CHAPITRE II

LA THÉORIE DE LA MULTIPLICATION ET DE LA TRANSFORMATION DES FONCTIONS ELLiPTlQUES DEPUIS LA DÉCOUVERTE DE LA DOUBLE PÉRIODICITÉ.

9. Travaux d'Amt sur la multiplication des fonctions elliptiques. Vers 1826, Abel (1802-1829) eut l'idée de regarder la limite supérieure de l'intégrale elliptique de première espèce comme fonction de cette intégrale et d'introduire dans l'étude de cette nouvelle transcendante la considération des valeurs imaginaires de la variable. En exprimant le théorème de l'addition au moyen de cette fonction, il découvrit la double périodicité, puis il se servit de cette dernière propriété pour aborder le problème de la multiplication (I). Voici comment il arrive aux formules fondamentales pour la

Jacobi, lettre du S août 1827 à Legendre, vers la fin {Annales de l'école normale supérieure, t. VI, p. 127 et suivants). — Borchardt s'est occupé de la moyenne arithméticogéométrique {Crelle, t. 58, p. 127), mais Bertrand {Cale, diff., p. 216), lui attribue à tort l'équation différentielle à laquelle elle satisfait; cette équation se trouve dans Gauss, III, p. 360 sqq.

(1) OEuvres complètes, I, XII, p. IM-i^i {Crelle, t. 2). La notation d'Abel dans ses premiers mémoires est la suivante :

I dx

:(fî = (f{i,c,e); [/i—c^x^-=fc, V/l+e2a;2=F(£).

Cette notation est éminemment propre à conduire à la découverte de la période imaginaire, puisque en changeant x en z |/ — 1, £ en ■^\/ — i, on trouve

■■0=1 ; ?(£;/^,c,e) = l/^y (VjC), etc.

C'est aussi celle qu'il est préférable d'employer quand on étudie la lemniscatc. Dans ses

fonction / clans le cas de la multiplication par un nombre impair. La méthode est analogue pour les autres l'onetions et pour le cas de la multiplication par un nombre pair(l).

Le théorème de l'addition donne A(2;n) en fonction l{ne), p.(«s) et v{iiî) et 1{h m- i)z — l{n — 'l)î au moyen des mêmes expressions et de ^s, fxî, vz. On déduit de là que, dans le cas de n pair, ^(«s) : IsA'e, et dans le cas de «impair, }.{nt) : It est une fonction rationnelle de l-s. Posons

Hm)=^~==Q{h)==Bx (a)

Au moyen de la double périodicité, on prouve que les racines de cette équation en x sont les valeurs distinctes de l'expression :

a ci h étant des nombres entiers quelconques. Cette formule donne n"^ valeurs pour X dont aucune n'est une racine multiple de l'équation (a); car s'il en était ainsi pour l'une d'elles, elle satisferait aussi à l'équation

clQx dx qui est indépendante de s; ce qui est absurde, puisque toute racine ((3) est fonction de e.

En fesantn£^=0 et ns = K'[/ — 1, l'équation (a) deviendra P„==0,Q„ = 0 et on déduira de ((3) les racines de ces équations. Mettons l'équation (a) sous la forme

Qj{m) = P„. (y)

En exprimant la somme de Sx et le produit Px des racines au moyen des coëlficients, on trouve

/.{m) = ASx, l{nz) = BPx , {§)

mémoires ultérieurs, Abel emploie la notation >, ; 3IM. Briot et Bouquet par analogie, ont appelé fA et V les deux autres fonctions. Jacobi et la plupart des géomètres écrirent sinam, cosanif Aani au lieu de ï, fx, v et Gudermann abrège ces notations en sn, en, dn. M. Lamé, dans s,cs Fonctions inverses, nous semble avoir prou\é que, contrairement aux apparences, la notation par l'amplitude de Jacobi voile les analogies des fonctions elliptiques avec les fonctions trigonométriqucs et exponentielles.

(I) OEuvres, I, XII, p. 154-165); 18()-1!M. Le même mémoire contient une nouvelle démonstration du tbéorème de l'addition, la théorie de la division avec application à la lemniscatc, et celle du développement des fondions elliptiques en séries et en produits infinis » déeouverle, dit Lejeune-Dirichlet, <ini est plus itiiporlanle qtw. ci'lle de la résolubililé des équations de la divisio7i. »

A étant une constante (jue l'on détermine en fesant £ = K' j/ — I, B une autre constante que l'on détermine en lésant s = 0. La dcj-nière formule se transforme aisément en la suivante :

l{m) = nP ^, 0')

p^ et p^ ayant la signification indiquée dans notre mémoire.

