; mais que par l'effet de la continuité de mouvement et de l'interposition d'un volant, l'impulsion donnée au piston pendant une course, se continuait dans la course suivante. La vitesse du piston s'accélérait donc peu à peu par l'addition de nouvelles quantités de mouvement , et la pression de la vapeur dans le cylindre baissait en même temps; jusqu'à ce qu'enfin le piston fut parvenu à la plus grande vitesse que la force motrice fut capable de lui imprimer, avec la charge imposée à la machine. Alors le mouvement cessait de s'accélérer. Il restait à l'état d'uniformité, ou plutôt à l'état qui produisait l'uniformité dans le mouvement de la résistance , et cette condition réglait la pression que la vapeur devait définitivement acquérir dans le cylindre, pendant toute la durée du mouvement uniforme. Cette pression dans le cylindre pouvait donc alors se trouver, dans certains cas, de beaucoup inférieure à celle de la vapeur dans la chaudière.

Mais cette circonstance ne se présente plus dans les machines que nous considérons mainte-

St8d CHAPITRE DIXIÈME.

nant , parce que le mouvement n'y étant pas con<> tinu, ou ramené à la continuité par l'emploi d'un volant régulier, les impulsions données au piston pendant une course , ne peuvent se transmettre à la course suivante. Le piston se trouve donc toujours placé dans les conditions où il était à l'instant du départ seulement dans les machines rotatives à volant; et par conséquent^ la cause qui produisait la diminution de pression de la vapeur dans le cy«> lindre n'existant plus, il ne se crée entre les deux vases, que la différence de pression résuU tante de la force employée à franchir les passages étroits qui séparent la chaudière du cylindre. Mais comme, avec les dimensions en usage dans les machines, on trouve que la diminution de pres^ sion due à cette cause seule est de peu d'im-^ portanee, nous la négligerons ici, comme nous l'avons fait en calculant la charge maximum des machines rotatives. Du reste, il est facile de voir que, si l'on veut ensuite tenir compte de cette différence, il n'y aura qu'à attribuer à la force que nous allons introduire dans nos calculs, une valeur non pas précisément égale à la pression de la chaudière, mais un peu inférieure, selon son intensitédonnée par les formulesde récoulementdes gaz. Cela posé, pour considérer d'abord la course descendante dû piston, le travail appliqué par la vapeur, tant par son action directe, que par sa détente, doit se retrouver en entier dans le trayail exécuté par la résistance. Or, en adoptant

toutes les notations employées jusqu'ici, c'est-àdire en appelant P la pression de la vapeur dans la chaudière, a l'aire du cylindre, / la course du piston , et ria portion de cette course parcourue avant le commencement de la détente, et en se reportant d'ailleurs au calcul qui a été développé dans le paragraphe 2 de l'article P' du chapitre III, on aura pour le travail exécuté par l'arrivée directe et par la détente de la vapeur dans le cylindre, l'expression suivante:

D'un autre côté, la résistance se compose alors de la charge r mesurée par unité de la surface du piston; du frottement y^' + cTr de la machine chargée de la résistance r, en appelant y^ le frottement de la machine non chargée, et ^T l'accroissement que subit ce frottement par unité de la charge; du contre-poids que nous exprimerons par n, en le supposant réparti par unité de surface du piston ; et enfin de la pression p subsistant sous le piston , en raison de la condensation imparfaite de la vapeur. Le travail exécuté pendant ia course par l'ensemble de ces diverses résistances, sera donc

[(I -i- iy + p +/' -+- niai.

Par conséquent on aura la relation

•t^O ^ CHAPITRE DIXitME.

et en écrivant, pour simplifier

l'expression obtenue plus haut, deviendra (?+p)*'=5+(»+^)i-+p+/+nj

bien

Ce sera donc la première des relations cherchées ^ entre les données et les inconnues du problème.

