dans lequel log. exprimerait alors un logarithme

ordinaire. Mais comme il existe dans plusieurs ouvrages des tables de logarithmes hyperboliques, et que, d’ailleurs, nous donnerons plus loin une table qui dispensera de toute recherche à cet égard, nous ne ferons ici aucun changement à la formule.

Cette équation est moins simple que celle à laquelle on parviendrait dans la même recherche, èn supposant que pendant toute son action dans la machine, la vapeur conserve sa température. Mais cette dernière supposition, quoique ne produisant souvent que peu de différence dans les résultats définitifs du calcul, n’est cependant pas réellement exacte; puisqu’il est incontestable que la vapeur change de pression, et que les expériences dont nous avons parlé plus haut, prouvent qu’elle change de température d’une manière exactement correspondante. La dernièro formule que nous venons de présenter a donc l’avantage de tenir compte dans le calcul de cette circonstance importante, et par conséquent, d’inspirer plus de confiance dans les applications. Du reste, en détruisant dans l’équation (1) l’effet du changement de température, on retombe immédiatement sur les formules que nous avons présentées dans le premier chapitre, en supposant la conservation de température de la vapeur.

En effet, nous avons vu d’après l'équation (a), qu'après que la vapeur est passée dans la machine à la pression R, le volume absolu de cette vapeur, qui correspond au volume d'eau S, est donné par la relation

n-j-çfV

An contraire, dans le cas où l’on suppose la conservation de température, le volume de la vapeur varie en raison inverse de la pression. Si donc on appelle m le volume relatif de la vapeur formée sous la pression P de la chaudière, volume supposé connu par les tables déjà données, il est clair que le volume absolu de la vapeur correspondante à la vaporisation S, sera d’abord, sons la pression P, exprimé par

mS;

et qu'en passant ensuite à la pression R, ce volume changera

en raison inverse des pressions, c’est-à-dire qu’il deviendra

mS R’

Donc pour passer d’une supposition à l’autre, il faut écrire

ou, ce qui revient au même, il faut, dans les formules déjà obtenues. faire

n=o et - = mP.

Alors l’équation de la vitesse devient

et celle-ci, pour le cas des machines sans détente, ou pour /' = /, se réduit à la suivante

mPS J

aR

qui est précisément celle dont nous avons fait usage dans le chapitre I er , en y négligeant seulement la liberté c du cylindre.

La quantité R que contient l’équation (1) est la pression totale résistante qui a lieu sur l’uuitc de surface du piston dans le mouvement. Mais cette pression résistante se compose évidemment de trois parties, savoir : la résistance provenant du mouvement de la charge que nous appellerons r; celle provenant du frottement propre de la machine, que nous exprimerons par en appe-

lant f le frottement de la machine non chargée, et £ l’accroissement que subit ce frottement par unité de la charge r; et enfin la pression qui peut subsister sur la face du piston opposée à l’arrivée de la vapeur, que nous représentons parp; eette dernière quantité p exprimant la pression atmosphérique quand la machine est sans condensation, ou, seulement, la pression de condensation dans le cylindre, quand la machine est à condensation. Les quantités r, f, p et £, sont d’ailleurs rapportées, ainsi que R, à l’unité de surface du piston.

Dans les calculs relatifs aux machines locomotives, nous introduirons de plus trois termes : le premier pour exprimer la rcsis-

I)E L’EFFET DES MACHINES

ai

tance de l'air contre le train en mouvement, force qui croissant en raison du carré de la vitesse, ne pourrait être négligée sans erreur ; le second pour représenter la résistance offerte par la machine elle-même dans le transport de son propre poids sur les rails; et le troisième enfin, pour tenir compte de la force dépensée par la machine à l'alimentation de son feu, suivant le mode en usage dans ces machines. Mais comme ces diverses circonstances ne se rencontrent pas en général dans les machines stationnaires, nous les omettrons en ce moment, et l'on pourra les rétablir dans les cas particuliers où cela pourrait devenir nécessaire.