Abel ne donne les formules (d) et (^') que pour n impair. La méthode employée pour y arriver ne réussit pas dans le cas de n pair, mais on doit remarquer que la formule {§') peut se déduire de la connaissance des racines de P„ = 0, Q„ = 0, et que de [d') on peut tirer ensuite une formule analogue à la première des deux formules ((î).

Abel a perfectionné plus tard cette solution du problème de la multiplication au moyen d'une méthode de calcul de proche en proche de 1 {ns) qui donne cette expression sous forme irréductible (I). Les formules qu'il emploie pour cela sont les suivantes :

1 — kn' (m) A2(n£) l^(n — 1)£ A{nt)l'{n — i)î—l{H — i )£/'(«.£)

A{nz) }!{n— \ )£ — l{n — I )z l'{nz) 1 — lâl^ {n — i )el' (m)

Si l'on suppose l{ne), p.(w£), v{^m) exprimés au moyen de le, on voit facilement que le second membre de la seconde formule est une fraction irréductible. Si on suppose en outre à^(m — 1)£ exprimé au moyen de le, aucun facteur en le ne peut être commun au numérateur et au dénominateur du second membre de la première formule. Car si le — le^ était un pareil facteur, on aurait à la fois

l^nz^) = l\n - '!)£, ,et 4 — kn^{n£;)l^{n — '!>,= 0,

(l) OEuvres, XXI, ch. I, § 4, p. ZiQ-oiQ. L'auteur montre en outre comment son théorème général sur l'addition des fondions elliptiques peut donner la solution du problème de la multiplication.

On dcdiiit de là, 1^ {m ^) = A'^ [n — 1)î, = zfc y • Mais de la dernière formule

on lire les suivantes :

l{m,)u.{n - \)z,.{n. - 1)3, = 0 \{n - l)z^a{ne,).{nB,) = 0 qui sont incompatibles avec ces valeurs de /-"^(''î,) et A-(yt — 'l)^,-

Abel trouve ainsi que P,. est du degré n-, Q„ du degré «^ — 1 en x, quand n est impair, que P„ : Â'c est du degré n^ — 5, Q„ du degré n^ dans le cas de n pair; que tous les coefficients de ces deux polynômes sont des fonctions entières de k^, enfin que celui de x'^ dans Q„ est toujours nul.

10. Atilres travaux sur la multiplication. Le principal progrès de la théorie de la multiplication est dû à Jacobi. Outre qu'il a déduit la solution de cette question de celle de la transformation, il a trouvé une construction géométrique plane de }.(nz) au moyen de Iz, et même A(«£-Ha) en traitant une question en apparence élémentaire, qui est connue sous le nom de problème de Fuss('^). Ces recherches de Jacobi ont été l'origine de plusieurs autres travaux sur la même question ou sur des questions analogues (2). Mais l'illustre géomètre a aussi étudié directement les formules de la multiplication : le premier il a remarqué que le numérateur et le dénominateur de ces formules satisfont à une équation différentielle très-simple, et montré que l'on pouvait trouver sans peine des relations entre les coefficients du numérateur et du dénominateur. Voici comment on procède pour cela. Soit, par exemple, n impair, }^z=x, on aura

l{ne):

Soit £ remplacé par z-^-K.']/ — 1, il est facile devoir que cette formule devient

En identifiant ces deux expressions, on trouve de nombreuses relations

(1) Jacobi, d'elle 3, p. 576. Il eu déduit la transformatiou de Lauden, Crelle 52, p. 5f)7. Le premier travail de Jacobi est lapportc dans Legeindre, dans Vehiiulst, cl dans plusieurs traités sur les fonctions elliptiques.

