NOTATIONS

Soit

r^ dx

jQl/i—X^l/i —

Nous

posons,

avec

Abel et Briot et Bouquet

|/'l — /cV^ = V = vî = v(£, k),

en employant les notations les plus simples quand cela ne nuit pas à la clarté. Ensuite nous écrivons :

dl{e, k)

a' = i'e = l'{e, k), au lieu de l'uj=l'(^ii, k), au lieu de

de

du ■u désignant une fonction quelconque de £. Ainsi, d'après cette notation,

,, , dl{m) 1 dlim)

^ ' d{nt) n dz

La même convention subsiste pour les fonctions a et v.

Nous désignons, à l'exemple de Jacobi, les intégrales complètes de première espèee par des lettres majuscules correspondant aux lettres minuscules qui représentent les modules. Ainsi, soient

t^ + li"^ = i, /-^ + P = l .

Nous poserons :

DÉRIVÉES DES PREMIÈRES ET SECOiNDES DE 1, p., v.

)/ = + pv , f^' = '•''"•' 5 ''' = ^^^'P J (1 ) •

Les dérivées secondes )/', p", /' sont donc respectivement des fonctions

impaires de )>, p, v.

VALEURS DE >, p, v POUR UN ARGUMENT NÉGATIF OU IMAGINAIRE.

pM')

v(-£) = vE;v(e/-'l,^) = ^-|||j (0).

DOUBLE PÉRIODICITÉ; ZÉROS ET INFINIS DES FONCTIONS 1, p., v.

l (e -*- 2aK -t- 26K'j/^^) == (— i )« >£ (6).

;7. (e + 2aK + 26K'|/;^^ = (— 4 )"+'' pe (7).

V (£ 4- 2aK -4- 26K'|/— T) = (— 4 )S£ (8) .

Ces formules restent vraies si on remplace ),, p., v par leurs dérivées

d'ordre quelconque. Ensuite, a et b représentant deux nombres entiers quelconques,

).(0) = 0; ),(2aK+ 26K'|/— ^) =0 (9).

fx(K) = 0 ; p.[(2a -+- 1 ) K -t- 26K ' ]/^^] = 0 (1 0).

)., a, ou v(K'j/^M) = ^ ; )., a ou v[2aK-f- (26 + 1)K'|/— ï] = o^ (12).

VALEURS DE >, fJ^., v POUR LES COMPLÉMENTS DES ARGUMENTS.

Dans les formules suivantes, si le signe ± se trouve dans les deux membres d'une égalité, les signes supérieurs se correspondent, ainsi que les signes inférieurs.

),(KVzrT=b£) =± -L (15).

kl

p.(K + kV- 1 ± £) = - /- 4 I' i (14),

,,(Ry l±£) =±j/— 1^^ (16). v(Ky.-l±£) =rh|/-llf (17).

v(K + K'ï/^±£) = ±|/iri^^ (18). X(K-t-K'|/^±£)= i- (19).