D'après ce qui vient d’ètre dit, la résistance R peut être remplacée par

Nous substituerons donc cette valeur dans celle de v, et nous ferons en même temps

expression qui, dans le cas de l’—l, c’cst-à-dirc dans le cas des machines sans détente, se réduit simplement au rapport

PR

Alors la valeur de c deviendra

a' n-j-qR’

Et si l’on remarque que la quantité

n'est autre chose que le volume absolu occupé par la vapeur en contact avec le liquide sous la pression R, on reconnaîtra que pour avoir la vitesse cherchée, il fnut calculer le volume de vapeur qui correspond au volume d’eau S, supposé immédiatement transformé en vapeur sous une pression égale à la résistance R, diviser ensuite ce volume par l'aire a du piston, et enfin multi-

THf-ORlE DE I.A EACRINE A VAPEUR. 11

plier le quotient par la quantité k dont nous avons donne il y a un instant l'expression développée.

La formule (I) contient la relation générale entre toutes les données du problème ; et c'est celle qui nous servira à résoudre successivement les différentes questions que nous nous sommes proposées. On remarquera seulement que l’homogénéité de la formule exige que les dimensions a, I, 1, de la machine soient exprimées en mêmes unités que le volume S de l'eau vaporisée, et que les pressions par unité de surface P, r et p soient également rapportées à la même unité que S; circonstance que nous mentionnons, parce que, d'après les usages adoptés, ces diverses quantités sont ordinairement rapportées à des unités différentes, selon ce qui semble plus commode dans la pratique pour exprimer chacune d'elles.

Il faut encore ajouter que, d'après le mode même du raisonnement, il doit être entendu que la quantité S. qui entre dans l’équation, est la vaporisation effective de la machine; c’est-à-dire qu'elle représente le volume d’eau qui est réellement admis à l’état de vapeur dans le cylindre, et qui y a effet sur le piston. Si donc, par un mode do construction inhérent ou non au système de la machine, il se trouve qu'une portion de la vapeur produite s'échappe ou s'écoule sans agir sur le piston, cette portion ne doit pas être considérée comme comprise dans la quantité S, et ainsi doit être déduite avant tout calcul.

La formule que nous venons d’obtenir donnera la vitesse du piston pour-une charge r quelconque, lorsqu’on connaîtra les dimensions et les données diverses de la machine contenues dans l'équation. Cette formule est générale pour toute espèce de machine à vapeur rotative ou à mouvement continu. Si l’on cmploio la détente, il suffira de mettre pour /' la valeur correspondante au point de la course où la vapeur commence à être interceptée; si la machine n'est pas à détente, il suffira de faire /' = /. Si elle est à condensation, il faudra mettre pour p la pression de condensation ; et enfin, si elle n’est pas à condensation, on mettra pour p la pression atmosphérique. Néanmoins, avant de faire ces déductions relatives aux différents systèmes de machines, nous allons continuer à chercher les formules générales pour tous les problèmes que nous nous sommes proposés.

DE L’EFFET DES MACHINES

Nous ferons remarquer cependant que la vitesse du piston, dans une machine donnée, est totalement indépendante de la pression à laquelle la vapeur se forme dans la chaudière; et qu'elle dépend essentiellement, au contraire, de la vaporisation S de la chaudière par unité de temps, et de la résistance totale [(l-|-<î)r-j-p -)-/"] opposée au mouvement du piston.

§ 3. De la charge de la machine par une vitesse donnée.

La relation que nous venons d’obtenir fait connaître, réciproquement, la résistance que peut mettre en mouvement une machine connue à une vitesse déterminée. En effet il suffit d’en tirer la valeur de r; ou plutôt, comme r n’est que la résistance par unité de surface du piston, et qu’il convient d’avoir la résistance entière, on prendra immédiatement la valeur de a X r, savoir :

or= <r^“T^6+*'+4 • • • (2) . '

D’après la forme de cette expression, il semble, au premier aperçu, qu’en y faisant r==o, c’est-à-dire en supposant la vitesse nulle, on aurait pour résultat une charge inGnie; mais en examinant plus attentivement la formule, on reconnaît bientôt qu’elle ne donne nullement ce résultat.