Pour avoir maintenant la relation pareille pour la course montante, il faut exprimer que la même égalité y existe entre les quantités d'action développées par la puissance et par la résistance.

Or la puissance est ici le contre-poids; et la résistance se compose d'abord de l'opposition exercée par la yapeur après la fermeture de la soupape d'équilibre, et ensuite du frottement de la ma^ chine. Nous entendons ici, par frottement, la somme de toutes les résistances que doit surmonter la machine pour opérer son mouvement : c'està-dire, non-seulement le frottement des divers joints du mécanisme, mais encore la résistance due à la pénétration du piston des pompes dans l'eau d'épuisement, résistance qui n'a pas lieu dans la course montante. Le frottement de la machine

MACHINES DE WATT A SIMPLE EFFET. agi

non cliargée, dans cette course, n'est donc pas exactement le même que le frottement de la machine supposée non chatgée dans la course descendante , et nous Texprimerons en conséquence 'par/'', au lien de/'.

Cela posé, là quantité de travail développée pdct le contre^poids durant la course est

Uàl;

«t celle développée par le frottement es't

Quant à celle qui est développée par la résistànèe de la vapeur, elle exige un court calcul , analogue à celui qui a été fait déjà pour la détente.

Pendant le mouvement ascendant du piston , et avant la fermeture de la soupape d'équilibre, la pression de la vapeur située au-dessus du piston est nécessairement un peu plus considérable que celle de la vapeur située au-dessous, ainsi que nous l'avons vu il y a un instant, à l'égard de la pression de la chaudière comparée à celle du cylindre. Cependant , ^omme la différence entre ces deux pressions peut être négligée sans erreur, nous suppo*serans ici que, jusqu'au moment de la fermeture de la soupape d'équilibre, le piston se trouve en équilibre dans la vapeur, c'est-à-drre se trouve pressé égaleitacnt sur ses deux faces.

< Or pendant tout le temps que la soupape d'équilibre reste ouverte, les deux parties du cylindre

se trouvent occupées par la vapeur qui a subi ta détente 'dans la -courste descendante antérieure. Cette vapeur, au moment où.elle est arrivée dans .le cylindre, avait la pression P, et eUe occupait la longueur (P+c) du cylindre. En ce moment, elle se trouve répandue dans toute la totalité du cylindre, y compris les deux. espaces libres que ne parcourt pas le piston. Donc , d'après la relation (c), démontrée entre les volumes et les^pressions d'un même poids de vapeur pendant son action dans les machines (chapitre 111, art. r% § 2), la pression de la vapeur après sa dilatation dans les deux parties du cylindre, est devenue

\ ^ "^ J T+ic q

Cela posé, soit V* la longueur déjà parcourue par le piston dans sa course montante , au moment où l'on ferme la soupape d'équilibre. A partir de ce point, le piston continuant encore son mouvement en vertu de sa vitesse acquise et de l'effort du contre-poids , la vapeur enfermée au-dessus et qui ne peut plus s'échapper, prend par la compression une force élastique de plus en plus grande ; et celle qui existe au-dessous en prend au contraire une de plus en plus petite.

Soit donc le piston parvenu à la distance A du commencement de sa course, et soit en ce point flr' la pression de la vapeur inférieure au piston, et ^" celle de la vapeur qui lui est supérieure.

Supposons alors que le piston parcoure de plus un espace élémentaire dX^ le travail correspondant, produit par la résistance de la vapeur, àera»

Mais comme les pressions ^ et ^% qui ont liea< dans les deux parties du cylindre , résultent des espaces respectivement occupés parla vapeur, soit au-dessus soit au-dessous du piston , et qu'à Torigine de cette compression et de cette dilatation de la vapeiur, les deux portions considérées du cylindre étaient remplies de vapeur à la pression <Z9*, on aura encore , entre les pressions et les volumes respectivement occupés par la vapeur, la relation^