(2) Rici£ELOT, Crelle 5. p. 2o0 et 58, p. 555. Mention, Bulletin de St Pêlersbourg, 1859, p. 15, 55, 507. Sur la question au point de vue géométrique, voir Poncelet, Propriétés jirojeclivcs, section IV, ch. If, Cjiasles, Géomcti-ie supérieure^ p. 580; Poncelet, Applications (Vanalyse et de géoinétrie, t. i'^'', p. -iSG et siiiv., où l'en trouve une notice liihiiogra phique sur la question et une note remar(|uable de M. JIoitaud.

entre lésa et les h. Si on veut obtenir la valeur de «„ ou le rapport ^«'-^-i : «,j2 i il est évident qu'il suflit de faire z = 0 dans les deux valeurs de À(rtc) : X. On peut aussi, au lieu de faire eette substitution dans la seconde, faire £ = Ky — 1 ou a: = 00 dans la première (I).

Les recherches ultérieures des géomètres sur la multiplication ne sont guère que le développement des idées d'Abel et de Jaeobi. Sanio en 1835 étudia la multiplication par un nombre pair. Il donne la méthode de calcul de proche en proche d'Abel, et cherche ensuite les facteurs du numérateur et du dénominateur de l{m), ij{)iz), ^{nz) au moyen de la double périodicité; les facteurs linéaires trouvés étant en nombre égal au degré du numérateur et du dénominateur, degré donné par la méthode d'Abel, il en conclut que chacun de ces facteurs est simple. Il trouve comme Abel les formules qui sont relatives aux sommes dans le cas où n est pair et s'en sert pour étendre la multiplication aux intégrales de seconde et de troisième espèce. Il démontre les formules sur les produits PÀ^y, etc. dont il a besoin, en remarquant que /•, peut être remplacé par K'j/ — I — 1\ (2).

GuDERMANN u'cmploie pas la méthode d'Abel pour trouver l{7iz) sous forme irréductible, de sorte qu'il suppose implicitement, sans démonstration, que les facteurs du numérateur et du dénominateur sont simples. Mais, à cela près, son livre contient une exposition complète de la théorie de la multiplication ; il cherche les relations entre les coefficients du numérateur et du dénominateur et s'en sert pour trouver les formules sur les produits PA^Pi etc. (3).

Broch a suivi complètement Abel dans la question de la multiplication;

(1) Il résulte évidemment de cette dernière remarque que la méthode suivie pour trouver les produits P),^Pi etc., dans notre mémoire (voir plus Las) ne diffère pas au fond de celle qui est donnée dans Broch et Gudermann d'après Jaeobi. Notre exposition est plus simple, parce que nous ne mêlons pas la détermination des coefficients à celle de ces produits. Les recherches de Jaeobi sur la mulliph'cation se trouvent dans Crelle 5, p. -iOo, 4, p. 185 et 50, p. 269 oîi il démontre des formules données par Eisekstein. Disons en passant que la plupart des reclierches de celui-ci sur les fonctions elliptiques et leur emploi dans la théorie des nombres ont été réunies dans un volume, publié sous les auspices de Gauss, avec le titre : Malliemalisclie Aù/iandlimyen besmiders ans dein Gebiele der hbhern Arilhmeii/c und der Elliplischen Functiunen von Eisenstein (Berlin, Reimcr, 18^7).

(2) Crelle, H, p. 1 et suiv. Nous employons les mêmes notations que dans notre mémoire.

(5) Theofic de?' Mudutur Funetûmeii, clc. AbsefmiU XIII.

il a montré en outre comment la méthode de proche en proche du géomètre norwégien combinée avec la remarque de Jacobi sur les coefficients pouvait donner les plus importants de ceux-ci (•).

Briot et Bouquet ont seulement esquissé la solution du problème de la multiplication dans leur ouvrage sur les fonctions périodiques où ils ont profité des indications contenues dans Abel et Jacobi (2), Cayley et Baehr se sont occupés du calcul effectif des coefficients du numérateur et du dénominateur (5) et Brioschi a écrit les formules de la multiplication au moyen des déterminants (^). Ces derniers travaux n'ont que très-indirectement rapport à ce qui fait l'objet de notre opuscule.