Eu effet, si l’on a r = o, il faut aussi qu’on aitS = o : car S est la quantité de vapeur qui traverse effectivement les cylindres, dans une unité de temps; et une quantité quelconque de vapeur ne pourrait traverser les cylindres, sans pousser le piston et sans créer, par conséquent, une vitesse quelconque pour lu machine. Si l'on suppose la vitesse égale à zéro, il faut donc nécessairement qu'on ait en même temps S = o. Mais en faisant à la fois t> = o, et et S=o, ou trouve

ar== -, o

et non pus or=e o , comme il le paraissait d’abord.

Ainsi, dans ce cas, la formule se réduit à la forme indéterminée; mais la solution n’en est pas moins directe : il suffit, pour cela, de considérer les autres conséquences qui résultent encore dans le problème, de l’hypothèse de c = o.

Si nous supposons la vitesse nulle, il est évident d'abord que, puisqu’il ne passe plus de vapeur dans le cylindre, il ne se produit plus attcune détente de la vapeur, et que par conséquent nous retombons dans le cas général des machines où Ton ne fait pas usage de la détente. C’est-à-dire qu’il devient impossible de faire une distinction entre la portion l' de la course, parcourue avant la détente de la vapeur, et la longueur totale / de cette course, et qu’ainsi l’on doit faire l' = l. D’un autre côté, puisque la vitesse est nulle, il est clair que le piston, désormais immobile, devient une portion des parois de la chaudière, et que la pression qu’il supporte est nécessairement la même que celle supportée par tout autre point de la chaudière. Or nous avons vu que, dans le cas de /' = /, la pression de la vapeur dans lé cylindre a pour expression générale

Dans le cas qui nous occupe, celte pression est égale à P, qui exprime la pression dans la chaudière. Donc on a l’équation de condition

(1-Mr+p-f/WP;

et celle-ci résout immédiatement la question, car on en tire

Or, lorsque nous présenterons, dans l’article suivant de ce chapitre, l’équation (18) qui détermine la plus grande charge dont soit capable In machine avec une détente donnée /', on y reconnaîtra d’abord que cette charge acquiert son maximum absolu, pour le cas de l' — lf et qu’ainsi le maximum absolu de charge que la machine puisse maintenir en mouvement, est précisément comme ci-dessus :

Par conséquent, dans la supposition d’une vitesse nulle, la charge donnée par les relations générales n’est autre que la charge maximum que la machine puisse maintenir en mouvement, a Une vitesse qui, comme on le verra, est sa moindre vitesse uniforme possible.

DE L’EFFET DES MACHINES

Il peut paraître singulier, au premier aspect, que la machine puisse exister au repos, avec la même charge sous laquelle elle est susceptible d’acquérir une vitesse uniforme finie; mais comme on sait que, dans toutes leB machines, une force donnée peut maintenir an mouvement uniforme, c’est-à-dire maintenir dans l’équilibre dynamique la même résistance qui, à l’état de repos, lui ferait pareillement équilibre , ce résultat doit cesser de surprendre.

On doit remarquer, du reste, que les formules exposées ne donnent les effets de la machine qu’après que le mouvement est parvenu à l’uniformité. Or nous verrons bientôt que, pour une vaporisation donnée, la vitesse uniforme ne peut jamais être moindre que

, mS l

v== lT‘T+~c

puisque c’est celle qui correspond au passage de la vapeur dans les cylindres, à son état de plus grande densité, et qu’à toute antre densité, cette vapeur occuperait un volume plus considérable, et par conséquent ne pourrait traverser les cylindres dans le même temps, sans produire plus de vitesse. Toute supposition de vitesse moindre que celle-ci est donc inadmissible dans ce problème, comme étant incompatible avec l'état d’uniformité de mouvement, pour lequel seul on calcule les effets des machines.

