THEORIE GENERALE DE LA MACHINE A VAPEDR

ARTICLE PREMIER

DE l.'fPVET DES MACHINES DANS LE CAS D'UNE DÉTENTE DONNÉE, AVEC CNE VITESSE OU l'NE CHARGE QUELCONQUES.

§ 1. Des divers problèmes qui se présentent dans te calcul des machines.

Après avoir exposé d’une manière succincte, dons le premier chapitre de cet ouvrage, la manière dont nous concevons le mode d'action de la vapeur dans les machines, nous allons passer maintenant au développement complet de la théorie dont nous n’avons encore donné qu’une esquisse fort imparfaite, et à la solution des divers problèmes qui peuvent se présenter dans le travail ou dans la construction des machines à vapeur.

Nous distinguons trois cas dans le travail d’une machine ; celui où elle travaille à une détente donnée de la vapeur, et avec une charge ou une vitesse quelconque* ; celui où elle travaille à une détente donnée, et avec la charge ou la vitesse qui conviennent à la production de son maximum d’effet utile avec cette détente ; et enfin, celui où la détente ayant d’abord été réglée pour le travail le plus favorable de la vapeur dans cette machine, on lui donne, en outre, la charge la plus avantageuse pour cette détente ; ce qui produit, par conséquent, le maximum absolu d’effet utile pour cette machine.

Cela posé, nous avons déjà dit que les trois problèmes fondamentaux du calcul des machines consistent à trouver successivement la vitesse, la charge et la vaporisation de la machine. Après la solution de ces trois problèmes, celui qui se présente d’abord comme un corollaire des premiers, consiste à déterminer l’effet utile de la machine; et cette détermination elle-même peut B’ex-

primer sous huit forme» différentes, savoir : par le nombre de livre» ou de kilogramme» élevé» à une hauteur donnée par la machine dans une unité de temps ; par la force en chevaux de la machine; par l’effet de 1 livre ou de 1 kilogramme de charbon; par l’effet de 1 pied cube ou de 1 mètre cube d’eau vaporisé ; par le nombre de livres de charbon ou par le nombre de pieds cubes d'eau vaporisés qu’il faut pour produire la force d’un cheval; et enfin par le nombre de chevaux que représente chaque livre de combustible consommée, oit chaque pied cube d'eau vaporisé. Nous devrons donc donner successivement le moyen de résoudre ces différentes questions.

Cependant, comme il convient de préciser ces énoncé» davantage, voici les problèmes que nous nous proposons de résoudre d’une manière générale pour chacun des trois cas indiqués ci-dessus, et pour les différentes espèce» de machines :

1° Etant donnée la charge d'une machine entièrement connue du reste, déterminer la vitesse que prendra la machine avec cette charge.

2" Connaissant, au contraire, la vitesse a laquelle on veut faire travailler la machine, déterminer la charge qu’elle pourra mettre en mouvement à la vitesse donnée.

3° Connaissant la charge que doit mouvoir la machine, et la vitesse qu'elle doit imprimer à cette charge, déterminer la vaporisation dont doit être capable cette machine, et par conséquent, les dimensions qu’il faut donner à sa chaudière, pour que les effets voulus soient produits. •

-4° Connaissant la vaporisation, la pression et les dimensions d’une machine, calculer l’effet utile quelle produira en un temps donné, à une vitesse fixée ou avec une charge déterminée.

Connaissant les mêmes données dans la machine, déterminer sa force en chevaux.

Connaissant les mêmes données, et en outre, la consommation de combustible du foyer par heure, déterminer successivement :

L’effet utile que la machine produira par unité de poids de combustible.

L'effet utile que la machine produira par pied cube ou mètre cube d'eau vaporisé.

Le poids de combustible qui produira la force d’un cheval.

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Le volume d’eau vaporisé qui produira la force d’un cheval.

La force, en chevaux, que produira la consommation d’une unité de poids de combustible.

La force, en chevaux, que produira chaque unité de volume d'eau vaporisée.

Ces divers problèmes seront résolus dans les trois cas mentionnés plus haut. Dans les deux derniers cas, par conséquent, la question sera de calculer la vitesse, la charge et les effets qui correspondent au maximum d’effet utile, relatif ou absolu, de la machine.

Dans la théorie ordinaire des machines à vapeur on n’avait jamais entrepris que de résoudre trois questions, savoir : déterminer la charge, la vaporisation et l’effet utile ( sous diverses formes ) ; et nous avons vu que la solution en était fautive. Quant à la détermination de la vitesse pour une charge donnée, on n'en avait proposé aucune solution ; et la nature même de la théorie qu’on employait , ne permettait pas de distinguer dans les machines l’existence des trois cas qui s’y rencontrent réellement. Il est donc possible que les énoncés que nous venons de présenter paraissent d’abord un peu obscurs, exprimés ainsi en termes généraux, et comportant des rapports sous lesquels on n'a pas coutume de considérer les machines ; mais ils s’expliqueront à mesure que nous entrerons dans la question, et l'on en verra à la fois la solution et l’indispensable nécessité, pour calculer d’une manière exacte, soit les proportions, soit les effets des machines à vapeur de tout genre et de tout système.