Il n'en est pas de même d'un mémoire de U. H. Meyer. Celui-ci cherche d'abord comme Abel le degré du numérateur et celui du dénominateur de l^{nî) en Pe, que n soit pair ou impair. Il en conclut sans peine que dans les deux cas

où £j et £3 sont des constantes arbitraires, est égal à une fraction rationnelle en Pc, dont le numérateur et le dénominateur sont de degré n^ par rapport à Ps: La double périodicité donne immédiatement celte fraction rationnelle; elle est égale à

a et b recevant toutes les valeurs entières qui donnent des facteurs distincts. En fesant iiz^= K'(/ — I, on arrive à la valeur de

Puis si /(«ôj) ^^0, = I , = — , on trouve A'^{nt), iJ?i;>u), ■^\nz). Dans cette

méthode, une seule formule donne les valeurs des trois fonctions, tant dans

(1) Théorie élémentaire, etc., ch. V.

(2) Théorie des fonctions doubl. jjériod., liv. V, ch. H. Paris, Mallet-Bachclier, ISbJ).

(3) CwLEv, CreUe 57, p. 58. Bakiir, Archiv. de Grimcrt, t. 56, p. 125. {i) Brioschi, Comptes rendus S9, p. 7(i9.

le cas de 71 pair que dans le cas de ?i impair. Nous verrons plus bas que Meyer a étendu sa méthode à la théorie de la transformation (<).

11. Solution du problème de la transformation par Jacobi. Jacobi (1804- 1851) fît connaître la première solution générale du problème de la transformation, presqu'cn même temps qu'Abel publiait celle du problème de la multiplication et de la division (2).

(1) Archiv. de Grunert, 16, p. 36^ et suiv.

(2) Les Annales de l'École normale sup., VI, cah. 2 et 5, p. 127-177 (1869), contiennent onze lettres inédites de Jacobi à Legendre, précieuses surtout parce qu'elles nous font connaître la marche suivie par le géomètre allemand pour arriver à son beau théorème. Voici un passage confidentiel de la lettre du 12 avril 1828 : « Vous auriez voulu que j'eusse donné la chaîne des idéos qui m'a conduit à mes théorèmes. Cependant la roule que j'ai suivie n'est pas susceptible de rigueur géométrique. La chose élant trouvée on pourra y substituer une autre sur laquelle on aurait pu y parvenir rigoureusement. Ce n'est donc que pour vous, Monsieur .^ que j'ajoute le suivant. » Voici la chaîne des idées dont parle Jacobi. Il reconnut d'abord au moyen des coefficients indéterminés que le problème est possible en général. {Cf. Fundamenta, §^ 3, ^, 10.) Par la même méthode, il trouva les transformations relati\es au nombre 3 et au nombre 5. La ressemblance de la transformation relative à 3 avec la formule de la multiplication par o lui fit soupçonner quelque rapport entre ces deux questions; par tâtonnement il découvrit la transformation qui combinée avec celle qu'il possédait déjà, donnait la multiplication par 3. Il écrit alors (15 juin 1827) sa première lettre à Schumacher sur les transformations relatives à 5 et à S. Il s'aperçoit ensuite que le numérateur, dans la transformation se rapportant au nombre 5,

/2K\ s'évanouit pour a;=)v(-^]; il en conclut par induction la composition du numérateur

et du dénominateur de la première transformation rationnelle simple pour un nombre quelconque et il écrit sa seconde lettre à Schumacher (2 août 1827). Trois jours après il est en possession d'une idée nouvelle ; il a songé à introduire les imaginaires dans la théorie des fonctions elliptiques, et grâce à cela, il peut déduire l'une de l'autre les transformations supplémentaires dont il était en possession. C'est alors qu'il communique toutes ses découvertes à Legendre (S août 1827). Il n'avait pas encore alors la démonstration des formules générales trouvées par tâtonnement et communiquées à Schumacher. Celui-ci soumit d'abord la découverte de Jacobi à Gauss, et publia ses deux lettres seulement en septembre, dans le n» 125 des Astronomisclie ISachricliten. Le 18 novembre, Jacobi envoya à Schumacher la démonstration des formules des tranformations simples rationclles, et elle parut en décembre dans le n» 127 des Astr. Nachriclilen. La seconde lettre de Jacobi à Legendre est du 12 janvier 1828. Il y analyse la découveite d'Abel qui avait paru dans le n" 2 du journal de Crelle. Ignorant la date de la publication de ce numéro, nous ne pouvons savoir si les idées d'Abel ont pu contribuer à faire trouver à Jacobi la démonstration de ses théorèmes. En tout cas, il est certain que Jacrbi n'a pas connu la transformation rcl:;tive au nombre 5 trouvée par Legendre et identique à la sienne; et personne ne doute que Jacobi et Abel ne pussent faire chacun de son côté toutes les découvertes de l'autre s'ils ne s'étaient prévenus mutuellement.

