CHAPITRE XII
DES MACHINES ATMOSPHERIQUES.
ARTICLE PREMIER
MACHINE ATMOSPHERIQUE A CONDENSEUR.
§ 1". Réglement de la machine.
Dans les machines atmosphériques, la vapeur est d’abord introduite sous le piston, pour le soulever avec l’aide d’un contre-poids attaché à l'extrémité opposée du balancier; ensuite cette vapeur est condensée, et le piston pressé sur sa face supérieure par la pression atmosphérique, redescend au fond du cylindre, en faisant monter la charge, c'est-à-dire l’eau d’épuisement des pompes, à une hauteur correspondante, et en élevant en même temps le contre-poids. Alors une nouvelle quantité de vapeur est admise dans le cylindre, le piston est relevé de nouveau, et l’action se continue comme auparavant.
Dans ce système, la force motrice est donc, successivement, la pression de la vapeur aidée du contre-poids d'abord, et la pression atmosphérique ensuite; et l'effet utile, au lieu de se produire pendant la première de ces deux périodes, c’est-à-dire dans le moment de l'application de la vapeur, se produit au contraire pendant l’action de la pression atmosphérique. Ces deux forces agissent par conséquent tour à tour ; cependant comme la pression atmosphérique n’est ici qu’une force inerte, incapable de produire aucun effet, à moins qu’elle n’en soit d'abord mise en mesure par la production et l’application de la vapeur, il s'ensuit qu'après tout, c'est toujours la vapeur qui est la vraie force motrice du mouvement. .
Le mode d'action de cette mnehine peut facilement se ramener à celui d’une machine de Watt à simple effet ; car, poisque la pression atmosphérique équivaut à un poids de 14.71 livres par pouce carré, on peut supposer qu’on place sur la partie supérieure du piston, des poids réels de 14.71 livres par chaque pouce carré
TRtORIE Dt LA MACHINE A VAPEUR. 29
de sa surface, et ces poids produiront le même effet que la pression atmosphérique. Ou pourra donc alors supprimer l’action de l’atmosphère, considérer que les choses sc passent dans le vide, et rien ne sera changé nu système. De cette manière la machine se réduira à un poids materiel placé sur le piston d’une part, et do l'autre à la pression de la vapeur introduite et supprimée tour a tour sous le piston, pour le soulever d'abord avec le secours d'un contre-poids et le laisser redescendre ensuite par l’effet du poids qui a remplacé la pression de l’atmosphère. On retombera donc alors exactement dans le cas d'une machine de Watt à simple effet, dans laquelle l’effet utile, nu lieu de se produire immédiatement pendant l’application de la vapeur, se produirait pendant le retour du piston ; et, par conséquent, dans ces machines, la vapeur joue le même rôle que di^js les machines de Watt à simple effet.
Les machines atmosphériques n’ayant point en général de volant, ni de manivelle, c’est-à-dire n 'étant pas rotatives, néressi- ’ tent, comme les machines de Watt à simple effet, un règlement particulier; afin que le piston s’arrête de lui-mèino dans le cylindre, après avoir parcouru la course entière qui lui est assignée, sans la dépasser, ni s’arrêter auparavant. Pour obtenir cet effet, un instant avant que le piston n'atteigne le haut du cylindre dans sa oourse montante, on supprime l’arrivée de la vapeur de la chaudière ; alors, pendant l’espace qui lui reste encore à parcourir, le piston ne se meut plus qu'en vertu de sa vitesse acquise, de l’effort du contre-poids et de la pression décroissante de la vapeur pendant sa détente. Dès que la communication de la chaudière est interrompue, la résistance de l’atmosphère sur le dessus du piston devient dono en peu de temps supérieure à la force motrice; et, par conséquent, le piston se trouve arrêté sans choc et par degrés insensibles.
Dans la course descendante, au contraire, on suspend la condensation de la vapeur un peu avant la fin de la course, soit en arrêtant l’eau d'injection, quand la condensation se fait dans le cylindre meme, soit en fermant à temps la communication du cylindre au condenseur, quand la machine est munie d'un condenseur séparé. La vapeur qui se trouve ainsi enfermée sous le piston sans être condensée, lui oppose donc en se comprimant une résistance de plus en plus grande, et finit par le ramener doucement
au repoa. Mais on doit remarquer que, comme cette vapeur recueille ainsi tout le travail développé par le piston en revenant au repos, et qu’elle doit contribuer elle-même à la course suivante du piston, il ne se fait encore aucune perte d’action.
