V . , i — 11^ iv^ — v'^ if=- et par suite it

Cette dernière fraction rationnelle étant irréductible, son numérateur ■id^ — v^ et son dénominateur tt?^ — l^v^ sont respectivement égaux à un facteur constant près au numérateur et au dénominateur de u^. On conclut de là que p.j£ et v^s ont la forme qui a été trouvée dans le n° précédent,

La vérification de la solution par substitution des valeurs trouvées pour A s, p.j£, Vj8 dans l'équation différentielle se fait absolument comme dans le chapitre troisième, par la méthode de Jacobi.

50. Transformation simple. — Soit p = 0, ([ = — i , p ~- n^ q' = 0, r = 1 . On a

OJ r= ?^ -f- k

ML = — K'j/^T ML'(/ — T = nK ce qui conduit à une transformation simple qui n'a pas été remarquée. Cela

(1) Le mode de démonstration employé ici pour prouver que -—- = 0 pour £ = 0 est

applicable dans les transformations précédentes ; mais la démonstration donnée dans les chapitres II, III, IV, n'est plus applicable ici.

s'explique aisément , parce que dans cette transformation , A: ou ^ est imaginaire, et l'on a étudié surtout les transformations se rapportant à des modules réels.

51. Remarque générale. On pourrait étudier directement les transformations générales par la théorie des fonctions doublement périodiques. On devrait procéder à peu près comme dans ce mémoire, pour trouver les facteurs qui entrent dans les formules de la transformation, pour déterminer les constantes et démontrer que n est positif. Mais la vérification de la solution se ferait tout autrement : on devrait prouver que les valeurs trouvées ont les mêmes périodes que les valeurs cherchées, ce qui serait plus ou moins simple suivant les cas.

Dans la théorie des fonctions 0, on trouve immédiatement que n doit être positif, mais on suit une marche assez longue pour arriver aux formules de la ti^ansformation. Seulement cette méthode a l'avantage de faire connaître de nombreuses propriétés des fonctions 0 transformées et, comme on le sait, ces fonctions ont dans l'analyse une importance non moins considérable que les fonctions elliptiques elles-mêmes.