Les lettres de Jacobi sont très-intéressantes à un autre point de vue encore; elles peignent au vif le caractère du grand mathématicien. Nous signalons surtout au lecteur curieux la dernière lettre où il mêle l'histoire de ses recherches sur les perturbations célestes à celle de son mariage.

Soit, dit-il, à chercher une solution rationnelle de

dy dx

\/fy /A^-

/;</ == A + By H- Cjf -4- Df + Ej/, f^x = A^-^ B,x -+- C,x^ -h J)^x^-h E^xK

Posons ?/ = U : V, U et V étant des fonctions entières de x, la première de degré p, la seconde de degré p, ou de degré inférieur. On trouvera

dx^^\dV — UdY ^ Y = AV* + BV^U + CTW' -+- DVU^ + EU*. l/f,x j/Y

En exprimant que Y : f^x est un carré T% on trouve un nombre d'équations de condition égal ou inférieur au nombre des coefficients indéterminés de U et V. Il en résulte que le problème est ramené à la recherche de M, M étant tel que l'on ait :

dy i dx M =

Or par un raisonnement dont nous donnons un exemple {Mémoire, n° 40), on prouve que M est une constante. Ainsi, en général, la transformation proposée est possible.

Au moyen des mêmes principes, Jacobi prouve ensuite que le problème de la transformation se ramène à la recherche de l'intégrale de l'équation

di/ dx

l/l—y^l/'l—l'Y M[/\—x^\/l—k'x^ et que l'on peut supposer, si ^ = U : V, que U est une fonction impaire de degré n, V une fonction paire de degré 7i — l en x, n étant un nombre entier impair.

Avant d'aborder la recherche de y pour n quelconque, il suppose «=5 et M=5 et arrive par les coefficients indéterminés aux transformations simples relatives à ces deux nombres. Il en déduit ensuite la multiplication par 5 et par 5 en effectuant successivement les deux transformations. A partir de là, Jacobi n'emploie plus la méthode des coefficients indéterminés; il a recours presque exclusivement à la double périodicité.

Il n'indique pas par quelle voie il est parvenu aux formules générales de la transformation, mais on sait maintenant que c'est par tâtonnement et

induction qu'il les a trouvées. Il se donne la valeur de 1 — y sous une forme d'où il déduit la suivante :

i— M = (-l— a;P V^ •' X=ll

p.^(.SO))

(M désigne la quantité {mK.-^m^\s/\,'^ — \) : n, m et m^ n'ayant pas de facteur commun qui se trouve dans n, et les autres lettres ayant la même signification que dans notre mémoire. Si on suppose ?/ = 0 quand x==0, on déduira aisément de là les valeurs pour lesquelles y s'annule et par suite l'expression de y. Pour trouver i — ly supposons que y se change en (/y)'^ quand x se change en {kx)"^, la formule qui donne 1 — y se transformera en une autre qui donnera (1 — ly):ly. Les valeurs de (/l — y'^ et de |/ 1 — /^î/^ s'obtiennent ensuite avec la plus grande facilité. Les constantes M et / résultent des hypothèses faites sur y. Enfin la vérification de la solution se fait comme nous l'indiquons dans le mémoire (n° 40). Jacobi expose en outre, d'après Legendre, une autre vérification de la solution plus directe que la sienne même, et il cherche y, [/ i — y-, [/i — l'hf en sommes par le procédé qui a donné les formules analogues à Abel dans le problème de la multiplication. Enfin il déduit des formules générales, celles qui se rapportent aux transformations simples, les transformations complémentaires et supplémentaires et en lire la solution du problème de la multiplication.

La méthode de Jacobi pour la transformation a été exposée pour les transformations simples par Legendre, Poisson, Lamé. Le dernier a très bien fait voir l'analogie des formules trouvées pour les trois fonctions, en introduisant dans les formules ce qu'il appelle le complément naturel. Gudermann a exposé la transformation générale dans son traité sur les fonctions elliptiques (I).