Donc le travail élémentaire ci^lessus, sera

Ou bien , en mettant pour ^ sa valeur donnée plus haut, cette expression deviendra

Actuellement, comme cet effet de compression d'un côté et de dilatation de l'autre, se produit

!^i)4 GHAPlTUfi DIXIEME.

f^epuis la longueur V du cylindre , jusqu'à la fia de la course I en prenant l'iiitégrale de cette ex* pression en^re les lin^ites t' et /; on aura la quantité de travail total développée par la vapeur dans son action résistante contre le piston, savoir:

Mais si l'on fait, pour abroger,

on pourra écrire l'expression précédei^^Q^^nt oh-r tenue, sous la forme

Par conséquent, en se reportant à ce qu'on a dit plus haut du travail exécuté pendant la même course , par le contre-poids et le frottement de 1^ machine , on trouvera que l'égalité entre raction développée par la puissance et celle développée par la résistance, pendant la course montante di^ piston, produit l'équation

,.= J+iML=/' (B)

MACHINES DF WATT A SIMPLE EFFET. agS

C'est donc la seconde relation cherchée entre les données et les inconnues du problème.

Enfin, pour obtenir la troisième relation, exprimant l'égalité entre la dépense et la production de vapeur, il faut observer qu'il ne se condense, et par conséquent qu'il ne se dépense, à chaque coup de piston, que la vapeur qui, pendant la course remontante , est passée au-dessous du piston. Quant à celle qui a été interceptée audessus, elle se trouve refoulée vers la' chaudière et sert à la course suivante.

Or le volume de cette vapeur, qui doit être condensée à chaque coup de piston, pris au moment où l'on en fait la séparation , est

aif + c);

et sa pression est alors

S'il se donne un nombre M de coups de piston par minute, le volume de cette vapeur dépensé par minute, sera donc

Mais V étant la vitesse moyenne du piston , ou l'espace qu'il parcourt dans une minute, tant en montant qu'en descendant, onaura VssaM/; ou bien , si, pour se conformer à l'usage adopté avec raison pour ces machines, on ne compte que l'espace ^ parcourir par le piston en produisant l'effet

296 CHAPITIIE DIXIEME.

Utile, espace qui est moitié de celui parcouru par le piston dans les deux courses ^ on aura

V = M/, ou M = 7.

Donc le volume ci-dessus , dépensé par le cylindre j pourra être exprimé par

D'un autre côté, si l'on représente par S le volume d'eau vaporisé par minute dans la chaudière, le volume de vapeur qui en résultera sous la pression P de production, sera, d'après ce que nous avons vu (équ. a)^

Ce sera le volume occupé par la vapeur sous la pression P; mais en passant à la pression nsr^ qui est celle à laquelle nous mesurons la vapeur dépensée , ce volume deviendra

n + ^P * n-^qzf n^qtf'

Donc, puisque la dépense du cylindre est égale à la production de la chaudière , on aura

l n-^ qtr •

OU bien^ eu mettant zs* sa valeur, et résolvant

Féquation par rapport à v,

qui est la troisième relation cherchée.

Par conséquent, en y joignant les deux autres relations déjà obtenues, et résolvant successivement ces équations par rapport aux quantités r, et S, on obtiendra définitivement les formules suivantes :

'"-^■TTi: '''

=Tî-.*'(=+')-7Tïa+''+^+")-«

£.»•= arv (4)

Dans ces équations, k' et A" représentent les expressions indiquées un peu plus haut, savoir: ., e+c/ [ , , l+c\

^qS CHAPiTRE DIXIÈME.

§ 3. De la vitesse de la machine^ avec une charge donnée.