Au moyen de ces dispositions, qui ont pour but pratique de préserver le fond du cylindre des chocs du piston, la machine atmospérique se trouve, comme celle de Watt a simple effet, régularisée dans sa vitesse et ramenée chaque fois au repos sans perte de force vive. Par conséquent, en se reportant à ce que nous avons dit relativement à ce point, en traitant des machines de Watt à simple effet, on reconnaîtra que les formules propres au calcul des machines atmosphériques peuvent encore être établies sur les mêmes principes que précédemment, savoir : l'égalité^itre le travail développé par la puissance et celui exécuté par la résistance dans les deux courses du piston, et l’égalité entre la dépense de vapeur par le cylindre et la vaporisation utile de la chaudière.
§ 2. Des effets de ta machine avec un centre-poids donné et une charge ou une vitesse quelconques.
On doit distinguer trois cas dans le travail des machines atmosphériques : celui où elles fonctionnent avec un contre-poids donné et une charge ou une vitesse quelconque»; celui où elles fonctionnent avec un contre-poids donné et la charge ou la vitesse qui produisent le maximum d’effet utile pour ce contre-poids ; et enfin, celui où le contre-poids ayant d’abord été réglé à son degré le plus avantageux pour le travail de la machine, on donne en outre à celle-ci la charge la plus avantageuse pour ce contrepoids, ce qui produit par conséquent le maximum absolu d’effet utile dont est capable la machine.
Nous supposerons d’abord le premier cas, et nous appellerons, comme précédemment :
n Je poids du contre-poids supposé réparti par unité de la surface du piston ;
P la pression totale de la vapeur dans la chaudière;
a l’aire du cylindre ;
/ la course totale du piston ;
I' la portion parcourue dans la course montante, avant qu’on intercepte l’arrivée de la vapeur dans le cylindre ;
l" la portion parcourue dans la course descendante, avant qu'on ferme le robinet d’injection, ou la communication du cylindre au condenseur ;
r la charge utile du piston répartie par unité de la surface du piston ;
f le frottement de la machine, alors non chargée, pendant la course montante du piston ;
f le frottement de la machine fonctionnant sans charge, pendant la course descendante du piston ;
t le surplus que subit ce dernier frottement, par unité de la charge r imposée à la machine dans la course descendante ;
y la pression atmosphérique ;
p la pression moyenne, subsistant sous le piston, en raison de la condensation de la vapeur.
Enfin, nous supposerons que la machine est munie d’un condenseur séparé.
Cela posé, pendant la course montante du piston, la vapeur pénètre dans le cylindre, comme dans la machine de Watt à simple effet, avec la même pression que dans la chaudière, et la quantité d’action développée par sa pleine pression durant son arrivée directe de la chaudière, et ensuite par sa pression décroissaute durant la détente, a encore pour expression
D’un autre côté, pendant la meme course, le travail développé par le contre-poids, en descendant de la hauteur /, est no/; celui qui est exécuté par le frottement de la machine, alors non chargée, est fai; et enfin, celui qui est exécuté par la pression atmosphérique est fal. Par conséquent l’égalité entre la quantité de travail développée par la puissance et par la résistance fournira l'équation
< 1 ' + c) (^+ p )(/4^+ Ios /' 4^)~ a/ =? a/ +/'«'-
Et en faisant, pour simplifier,
on pourra écrire l'équation précédente sous la forme
Ce sera donc la première des trois relations générales cherchées.
Pour passer maintenant à la course descendante du piston, la quantité de travail appliquée par la pression atmosphérique, qui est alors la force motrice, a pour valeur fal. D'autre part la quantité d'action développée par le contre-poids est nul, celle de la charge est ral, et celle du frottement de la machine chargée est
ir +»)•*'
Quant à celle qui est développée par la pression p, subsistant sous le piston en raison de la condensation imparfaite de la vapeur, on doit la décomposer en deux parties. La pression p s'exerce d’abord sans effet additionnel, pendant que le piston parcourt la longueur l" de sa course, c’est-à-dire jusqu’à ce que l'on ferme la communication du condenseur, ou que l'on suspende la condensation de la vapeur, si la machine n'a pas de condenseur. Cette pression produit donc, dans ce premier intervalle, une quantité d'action exprimée par
pal".