§ A. Delà vaporisation nécessaire pour jrroduire des effets

voulus.

Pour trouver la vaporisation dont doit être capable une machine, pour mettre en mouvement une certaine résistance r, à une vitesse connue t>, on tirera de la même équation (1) In valeur de S,

S = ar— t? . . . (3)

Cette équation donnera la quantité d’eau que la machine doit être en état de vaporiser et de transmettre au cylindre par minute. Il sera donc facile, d’après le mode de construction que l’on

se propose d’employer pour la chaudière, et les données pratiques propres à évaluer la quantité d'eau vaporisée par celte forme de chaudière, de connaître quelle étendue de surface de chauffe il convient de donner à la chaudière de la machine pour obtenir les effets voulus.

Comme la quantité S représente ici la vaporisation effective dont doit disposer la machine, il est entendu que si la construction habituelle des machines dont on s'occupe donne lieu à une certaine perte de vapeur, soit par les soupapes de sûreté, soit autrement, on en tiendra compte avec autant d'approximation que possible, en ajoutant d'abord cette perte à la quantité S déduite de l’équation précédente, puis estimant la surface de chauffe convenable à la production de la vapeur utile augmentée de la vapeur perdue.

§ 5. Des diverses expressions de l’effet utile.

1° L'effet utile produit par la machine dans l'unité de temps à la vitesse c, est évidemment arc, puisque la vitesse v est en même temps l'espace parcouru par le piston pendant une unité de temps, l’ar conséquent en multipliant les deux membres de lcquation (3) par c, on aura cet effet utile, qui a pour mesure

On peut encore l’exprimer en fonction de la charge, en multipliant par ar les deux membres de l'équation (1). Alors on aura pour l'effet utile que peut produire la machine avec une charge fixée.

On remarquera que, dans une machine donnée, cet effet utile ne dépend pas de la pression à laquelle la vapeur se forme dans la chaudière, puisque la quantité P n’entre pas dans les expressions ci-dessus ; mais qu'il dépend essentiellement de la vaporisation S effectuée par la chaudière dans l’unité de temps.

2" Si l’on veut avoir la force en chevaux dont est capable la

DE L’EFFET DES MACHINES. R7

machine, à la vitesse v, ou quand on la charge d’une résistance r, il suffit d’observer que ce qu’on appelle la force d'un cheval représente, en mesures anglaises, un efTet de 33000 livres élevées à un pied par minute, et, en mesures françaises, un effet de 4500 kilogrammes élevés à un mètre par minute. Tout consistera donc à rapporter l’effet utile produit par la machine dans l'unité de temps, à la nouvelle mesure que l’on vient de choisir, c’est-à-dire à la force d’un cheval ; et il suffira par conséquent de diviser l’expression déjà obtenue dans l’équation (4), par 33000 ou par 4500, selon l’unité à laquelle cette expression était rapportée.

Ainsi, la force utile, en chevaux, dont est capable la machine à la vitesse v, ou chargée de la résistance r, sera

F. = 33 ^üô’ eu mesure » anglaises. ... (5)

F.*'.''*. — en mesures françaises.

Nous ferons toutefois observer que ce qu’on désigne par force d’un cheval, serait avec beaucoup plus de raison nommé effet de la force d’un cheval, ou effet d’un cheval, puisque c'est un effet et non une force. On dirait alors qu'une machine est de l’effet de tant de chevaux, au lieu de dire qu’elle est de la force de tant de chevaux.

3* Nous venons, dans les deux questions précédentes, d’exprimer l’effet de la machine d’après l’effet total qu’elle est capable de développer, sans égard à sa dépense de consommation. Maintenant nous allons, au contraire, l’exprimer, soit d’après l’effet qu’elle produit par chaque unité de sa dépense de consommation, soit d'après sa consommation pour exécuter un travail donné.