Les équations (A), (B), (i), (a), (3) et (4) résolvent tous les problèmes relatifs au calcul des machines de Watt à simple effet. Cependant, comme la nature des expressions que nous avons représentées par k^ et k' dans les équations (A) et (B), ne permet pas d'effectuer une élimination entre ces équations et l'équation (r); et qu'ainsi 011 ne peut arriver à une expression directe de la vitesse en fonction de la charge , ou de la charge en fonction de la vitesse, comme nous avons pu le faire dans les forniules des machines rotatives, nous devons nous arrêter un instant sur le mode de calcul qu'il convient de suivre , pour arriver à la solution des divers problèmes qui peuvent se présenter.

Supposons qu'il s'agisse de déterminer la vitesse à laquelle une machine, entièrement connue du reste, mettra en mouvement une charge donnée r.

On commencera par introduire la valeur donnée de r dans l'équation (A) ,

On aura ainsi la valeur die k. En cherchant alors ^lans la première des deux tables que nous don-

MACHINES DE WATT A SIMPLE EFFET. tigg

nerons uti peu plus loin, on y trouvera immédiatement et sans calcul la valeur correspon-

dante de j.

f On introduira alors cette valeur de j dans l'équation (B),

Le résultat donnera la valeur de A^^ et par conséquent en cherchant cette valeur dans la seconde des deux tables mentionnées , on y trouvera ins-

çrite la valeur correspondante de j.

Enfin , les deux valeurs de -j et y ainsi trouvées, seront substituées dans l'équation (i)

/ l'\-ic S 1

et cette opération fera définitivement connaître la vitesse cherchée.

§4* De la charge de la machine ^ as^ec une vitesse donnée.

Supposons que l'on donne la vitesse de la machine , et que l'on cherche la charge qu'elle pourra mettre en mouvement à cette vitesse.

Qn observera qu'en tirant de l'équation (B) , la

3oO CHAPITRE DIXIÈME.

valeur de ^rv- > ^t la substituant dans l'équatiou (i), celle-ci devient

ou bien

C'est donc la relation propre à donner la valeur de W. En y substituant pour v la vitesse donnée , on trouvera le nombre qui représente l'expression

et en cherchant ce nombre dans la table n* II ^ on y trouvera immédiatement la valeur correspon-

dante de -j et celle de li\

La valeur de -r étant connue j il faudra calcu-

1er -y Pour cela, l'équation (B) fournira la relation

Comme on connaît la valeur de k' au moyen de la recherche précédente, en la substituant dans

l'équation qu'on vient de donner, on en conclura j ,

et par suite k! au moyen de la table iV l. Par

MACHINES DE WATT A SIMPLE EFFET. 3oi

conséquent enfin, en mettant la valeur de k dans l'équation (2)

on obtiendra définitivement la charge ar, correspondante à la vitesse sf.

§ 5. De la vaporisation nécessaire pour produire des effets voulus.

Supposons que l'on cherche la vaporisation que doit avoir la machine , pour mettre en mouvement une charge donnée à une vitesse voulue.

On calculera au moyen des deux formules (A)

et (B) , les valeurs de j et j , et en les substituant ^ avec la vitesse v^ dans l'équation (3)

on en conclura la vaporisation cherchée.

§ 6. Des effets utiles de la machine.

Supposons que l'on cherche l'effet utile que peut produire la machine avec une charge donnée.

On cherchera d'abord la vitesse correspondante à cette charge, par le procédé indiqué plus haut; puis, en multipliant cette vitesse par la charge donnée, on obtiendra l'effet utile correspondant, savoir :

3oa CHAPITRE D1X1^.MC.

Si la vitesse était donnée au lieu de la charge ^ on chercherait la charge correspondante à cette vitesse, et le produit arv, de cette charge par la vitesse donnée, serait l'effet utile cherché.

Toutes les diverses expressions de l'effet utile se concluront de la connaissance du produit an», par les formules déjà données dans le $ 5 de l'article P' du chapitre III.

§ 'j. Delà charge et de la vitesse qui correspondent à une détente donnée.