Mais à partir de ce point, la condensation cesse; la vapeur qui subsiste encore sous le piston commence à être comprimée de plus en plus, et cet effet s’exerce sur la longueur (l — l"), que le piston doit encore parcourir pour terminer sa course. Il reste donc à déterminer la quantité d'action que développe la vapeur pendant cette compression.
Or, au moment où cette vapeur commence à être comprimée, elle est à la pression p, et le volume qu’elle occupe au-dessous du {liston est
a{l — /"-fc).
Si donc on appelle ° la pression, mesurée par unité de surface, qu'elle aura lorsque le piston aura parcouru la longueur x de sa
course, et qu’on suppose que le piston parcoure en outre un espace élémentaire d>, le travail élémentaire correspondant, produit par la compression de la vapeur, sera
a edi.
Mais comme c’est la même vapeur qui, après avoir occupé, en présence du liquide de condensation et sous la pression p, l'espace
o(/— /"-fc),
occupe maintenant sous la pression or, l’espace a(l— 1+c),
sans qu'on lui ait enlevé, dans cet intervalle, aucune portion de sa chaleur totale, il existe entre les volumes et les pressions correspondantes de la vapeur, la relation (c) que nous avons démontrée généralement (cbnp. III, art. I, § 2), savoir : fn , 'i a[l—l" 4-c) »
B rî +? j a(/-i + c) q
Par conséquent, on en conclut
-*H (;+f) «-r+Opép ; ~ î"*-
Ainsi, en procédant comme précédemment, c'est-à-dire en prenant l’intégrale de cette expression entre les limites l" et i, on aura pour la quantité d'action développée par la compression graduelle de la vapeur sur la longueur^ — F) de la course, l’expression suivante :
où le terme
exprime un logarithme hyperbolique.
En y ajontant le travail pal ", produit pendant la portion de course antérieure à la compression de la vapeur, on aura pour la quantité totale d’action développée par la résistance de la vapeur non condensée
Si l’on fait, pour abréger,
l'expression précédente pourra s’écrire sous la forme
Par conséquent, en se reportant à ce que nous avons trouvé pour la quantité d'action développée par la pression atmosphérique, la charge, le contre-poids et le frottement de la machine, nous exprimerons l'égalité entre le travail appliqué par la puissance et le travail exécuté par la résistance, dans la course que nous considérons, par l'équation suivante :
</al=ral-\-Xlal-\-(f'-\-Sr)al-\- ^ -j-p
qui donne
C’est par conséquent la seconde relation entre les données et les inconnues du problème.
Enfin, la troisième relation cherchée s’obtiendra en exprimant l’égalité entre la production et la dépense de vapeur,
S étant toujours le volume d’eau vaporisé par minute dans la chaudière, et effectivement transmis au cylindre, ce volume d’eau, une fois transformé en vapeur à la pression P de la chaudière, deviendra, comme on l'a vu,
D’un autre côté la capacité du cylindre qui se remplit de vapeur à chaque course montante du piston, est exprimée par
Mais nous avons vu qu'à chaque course descendante, une certaine quantité de vapeur reste comprimée sous le piston, et se trouve employée à la course suivante, c’est-à-dire restituée a la chaudière, au lieu d’étre condensée. La pression de cette vapeur, au
moment qu’on en fait la réparation dans le cylindre, est p, et le volume qu’elle occupe sous cette pression est «(/-!"+ c).
