PRÉFACE

ViUilas funclionmn ellipticarum, iis, qui, dum verilaliim aclernariim sublimilalem alque divinam venustalem non sapiuni, carum pretium ex solo iisu qui inde in parles mailieseos applicatae redundare polest auslimare noveruul, liasce invesligaliones cariores reddal! Gauss.

Depuis les premiers travaux (I'Abel et de Jacobi sur les fonctions elliptiques, la théorie de ces transcendantes a donné lieu aux recherches les plus variées et les plus fécondes. Dans le premier mémoire d'AoEL se trouvent signalées pour la première fois la double périodicité de ces fonctions, et la relation intime qui existe entr'elles et les produits infinis, appelés aujourd'hui fonctions 9 par les géomètres. Ces deux idées fondamentales ont été le point de départ de deux méthodes très distinctes au moyen desquelles on a abordé les parties les plus difficiles de la théorie des nouvelles fonctions.

Jacobi, avec son génie créateur, approfondit avec soin la nature de ces produits infinis, entrevus autrefois par Cauciiy et Poisson; il arriva ainsi aux conclusions les plus inattendues, non seulement sur les fonctions elliptiques, mais encore sur la théorie des nombres. Hermite en France, Cayley en Angleterre parvinrent aussi à d'importants résultats dans cette voie. Enfin l'étude des séries analogues à celles qui naissent

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de la considération des fonctions 6 , conduisit Gopel, Rosenhain et Weierstrass à Tinversion des intégrales Abéliennes,

D'autres géomètres à la tète desquels il faut citer Abel, et Jacobi lui-même dans ses premières recherches, se servirent au contraire de la double périodicité comme moyen principal d'étude des fonctions elliptiques. C'est en s'appuyant sur cette propriété qu'ÀBEL donna la solution du problème de la multiplication, de la division et de la transformation ; c'est aussi cette propriété, qui est, quoiqu'on en ait dit, et malgré la forme purement algébrique des déductions, le fond de la méthode de Jacobi dans la première partie des Fundamenta. Plus tard, les travaux de Cauchy, de Liouville, de Puiseux, de Briot et Bouquet sur les intégrales à variable imaginaire créèrent une théorie générale des fonctions doublement périodiques. On put alors pénétrer au fond de l'idée, jusqu'alors un peu obscure, de la double périodicité, et en déduire avec une grande simplicité les propriétés trouvées par Abel et Jacobi, et d'autres qui leur avaient échappé. Enfin ces belles spéculations sur les fonctions encore généralisées donnèrent à Riemann le moyen de traiter, d'une manière toute nouvelle, l'inversion des intégrales abéliennes.

Le problème de la transformation, qui forme le point culminant de la théorie des fonctions elliptiques, ne pouvait manquer d'être étudié tant au moyen de la théorie des fonctions 9, qu'au moyen de la théorie des fonctions doublement périodiques. La première méthode a été suivie par Kônigsberger dans un ouvrage récent où la question est traitée d'une manière complète. Briot et Bouquet emploient la seconde dans l'esquisse rapide qui termine la partie théorique de leur ouvrage sur les fonctions elliptiques. Ces solutions du problème de la transformation sont toutes deux très simples, surtout la dernièrej mais elle supposent connues l'une et l'autre un long enchainement de propositions préliminaires. D'autre part, les solutions plus élémen-

taires de Jvcobi et d'ÀBEL sont incomplètes sur un point essentiel, le rapport qui existe entre les périodes de la fonction transformée et celles de la fonction primitive; il en résulte qu'ils ne peuvent trouver le signe des constantes, ni démontrer que le nombre qui caractérise la transformation est positif.

Dans le présent mémoire, nous essayons de donner par une méthode nouvelle, une exposition des formules fondamentales de la transformation, aussi simple et aussi complète que celle que l'on pourrait déduire de la théorie des fonctions doublement périodiques, aussi élémentaire que celles de Jacobi et d'Abel. Cette méthode a pour procédé fondamental de recherche le théorème connu de calcul

différentiel sur la vraie valeur des fonctions qui prennent la forme - .

C'est ce principe qui nous fournit à priori le degré de multiplicité des facteurs qui entrent dans les formules de la transformation, ce que Ton ne trouve par aucune autre méthode ; c'est aussi ce principe qui nous sert à démontrer à posteriori, l'exactitude des formules trouvées en supposant le problème possible; et cette vérification se fait avec la même facilité, soit dans les cas traités par Abel et Jacobi, soit dans ceux auxquels d'autres géomètres ont vainement tenté d'étendre d'une manière rigoureuse les méthodes suivies par ces grands analystes. Nous fesons aussi largement usage du même principe dans la recherche des constantes ; c'est d'ailleurs le seul procédé qui puisse réussir quand on ne s'appuye pas sur la théorie des fonctions 9, et il a été employé par Abel dès 1827, pour trouver les constantes dans la question de la multiplication. La détermination exacte du signe des constantes nous donne le moyen de démontrer le théorème remarquable dont nous parlions plus haut sur le signe du nombre caractéristique de la transformation, théorème qui n'a encore été obtenu que par la théorie des fonctions 0.

Nous fesons précéder la théorie de la transformation de celle de la multiplication, à laquelle notre méthode s'applique de la manière la plus naturelle j même dans cette question élémentaire, nous avons trouvé à glaner encore, grâce à l'emploi du procédé qui est la base de cet opuscule. Nous signalons particulièrement à l'attention du lecteur la manière simple dont nous arrivons à la valeur des produits constants qui se présentent dans cette théorie.

Le mémoire est précédé d'une introduction historique. Nous y fesons connaître les progrès de la théorie des fractions elliptiques, dans ses rapports avec la multiplication et la transformation, avant la découverte de la double périodicité j puis nous indiquons les solutions diverses de ces problèmes que l'on a déduites de cette propriété. Dans les notes nous donnons quelques renseignements bibliographiques sur divers points qui se rattachent plus ou moins aux questions traitées dans cet opuscule.

Puisse cet essai contribuer à faire connaître une théorie dont Gauss signalait déjà, il y a un demi-siècle, la haute importance pour ceux qui s'occupent d'astronomie et de physique mathématique !