§ 2. De la vitesse du piston sous une charge donnée.

Nous avons, dans le paragraphe 6 du chapitre précédent, démontré que pendant toute son action dans la machiue, la vapeur reste continuellement à l'état de vapeur au maximum de densité pour sa température. D'autre part, nous avons donné une formule au moyen de laquelle on établit une relation directe et immédiate entre le volume et la pression de la vapeur au maximum de densité pour sa température. Il est donc clair que cette formule conviendra à tous les changements que peut subir la vapeur pendant qu’elle fonctionne dans la machine.

THÉORIE Pt LS MSCniSK K TAtSCS. 10

Nous admettrons, par conséquent, comme une relation générale convenable à tous les états de la vapeur, pendant son action dans la machine, l’équation déjà exposée

-ÏW

dans laquelle p exprime le volume relatif et p la pression de la vapeur ; et où les constantes n et q ont, selon les machines considérées, les valeurs respectives :

Machines à condensation :

n= 0.00004227 . . . ç = 0.0000000529, mesures françaises. n = 0.00004227 . . . q — 0.000000258, mesures anglaises. Machines sans condensation :

n=0. 0001421 . . . q — 0.000000047 1 , mesures françaises. n=0. 0001421 . . . j = 0.00000023, mesures anglaises. D’après l’équation (a), si l'on suppose qu'un certain volume représenté par S soit transformé en vapeur à la pression p, et que l’on appelle M le volume absolu de la vapeur qui en résulte, on aura

11 ~ s~**-Fîp'

Si ensuite le même volume d’eau se transforme en vapeur à la pression p, et que l’on appelle M’ le volume absolu qu’occupera la vapeur résultante, on aura encore

S ~ n -\ -qp”

Donc enfin, entre les volumes absolus de vapeur qui correspondent au même poids d’eau, on aura la relation définitive

JM

c’est-à-dire que les volumes de la vapeur seront entre eux, non pas dans le rapport inverse des pressions, comme on le supposait en admettant la loi de Mariotte, mais dans le rapport inverse des pressions augmentées d’une constante.

DE L’EFFET DES MACHINES

On on lire encore

Et les (leux équations (4) ct(c) serviront à déterminer soit M, soit p, selon celle de ces deux quantités qui sc trouvera inconnue.

Ces relations préliminaires une fois établies, pour embrasser immédiatement le mode d’action le plus complet de la vapeur, nous supposerons une machine travaillant par détente, avec une pression quelconque dans la chaudière, et avec condensation. El pour passer ensuite aux machines où l’on n’emploie pas la détente, ou bien à celles où l’on n’emploie pas la condensation, il suffira de faire dans les équations générales les suppressions ou les substitutions convenables.

D’après ce qu’on sait déjà de la théorie proposée, la relation

que nous cherchons entre les diverses données du problème, se déduira de deux conditions générales : la première exprimant que la machine est arrivée au mouvement uniforme, et par conséquent, que la quantité de travail appliquée par la puissance est égale à la quantité d’action développée par la résistance; la seconde, qu’il y a nécessairement égalité entre la masse do vapeur dépensée par le cylindre et la masse de vapeur produite dans la chaudière.

Soit P la pression totale de la vapeur dans la chaudière, et P' la pression qu’aura cette vapeur à son arrivée dans le cylindre, pression qui sera toujours moindre que P, excepté dans un cas particulier que nous traiterons plus loin. La vapeur pénétrera donc dans le cylindre à la pression P', et elle continuera d’affluer avec cette pression et de produire un effet correspondant, jusqu’à ce que la communication entre la chaudière et le cylindre soit interceptée. Alors il cessera d’arriver de la vapeur nouvelle dans le cylindre, mais celle qui y est déjà parvenue commencera à se dilater pendant le reste de la course du piston, en produisant par sa détente une certaine quantité de travail, qui s'ajoutera à celle déjà produite pendant la période d’admission de la vapeur.

P étant la pression de la vapeur dans la chaudière, et P' la pression qu’elle prendra à son arrivée dans le cylindre avant la détente, soit n la pression de celte vapeur en un point quelconque

de la détente. Soit en même temps / la longueur totale de la course du piston, /' lu portion parcourue au moment où a commencé la détente, et x celle qui correspond au point où la vapeur a acquis la pression *. Enfin, soit encore a l’aire du piston, et c la liberté du cylindre, c’est-à-dire l’espace libre qui existe à chaque bout du cylindre, au delà de la portion parcourue par le piston, et qui se remplit nécessairement de vapeur à chaque course ; cet espace, y compris les passages aboutissants, étant représenté par une longueur équivalente du cylindre.