(1) La solution de Jacobi est exposée dans la première partie Aas, Fundamenla, dans Legendre, t. III, supp. I et in,§l du Trailé des funclions elliptiques^ Poisson, Mémoires de l'Institut, X, p. 75-119; Lamé, Fondions inverses, leçons X-Xll, Guderm.vnn, Théorie, etc., ab. XIX. — Comme complément et commentaire des Fundamenta, on peut citer les onze lettres de Jacobi à Legendre et les mémoires du même auteur contenus dans Crelle,5, p. 191, 192, 50.Ï, -iOô; 4; p. 185. Sur les intégrales de seconde et de troisième espèce et les sommes Jacobi, Crelle, i, p. 371 ; G, p. 597. Sur les équations différentielles auxquelles satisfont le numérateur elle dénominateur des formules de la transformation, Eiceksteik lUul/i. Abh., p. 207 et siiiv. ; Jacobi CrcUe, 5, p. ^5; 4^, p. 1 8b; 6, p. 57 1 ; Cavi.ev, Crelle, 57,p. 58; 59, p. I(i;

Jacobi, outre la solution que nous venons d'esquisser, donne dans les Fundamenta ou dans ses mémoires, la théorie des équations modulaires et les formules pour la transformation des intégrales elliptiques de seconde et de troisième espèce, grâce aux fonctions 0 au moyen desquelles il les exprime. Il signala le premier les équations différentielles remarquables auxquelles satisfont le numérateur et le dénominateur des formules de la transformation, et s'occupa en même temps qu'Abel de la multiplication complexe. Dans un de ses mémoires, il retrouve toutes les formules de la transformation, en partant directement de la considération de certaines sommes.

12. Travaux ^'Abel sur la transformation. Abel semble avoir trouvé la solution du problème de la transformation, sans connaître les travaux de Jacobi. Mais ses premières recherches sur ce sujet ne parurent que quelques mois après celles de Jacobi sur les transformations simples. Nous indiquons plus*bas {Mémoire, n° 54), comment Abel vérifie la solution du problème de la transformation. Nous allons faire connaître la méthode qui le conduit aux formules fondamentales.

Il considère la fonction

^x = 90 = S/(c + Toi) = X0

l'iqc

= mxl?

où m:=(4ïh'K -+- 2aK'j/ — î) : n, [j. ou m' étant premier avec n, et x représentant IQ. En faisant x= oc, on trouve la valeur de m, et en fesant x = 0, celle de ^x : x. La théorie de la double périodicité donne ensuite :

©£ — 4;x = — P[x - /(e -H To))] : P [x' — a\K.'[/—1 — f/»)].

il, p. 85 ; EisENSTEiN, 3Iul/i. Abh., p. 207. Sur la nmltiplication complexe, Jacobi, Annales de l'école normale, VI, p. 139; Crelle, 5, p. 192; Abel, OEuvres, I, p. 2<i2, 272, 28S; Hoffmann, Crelle, ^8, p. 552 ; Kronecker, Journal de Liouville (1838), p. 26o ; Kônigsberger, die TransformuUon, die Multiplicalion und die Modulargleichungen der elliptischen Funclionen (Leipzig, Teubner, 1868), § 31, p. 'J30; Briot et Bouquet, § 223, p. 274. Sur les équations modulaires, Jacobi^ Crelle, o, p. 182; Annales de Pécole norm. sup., lettre du 12 janvier 1828; Fundam, § 29, p. 66; Gutzlaff, Crelle, 12, p. 173; Soiinke, Crelle, 12, p. 178 ; 16, p. 97; Scuroter, Crelle, 58, p. 378. — Jacobi a étendu aux intégrales multiples ses recherches sur la transformation, Crelle, 2, p. 25<i ; 8, p. 285, 521 ; 10, p. 101. Nous signalons encore ici sur la transformation les écrits suivants où le problème est abordé au moyen des fonctions 0 : Eisenstein, Crelle, t. 50, 52, 55. (Beitràge zur TiieoiHe der elliptischen Functionen) ou Malk. Alih., p. 159 etc.; Raabe, Crelle, 15, p. 191; Hermite, Crelle, 60, p. 504; Jow-nal de Liouville, 1865, p. 289; Comptes-rendus, t. 46, p. 171. KoNir.sRERGER, die Transf'., etc.