Enfin, comme dans ces machines la détente est essentiellement liée à la charge, de telle sorte que l'une étant donnée , l'autre s'ensuit nécessairement; il peut arriver qu'on ait fixé d'avance la détente à laquelle on veut faire travailler la machine, et qu'on cherche d'abord quelle charge elle pourra mettre en mouvement avec cette détente, et ensuite quelle vitesse elle prendra avec cette charge.

Alors la quantité j sera donnée à priori, et par

conséquent on aura aussi la valeur correspondante de k\ que l'on trouvera à simple vue dans la table n* I. Gela posé, l'équation (a), savoir

arr=z

WQ^^y-^hQ*"*^^")

fera immédiatement connaître la charge r; et celleci une fois connue^ on en déduira la vitesse cor-

MACHINES DE WATT A SIMPLE EFFET. 3o3

respondante, comme dans le premier problème que nous avons traité plus haut, § 3.

Ainsi l'on voit que les diverses questions qui peuvent se présenter dans le calcul des machines à simple effet, se résoudront d'une manière moins directe il est vrai , mais néanmoins à peu près aussi simple que ceux qui concernent les machines fotatives ou à double effet.

§ 8. Détermination du frottement de la machine

non chargée j et de son frottement additionnel

par unité de la charge.

L'emploi des formules que nous venons de présenter suppose que l'on connaît, ou du moin} que l'on est en état d'évaluer, le frottement/*' de la machine non chargée dans la course descendante , le surplus cT, que subit ce frottement par unité de la charge imposée à la machine, et enfin le frottement/" de la machine dans la course montante. 11 reste donc à donner les moyens de déterminer ces trois quantités.

Pour cela, on observera que l'équation (A) est générale, ou qu'on a toujours la relation

Cette relation existera par conséquent aussi quand la charge de la machine sera nulle, c'est-à-dire

3o/| CHAPITRE DIXli:ME.

quand on aura r=o. Ainsi, pour ce cas, on aura

qui donne

Cette équation déterminera donc la quantité /', dès que l'on connaîtra les quantités P,/), Il et K . ' Or, il est facile de connaître ces quantités par une expérience directe. Supposons , en effet, qu'on ait rois la machine en expérience sans lui donner aucune charge , et qu'en admettant avec précaution une très petite quantité seulement de vapeur à chaque coup de piston dans le cylindre, on soit

parvenu à trouver par tâtonnement la portion j de

la course du piston, où l'on doit arrêter l'arrivée de la vapeur dans le cylindre, pour que le piston soit conduit juste au bout de sa course par la détente de cette vapeur. On aura ainsi, par expé-

rience , la quantité j; et par conséquent en recourant à la table \\^ I, ou à l'expression développée de A', savoir

il sera facile de connaître la valeur de k' qui correspond à celle observée de ,-.

MACHINES DE WATT A SIMPLE EFFET. 3o5

D'un autre côté on connaît le contre-poids n, et Ton peut mesurer avec un manomètre et avec Vindicateur de Watt , les pressions Vetp qui existent dans la chaudière et dans le cylindre à vapeur après condensation imparfaite. On possédera donc tous les éléments du calcul, et par conséquent en les substituant dans l'équation précédente

on en déduira sans difficulté la quantité/', ou le frottement de la machine sans charge dans sa course descendante.

Pour connaître ensuite la quantité ^, il suffit de faire fonctioimer la machine avec une charge connue, et de régler par tâtonnement, comme on le fait dans la pratique, la portion de course qu'il faut laisser parcourir au piston, avant d'arrêter l'arrivée de la vapeur dans le cylindre. On aura

alors, par expérience, la quantité j qui convient à la

charge r. Ensuite, en examinant le contre-poids et mesurant la pression dans la chaudière, ainsi que celle qui subsiste dans le cylindre après condensation imparfaite de la vapeur, on aura de même par observation directe les quantités P, /7,etn.