Si elle repassait à la pression P, sans perdre de sa chaleur totale, son volumechangerait dans le rapport
c'est-à-dire qu’il deviendrait
Cette expression donne donc le volume de vapeur, mesuré à la pression de la chaudière, qui est restitué à chaque course descendante. Ainsi la dépense réelle de vapeur par double coup de piston n’est que
a( f +c) fl( /r +c) ;+ïJ,
Par conséquent, en représentant par M le nombre des doubles coups du piston que donne la machine par minute, la dépense de vapeur par minute sera
Mais si l’on appelle V la vitesse moyenne du piston, ou l’espace qu’il parcourt par minute, tant en montant qu’en descendant, on aura V = 2Mf; ou bien si l’on ne compte pour la vitesse que l’espace parcouru par le piston en produisant l’effet utile, c’est-à-dire en descendant seulement, et qu’on appelle c cette vitesse ainsi mesurée, on aura
v — Ml, ou M =j.
Ainsi le volume de vapeur dépensée par le cylindre dans une minute sera
?,[(f +c) -(i-r +c )^îP].
L’équation qui exprime l’égalité entre la production et la dépense de la vapeur sera donc
qui donne
C'est la troisième relation générale cherchée.
Par conséquent, en y joignant les deux équations (A) et (B) obtenues plus haut, et résolvant ces équations par rapport aux quantités r et S, on obtiendra les formules suivantes :
»- «if \ w
"-rh [î + f-T-«-g+^] (2)
S = ar (» + 9 P ) — l - ‘i r ( n + 9P)] (*)
E." 1 = arc (4)
Les expressions k' et k" contenues dans ces équations, ont les valeurs suivantes :
,, r + ef r , , i + c\
‘ = ~r[r+- c +^Ttit
,-Ç + tDZî % iii£+f.
S 3. De la vitesse de la machine avec une charge donnée.
Les formules que nous venons d’exposer suffisent à la solution de tous les problèmes que peut présenter la machine atmosphérique. Cependant, comme il est impossible de tirer des deux éqna-
tions (A) et (B) les valeurs directes de j et ^ en fonction des don- THfioRis Dt is hschive. a varies. 30
née* du problème, pour les substituer dans les formules (1), (2). (3), (4), comme cela serait nécessaire pour que ces formules donnassent immédiatement la solution cherchée, on sera obligé d'employer un mode de calcul analogue à celui que nous avons déjà indiqué pour la machine de Watt à simple effet, et que nous rappellerons ici. <
Supposons que Ton connaisse la charge de la machine, et que l’on cherche lu vitesse qu’elle prendra avec cette charge.
On substituera la valeur donnée de r dans l’équation (B),
qui donnera par conséquent la valeur de k". Alors, en recourant à la table que nous donnerons dans un instant, on y trouvera
inscrite la valeur correspondante de j. D’un autre côté, en calculant le second membre de l’équation (A),
on obtiendra la valeur de k'; et par suite la valeur de au moyeu
«le la table déjà mentionnée. On aura donc ainsi - et ; et par
conséquent en substituant la valeur de ces deux quantités dans l’équation (I),
on en déduira facilement la vitesse cherchée.
Nous ferons remarquer, à l’égard de ce dernier calcul, que si l’on exprime par m et in' les volumes relatifs de la vapeur sous le» pressions respectives Petp, on aura
m = —, — Ct ni — j .
n-pijP n~ r qp
La valeur de v peut donc aussi s’écrire S I
et sous cette forme on voit qu’elle sera plus simple à calculer et plus exactement obtenue, car les quantités m et»*' seront connues d’une manière rigoureuse, et cependant sans calcul, par les tables que nous avons données dans le § 3 du chapitre II.
% A. De la charge de la machine avec une vitesse donnée.
Supposons que la vitesse de la machine soit donnée, et que l’on cherche la charge qu’elle pourra mettre en mouvement à cette vitesse.
L’équation (A)
'ïj+f+r-n
.witd f
fournira d’abord la valeur de k' , et par conséquent celle de ^ au
moyen de la table indiquée. Connaissant cette valeur de j. on la
substituera dans l’équation (1^, qui donnera la valeur de y-, savoir / — r-f- c V- f c n-f qP S l
I 1 ’ *» at'n-\-qp‘
Par conséquent, on pourra, en recourant à la même table, connaître la valeur correspondante de k", et en substituant celle-ci dans l’équation (2), qui est
ar= r+-i[î+ ? “ r II ~Ê+ p ) r }
on obtiendra définitivement la valeur de ar.
