CHAPITRE V
TRANSFORMATION IRRATIONNELLE OU IJ s'aNNULE QUAND X DEVIENT INFINI
(p, q' pairs, q impair; n pair).
48. Formules de la transformation supposée possible. Dans le cas actuel on a, d'après le n° 29 :
R = p ML = (f w H- ylv -t- liK' {/ — 1
HM = ^K' [/— l — zKM, h'\/' — \ = foi -+- y'K -+- h'K' |/ — 1
/(î + 2«jO)) = ).£, p.(£ + 2;iiCo)=^ — p.c, v(s + 2«jW) — — vs
On trouve, en raisonnant comme dans les cas précédents :
k = mk' • — P ^ ^
lit:
pt.£vî À'^e — )>-(K + sco)
Au moyen de (I, 2C), on arrive encore aux formules suivantes, où le signe supérieur de H±l se l'apporte au cas où n est positif, le signe inférieur au cas contraire.
l/^ ( ,.^ ^ pf^(^-^2Tco) '^ 1 v(e.-2Tco)
),^£ ^ ^ mk p^(sco) ^ ^ wÂ:2 v^(.sc))
fV î^, pP-[s-^(2T-HlH ^r, pv[s+.(2T + l)co]
v,£ »?., p-(o-&3) 1»2 ^-(to-i)
— lU —
Pour trouver les constantes, fesons e = K' [/ — \ ou £ = 0, il viendra : (n° 25, G, H, D ou I)
m, = (—4) ' k, m,= (--l)' k, Mm)t2==(— 1)'
Soit ensuite £=K dans ^-i^^z, on trouvera :
La même substitution dans VjSj/s conduit à
M = (4) ^ /i__Pf..(,co)f.^(.o))
D'où în = (— 4) '^ (/ 1 J^ — p
^=(-4)'" ^ Pf.^M
On trouverait une valeur peu élégante de /' en fesant s = co dans p,e. On prouve que n est positif en fesant £ = o<) dans |/ — 4 : l^z, et £=0 dans p.j£ : v^e. On arrive, en effet, de cette manière à l'égalité :
l -h '\ -^ z-i~ p -h i 'i- ])' -\- q -i- 1 -^ q' + P = P — qp-h 4+// — q'p + p -+- 4 -+-]/-+- 7 + [ -i-q' -hp = 2p -I- (p — 4 ) (1 — q) -h i-¥- 'ip' — q'{p — 4 ) = 4a
On doit donc prendre dans H±4 le signe supérieur, qui correspond à n positif.
49. Vérification de la solution. Nous déduirons dans le cas actuel la valeur de ^,£, p.^e, v^e, de /ji.,£ : v^z en supposant que y = 0 pour x = 0 et X = 00 et y = 00 pour £ = K: Posons
2 4— ?/2 ^^4 îf2 ^^^2 ^ 2//2,^ (^ f/y-^ '^l'hi (lu
î» , /2- );2(K -4- aw) j>( , v [£ H- (2T -1- 4 )« ] (h, __ ^ >/[£ -H (2T -+-4)m] '■*~w^ };2£ — /2(^„) ""^ ^^7H ' "n^^"' 4£-+- (2T + 4)w]'
D'après cette valeur de a, y'^ sera une fonction rationnelle en x. Son dénominateur sera au plus de degré n en x^ et le numérateur de degré n — l, puisque pour x = oo, il faut que y = 0. Les fonctions y"^ et y"'^, ainsi que leurs dérivées par rapport à e ne changent pas de valeur quand s augmente de 2co.
■ Nous avons supposé que y = 'Xi pour e = K, et par suite pour K + 2aw; il est facile de conclure de là que tous les facteurs du produit
(i À^e) ('1 — là Ah] P [Ih — l^(K-i- sw)]
se trouvent au dénominateur de y^. Désignons par 1 -^ jx l'un des facteurs 1 ±lz, 1 rb /iÀe. La limite de (1 -^ jjc)y^ pour 1 -+-jx==0 sera finie ou infinie, selon que \ -^- jx est une ou plusieurs fois facteur dans le dénominateur de y"^; or cette limite ne diffère que par un facteur constant de
celle de
dx dy~'^ dy~^
de dz de
dont le numérateur p.svs est égal à zéro. On doit donc avoir, quand 1 +yx = 0
et par conséquent quand s == K -t- 2«m :
irl^o et s^^ï^^ti^IiîiiH^o
de " v[£-+-(2T + l)co]
La limite de 2/^[^- ^ K^ ~^ •*''")]5 poui' £ = ± (K -+- sw) sera égale, à un facteur constant près, à celle de
dy-"de
et est par conséquent infinie. Les facteurs de la forme /^s — A^(K -f- îo)) sont donc au moins des facteurs doubles. Le produit
(-1 — IH) (4 —lêr^z) P [IH — 12 (K -t- s(ù)f
étant de degré n en }?e est, d'après ce qui précède, égal à un facteur constant près, au dénominateur de y'^.
Puisque y = 0 pour s = 0, les facteurs du produit
se trouvent tous au numérateur de y/^. Us s'y trouvent tous à la seconde puissance. En clï'et la limite de y'^ : [)>£ — )i(2«w)] pour £ = 2aw est ég^ale
à celle de
dii'^
de
Oi' -^ est nul. En effet, nous avons démontre ci-dessus que
^ v-[K -H (2T + l)co] ^ v[K H- (2T + 1)0^] '
Cette égalité se transforme en la suivante par les formules (I, 15, 20, 21)
v(2T -+- 1)oj Par conséquent, pour s = 0 et e = 2«&i,
et les facteurs considérés sont à la seconde puissance au moins au numérateur de ;?/M'). Le produit
étant de degré // — 1 en l^z est égal à un facteur constant près au numé
rateur de y.
Soit maintenant