Si l’on prend le piston au moment où la longueur de course parcourue est X, et la pression n, on verra que si le piston parcourt, en outre, un espace élémentaire dx, le travail élémentaire produit dans ce mouvement sera nadx. Mais en même temps, le volume a(/'-j-c), occupé par la vapeur avant la détente, sera devenu o(i-)-c). Donc, d’après l’équation (c) précédemment indiquée, il existera entre les deux pressions correspondantes P' et ir, la relation

En multipliant les deux membres de cette équation par ad*, on en déduira

.odi=o(r-j-c) (“ + P') r-p-J»*-

Cette expression donnera donc la quantité de travail élémentaire produit par la détente, pendant que le piston parcourt l’espace dx ; et si l’on prend l’intégrale entre les limites i' et /, on aura l’eiFet total produit par la détente de la vapeur, depuis le moment où elle est interceptée, jusqu’à la fin de la course, savoir :

«(*'+«)(“+ p ') fcjpïjEî— r )’

expression où le logarithme est un logarithme hyperbolique.

Cette quantité exprimant le travail effectué pendant la portion de course durant laquelle il y a eu détente, en y ajoutant l’effet P 'al', produit pendant la partie antérieure /' de cette course, ou avant le commencement de la détente, on aura pour le travail

Diq

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total développé par la vapeur durant toute la course du piston.

Mais la machine étant supposée parvenue au mouvement uniforme, le travail développé par le moteur doit être égal à celui développé par la résistance. En représentant par R la pression totale exercée sur l’unité de surface du piston en vertu de cette résistance, ou plutôt en vertu de toutes les résistances diverses qui ont lieu dans la machine, le travail qu’elle aura développé pendant une course aura pour expression

oR/.

Donc on doit avoir la relation

«'-H (f + r) [^r; + i» g t+f ] (ai

qui est la première relation générale entre les diverses données du problème.

Cette équation exprimant que le travail développé par la puissance, se retrouve en entier dans l’effet produit, on remarquera que pour qu’elle ait lieu, il n'est pas nécessaire que le mouvement de la machine soit strictement uniforme. Il peut également être composé d’oscillations égales, partant chaque fois d’une vitesse nulle pour revenir à une vitesse nulle ; pourvu que les oscillations successives aient lieu en temps égaux, et que les changements de vitesse se fassent par degrés insensibles, de manière à éviter la perte de force vive.

On doit observer également que si dans cette expression, on fait f — l, ce qui revient à supposer que la machine travaille sans détente, l’équation se réduit à P' = R; c’est-à-dire que, dans ce cas, la pression de la vapeur dans le cylindre sera égalo à la pression de la résistance contre le piston, comme nous l’avons déjà démontré directement pour les machines sans détente, dont nous avons parlé dans le chapitre premier.

Nous venons d’obtenir la première relation générale entre les données et les inconnues du problème. Maintenant il s'agit d’obtenir une seconde relation résultante de l’égalité entre la production et la dépense de vapeur. Pour cela, si l’on exprime par S le

volume d’eau vaporisé par la chaudière dans l’unité de temps, et transmis au cylindre, ce volume en arrivant dans le cylindre, transformé en vapeur à la pression P', y deviendra, d’après la relation déjà énoncée (a),

Ce sera donc le volume de vapeur, à la pression P% fourni par la chaudière dans l’unité de temps, ou dans une minute, par exemple. D’autre part, a(/'-}-c) étant le volume de cette vapeur qui se dépense par coup de piston, s’il y a K coups de piston par minute, la dépense par minute sera

Ka(T-j-c).

Mais si l’on exprime par v la vitesse du piston par minute, on aura aussi v—KJ; ce qui donne K='. Donc la dépense ci-dessus sera

Donc, puisqu'il y a égalité entre la production et la dépense de vapeur, on aura l'équation

S r + c ••-i-çp' co / ’

qui est la seconde relation générale entre les données et les inconnues du problème.

Par conséquent, en éliminant P' entre les deux équations (A) et (B), on aura pour la relation définitive cherchée,

a n -)- gR

[rqpï+ l0 »f$ï]- • • w

Dans cette équation le logarithme log y— j- — est un logarithme

hyperbolique. Comme on sait que ces logarithmes se déduisent de ceux des tables, en multipliant ces derniers par le nombre constant 2.302385. ou approximativement par le nombre 2.303, on pour-

rait remplacer, pour la pratique, le ternie log — parlesuivant

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