S 5. De la vaporisation de la machine, pour produire des effets voulus.
Supposons que l’on connaisse la charge et la vitesse de la imr-
chine, et que l’on veuille trouver la vaporisation nécessaire pour produire la vitesse voulue avec la charge donnée.
Les équations (A) et (B) feront d’abord connaître *' et k", et par f i"
suite j et - ; en les substituant donc, ainsi que celle de la vitesse donnée, dans l’équation (3) :
S = av (« -f q?) — ‘ (« + qp) j ,
ou en conclnra la valeur de S.
$ 6. De l’effet utile de la machine.
ËnGn, la charge étant donnée, supposons que l’on veuille connaître l'effet utile que produira la machine avec cette charge.
On calculera d’pbord, comme il vient d’être dit. la vitesse correspondante à la charge donnée, et en multipliunt ensuite celte vitesse parla charge, le produit arc sera l'effet utile correspondant.
Si la vitesse est connue, au lieu de la charge, on calculera la charge correspondante à cette vitesse, et leur produit arv donnera encore l'effet utile correspondant.
Enfin les diverses expressions de l'effet utile, soit en chevaux, soit mesurées par la force que produit une dépense donnée d’eau et de combustible, se détermineront, en fonction du produit arv, par les formules du paragraphe 5 de l’article I er du chapitre 111, qui conviennent à toutes les machines.
On aura donc ainsi le moyen de résoudre toutes les questions qui pourront se présenter à l’égard des machines atmosphériques.
§ 7. Détermination du frottement de la machine non chargée, et de son frottement additionnel par unité de ta charge.
L’usage des formules qui précèdent, supposant que l’on connait ou qne l’on est en état de déterminer le frottement des machines fonctionnant sans aucune charge, et le surplus que subit ensuite ce frottement par chaque unité de la charge imposée à la machine, il est nécessaire de nous arrêter un instant sur cette détermination.
L’équation (A), savoir :
donne • ,
Pour connaître le frottement f de là machine sans charge dans la course montante, il suflira donc de déterminer par expérience, ou par observation directe, les quantités y, n, P et k'.
Or, c’est une chose facile; cary est la pression atmosphérique qui est indiquée par le baromètre, n est le contre-poids de la machine qui est connu, et P la pression totale de la vapeur dans la chaudière, que l’on mesure au moyen du manomètre. Ainsi, il ne reste que k' qui exige une détermination particulière. Supposons donc qu’on mette une machine en expérience avec une charge quelconque, et que l’on règle la course montante par tâtonnement, comme on le fait toujours dans la pratique. Alors, la quantité c’est-à-dire le point où l’on doit intercepter l’arrivée de la
vapeur de la chaudière, se trouvera donnée par l’expérience même. Par conséquent, en recourant à la table que nous donnerons dans un instant, ou à l’expression développée de k', savoir :
ii f "4“ c \
il sera facile de connaître la valeur de k’ correspondante à celle de j. Ainsi, en substituant cette valeur de k' dans l’équation pré-
cédente, avec les valeurs observées de y, u et P, on en conclura sans difficulté lu valeur de f, ou le frottement de la machine, non chargée, dans la course montante.
Pour avoir ensuite le frottement pareil f", de la course descendante, il faudra recourir à l’équation (B)
qui donne
Cette relation est générale, et par conséquent doit avoir lieu encore quand la charge de la machine est nulle, c’est-à-dire quand on a r=o. Mais alors elle se rédüit à ,
il suffira donc, pour avoir la valeur de f", d’être en état de reconnaître directement quelle est la valeur que prennent les quantités p et A-", avec une charge nulle ; car, pour les quantités f et n, ce sont des constantes qu’on pourra toujours mesurer, comme il a été dit plus haut.