Or, on a toujours la relation (A) , savoir

3o6 CHAPITRE DIXIÈME. "^

qui donne

II sera donc facile d'en déduire cT, car j étant

connu comme on Ta dit plus haut, la table déjà indiquée permettra d'en conclure immédiatement A', et comme le frottement y est également connu par la recherche précédente , on aura tous les éléments de la valeur de cT.

Enfin y pour avoir le frottement y^' de la course montante, l'équation (B) donne

La machine étant donc toujours supposée réglée par tâtonnement avec une charge quelconque, on mesurera simultanément sur la machine

les deux quantités j , 7 et la pression P. Alors ,

en recourant à la table n" Il , ou à l'expression développée de A", savoir:

k = — ^— - log ^ — log^^;^,

on connaîtra la valeur de A:" qui correspond à celle observée de -t. On a d'ailleurs, par observation di-

rccte, celle de j ; ainsi, en introduisant ces valeurs

dans l'équation que l'on vient de donner, on en conclura la valeur de/".

Nous ferons cependant remarquer, à l'égard de la détermination def, que dans les machines employées à l'épuisement, ce frottement n'est pas strictement une quantité constante. En effet, il comprend la résistance opposée par l'eau d'épuisement à la pénétration du piston des pompes, et cette résistance varie en raison du carré de la vitesse du mouvement. Mais comme la vitesse du piston varie peu dans ces machines, on pourra se contenter de déterminer la valeur de/" pour la vitesse ordinaire, et cette valeur pourra ensuite être considérée comme une moyenne applicable à tous les cas.

On pourra donc toujours , d'après ce qui précède, déterminer le frottement de la machine dans chaque course, et le frottement additionnel de la course descendante pai» unité de la charge imposée à la machine. Après avoir mesuré ces frottements dans plusieurs machines, on en déduira une moyenne qui servira à évaluer le frottement des machines avant leur construction.

$ 9. Taèles pour la solution numérique des formules, pour les machines à simple effet.

Les formules (A) et (B), que nous avons données dans le paragraphe précédent, n'étant pas susceptibles d'une solution directe, et leur usLe intervenant cependant dans tous les problèmes

ao..

3o8 CHAPITRE DIXIÈME.

relatifs aux effets des machines, nous joignons ici deux tables qui en donneront la solution sans calcul.

La première de ces tables est relative à la course descendante du piston, et la seconde à la course montante. Les correspondances entre les nombres des diverses colonnes feront immédiatement con-

naître, soit la valeur de V quand ^sera donnée, soit au contraire la valeur de j quand ce sera k qui sera connu. Il en sera de même relativement

è r et W dans la seconde table.

/' Lorsque le rapport v sera déterminé , on en conclura aussitôt le rapport

puisque ce rapport n'est autre chose que

et que l'on connaît dans chaque machine la liberté c du cylindre.

Lorsque les équations contiendront le terme

sa valeur se conclura du rapport entre les deux

suivants

î — et — =— ,

MACHINES DK WATT A SIMPLE EFFET. Sog

qui sont tous deux connus d'après les valeurs de

Ainsi, dans aucun cas, il ne pourra se présenter de difficulté dans la solution numérique des formules.

Dans les tables que nous allons donner, nous avons supposé c = o.iZ; c'est-à-dire que nous avons pris la liberté du cylindre, passages aboutissants compris , comme égale au dixième de la course utile du piston. Cette proportion est effectivement adoptée dans les machines à simple effet , afin d'éviter les accidents qui pourraient arriver si le piston, en continuant sa course un peu trop loin , venait à frapper le fond du cylindre.

Nous devons rappeler ici que les quantités V et t' sont les longueurs parcourues par le piston , au moment où Ton intercepte les communications de la vapeur; et par conséquent, que ces longueurs sont supposées mesurées à compter du point de départ effectif du piston dans le cylindre, et non à compter de l'extrémité même du cylindre.

3ro

Table pour la solution numérique des formules. {Machines à simple effet, )

PORTION DE^iA CODRSE