L’effet utile que nous avons obtenu dans l’équation (4), est celui qui est produit par le volume S d'eau transformé en vapeur; et comme ce volume d’eau S est vaporisé dans une unité de temps, le résultat est, comme nous l'avons dit, l'effet utile produit dans l’unité de temps par la machine. Mais si l’on suppose que pendant l’unité de temps, il se consomme N livres de combustible, il est clair que l’effet utile produit par chaque livre de combustible sera la N'"’"’ partie de l’effet ci-dessus.

Donc l’eflet produit par la consommation de 1 livre de combustible sera

Il suffira, pour appliquer cette formule, de connaître la quantité de combustible qui se consomme par minute dans le foyer, c'està-dire pendant que la vaporisatiou S se produit. Cette donnée pourra être déterminée par une expérience directe sur In chaudière elle-même, ou par analogie avec d'autres chaudières d'une disposition semblable. Et ce renseignement une fois obtenu, on pourra en faire usage pour tout autre cas et pour toute supposition de vitesse de la machine.

4“ Nous avons vu plus haut que l'effet que nous avons indiqué par E.“‘, est celui qui est dû au volume d'eau S transformé en vapeur. Si donc nous voulons avoir l’effet utile qui sera produit par chaque pied cube d’eau, ou par chaque unité du volume S, il est clair qu’il suffira de diviser l’effet total E.“- par le nombre d'unités qu’il y a dans S. Ainsi l'on aura pour l’effet utile dû à la vaporisation de 1 pied cube d’eau dans In machine,

8° Nous avons obtenu plus haut l’effet utile produit par une livre de combustible. Il sera facile, par conséquent, de connaître

le nombre de livres de combustible qui représente un effet utile quelconque, comme, par exemple, la force d’un cheval. En effet, il suffira d’une simple proportion, et l’on trouvera pour la quantité, en poids, de combustible nécessaire pour produire la force d’un cheval

Q ro. pr. t ch. = Q ro. pr. i ch. ___

, en mesures anglaises.

— , en mesures françaises.

6° On trouvera également, par une simple proportion, que la quantité ou le volume d’eau qu’il est nécessaire de vaporiser pour produire In même force d’un cheval, sera

Q .. pr. 1 ■■*.

, en mesures anglaises.

en mesures françaises.

DE L’EFFET DES MACHINES

7” On peut encore demander quelle force de chevaux sera produite, soit par I livre, soit par 1 kilogramme de combustible; et c'est évidemment

t F."- en mesures anglaises. . . . (10); E.“.

F «. ch. y,. t k co. — en mesures françaises.

8° Enfin, la force de chevaux produite par la vaporisation de 1 pied cube ou 1 mètre cube d’eau, sera de même

p t». ch m pr, t. p.f.

, en mesures anglaises. . . . (11);

F." - ck.pr. xm.o. en me8ures françaises.

4oUUi>

En mettant donc dans ces diverses équations, pour E.*’ sa valeur déterminée par la formule (4), on en déduira immédiatement la solution numérique des problèmes cherchés.

§ 6. Table pour la solution numérique des formules (. Machines rotatives)..

Comme les formules .que nous venons d’obtenir, et celles qui vont suivre, contiennent des logarithmes hyperboliques, dont l’usage est peu commode, nous joignons ici une table qui donnera sans calcul les éléments principaux des équations, et simplifiera considérablement toutes les recherches.

Dans cette table, nous avons supposé la liberté du cylindre c — 0.051, comme cela a lieu dans les machines à rotation et à volants, auxquelles nous nous bornons en ce moment. Dans les machines sans volants, dont nous parlerons plus loin, la liberté du cylindre, passages aboutissants compris, se fait de 0. 1 de In course, parce que le mouvement du piston n’étant pas limité par une manivelle, il y a plus de danger qu’il ne vienne à frapper le fond du cylindre.

THXOSIK DK LA XACRINI A TAPÏl K.

TABLE