Pour avoir les valeurs de p et A" qui correspondent à une charge nulle, il faudra recourir à l’expérience. On mettra la machine en expérience sans lui donner aucune charge, mais en effectuant la condensation très-imparfaitement, c’est-à-dire en conservant sous le piston une pression de condensation très-élevée, et en fermant à temps et avec précaution le robinet du condenseur, ou le robinet d’injection; de manière que la machine se trouve réglée dans sa course descendante par son frottement seul et la résistance de la vapeur comprimée sous le piston. Alors on mesu-
rera directement la portion y de la course, qui est parcourue avant
la suspension de la condensation. En recourant donc à l’expression développée de k ", savoir :
il sera facile de connaître la valeur de A" correspondante à la va-
leur mesurée de -. Dans le même instant on prendra par observation directe les quantités n et p, c’est-à-dire la pression atmosphérique, le contre-poids et la pression de condensation. Pur conséquent en substituant ces diverses valeurs dans l'équation
on en conclura le frottement de la machine, non chargée, dans sa course descendante.
A l'égard de la mesure directe de la quantité p, elle devra être effectuée- par le moyen de l'indicateur de la pression de Watt, si Ir machine a un condenseur; parce que nous avons vu, en parlant des machines de VValt à double effet, que la pression dans le cylindre est toujours supérieure à celle du condenseur. Mais si la machine n’a pas de condenseur, on se contentera de prendre avec un thermomètre la température de l’eau qui sort du cylindre après la condensation. Cette température étant aussi celle de la vapeur avec laquelle l’eau était en contact, il suffira alors de recourir aux tables que nous avons données dans le chapitre II de cet ouvrage, sur la pression et la température de la vapeur en contact avec le liquide, pour avoir la pression de condensation correspondante.
Connaissant la quantité f, ou le frottement de la machine sans charge, il sera facile d’obtenir le surplus S que subit ce frottement par unité de la charge imposée à la machine. Pour cela on fera fonctionner la machine avec une charge connue r, en réglant la course par tâtonnement comme dans l’usage ordinaire. Alors en prenant, comme ci-dessus, la mesure directe des quanl"
tités n, j, ctp, et en les substituant avec la valeur de r, dans
l’équation (B), qui donne
on en conclura immédiatement la valeur de £.
Ainsi les trois constantes f, f' et S pourront être déterminées sur plusieurs machines ; et de l’ensemble de ces déterminations, on pourra conclure une évaluation moyenne de ces quantités, qui servira ensuite pour les calculs généraux, et pour les machines encore à construire.
Nous ferons cependant ici une observation analogue à celle que nous avons faite déjà, relativement aux machines de Walt à simple effet : c’est que, dans les machines employées à l’épuisement.
le frottement de la machine dans la course montante n’est pas strictement une quantité constante. Ce frottement comprend en effet la résistance de l’eau à la pénétration du piston des pompes d’épuisement ; et cette résistance varie avec la vitesse du mouve-
UD
ment. Mais comme la vitesse des machines atmosphériques ne varie que dans de fort étroites limites, il suffira de déterminer f polir la vitesse moyenne en usage, et cette détermination pourra être considérée comme une moyenne applicable aux différents cas.
§ 8. Tables pour la solution numérique des formules.
I.’emploi des formules qui précèdent exigeant une table qui fournisse immédiatement les valeurs de *' et k" correspondant à
Tl",.
des valeurs données de - ou -y, et réciproquement, nous donnons ici cette table, calculée de centième en centième pour les valeurs
de y et j.
Lorsque le résultat d’une formule aura fait connaître i'ou k", la
ü j aï*** i f
table donnera à simple vue 7 ou T : et l’on en conclura aussitôt les valeurs de
et
puisque ces fractions ne sont autre chose que
t J.Î ct L t£'"
et que la quantité c, qui représente la liberté du cylindre, est toujours connue en fonction de la longueur utile de la course, ou de la quantité/.
Nous avons, dans la table qui suit, pris la liberté du cylindre égale au dixième de la course utile du piston, c'est-à-dire que nous avons fait c = 0.1 1 ; parce que cette proportion est celle généralement adoptée dans la pratique. Cependant, comme dans les machines atmosphériques sans condenseur, il arrive très-fréquemment que la liberté du cylindre s’élève à 2 et 3 dixièmes de la course, nous ajoutons à la table n° II, qui est la seule nécessaire au calcul de ces machines, deux autres colonnes pour le cas de
y=0.2cty = 0.3.
TABLE
FOCH LA ÜOUJTIO!» M’MfcBÏQl'K DE* P0BMCLK9 (üACKWK* ATMOSPHÉBlglE*'.