Pour £ = 0, nous trouverons '^x. Soit ensuite ij^=M'\ix, McpK = 1 , M/q>(K'(/ — 1) = 1; fesons 5 = K, et £ = K'i/ — 1, la formule précédente nous donnera 1±?/, 1 ^fy et par suite toutes les formules fondamentales de la transformation.

Telle est la marche suivie par Abel ; elle s'appuie sur la double périodicité plus que celle de Jacobi, mais comme celle-ci, elle procède par vérification (1). Tous les efforts du géomètre norwégien, à partir de ce premier travail , furent employés à démontrer que l'on pouvait parvenir d'une manière systématique à cette solution et à prouver que le problème de la transformation, conçu de la manière la plus générale, se ramène au cas ou y est rationel et de degré premier en x.

Il parvint à faire voir comment on est amené nécessairement à considérer la somme ^x dans un beau mémoire qui parut dans les Astronomische Nachrichten et que Jacobi déclara, avec une véritable injustice envers luimême, au-dessus de ses propres travaux; voici comment procède Abel. Il cherche par les coefficients indéterminés les solutions du premier degré en x. Soit ensuite .v = U : V une solution rationelle de l'équation différentielle de la transformation, U et V étant des fonctions de x. Appelons Slz la somme des racines de 2/ = U : V, en considérant y comme constant. En la mettant sous la forme Vî/=U, on trouvera par la théorie des fonctions algébriques que l'on a :

{t-yy)SXz^{f'-g'y)^i),

f, g, f, g' étant des constantes. Donc si S/.î = 9£,

La recherche de y est ramenée à celle de la somme cps et la théorie de la transformation peut dès lors s'établir à peu près comme dans le premier mémoire. L'auteur examine le cas ou f' = g' = 0, et diverses particularités dont nous ne pouvons pas parler ici. Quand on a une transformation d'un degré donné, toutes les transformations de ce degré, peuvent en être déduites au moyen de celles du premier degré. Dans un autre mémoire.

(I) OEuvreu complètes, l, XFI, p. 250-2o2. Abel crut d'abord que Jacobi n'avait connu que les transformations simples, mais, en même temps que son mémoire, en paraissait un de Jacobi qui s'occupait des transformations imaginaires.

Abel applique cette méthode à la recherche de toutes les transformations dans le cas où l'on suppose les modules réels et à cette occasion il donne la première formule pour les transformations paires qui ait été trouvée. Cette méthode de recherche conduit naturellement à l'étude de la multiplication complexe et à celle du nombre des transformations relatives à un nombre donné. Abcl, pour une des transformations simples, vérifie la solution au moyen des développements en produits infinis, ce qui est le premier exemple de l'application de ces développements à la question de la transformation (1).

Enfin , Abel reprit une dernière fois la théorie de la transformation sous un point de vue plus général : il se propose de chercher la relation linéaire la plus générale qui puisse exister entre les intégrales elliptiques, les fonctions logarithmiques et les fonctions algébriques d'un nombre quelconque de variables, liées entr 'elles par des équations algébriques. Ce problème, d'une si grande généralité qu'il semble inabordable, de quelque manière que ce soit, Abel, parvint à le ramener à celui que Jacobi et lui-même avaient résolu; c'est-à-dire, à la transformation rationnelle dans le cas d'un nombre impair, et même Abel montre que l'on peut supposer que n est premier. Nous ne pouvons pas donner ici une idée de ces recherches; nous dirons seulement qu'il repose sur le théorème de l'addition des intégrales elliptiques ou abéliennes en nombre quelconque dont Abel était déjà en possession en 1826 et dont Jacobi signala tant de fois la portée immense avant d'en déduire lui-même les fondements de la théorie des fonctions abéliennes (2),

13. Travaux de Plana, (/"Ivory et de Sanio sur la transformation. La découverte de la solution générale du problème de la transformation eut un grand retentissement, et immédiatement plusieurs géomètres se mirent à l'œuvre pour perfectionner ou étendre la nouvelle théorie. Le premier de tous, Plana, publia, dès 1828, un mémoire où il montre que le problème est possible par la méthode des eoëlïicients indéterminés. Mais il ne semble pas avoir compris à cette époque l'importance de la découverte de la double

(f) Voir Mémoirt's, XIII, XIV, XVII du tome l<^'^ des OEuvres complèles.

(2) Précis cfune théorie des fonctions eUipliques, OEnvr. compl., XXI, p. 526-'î09; interrompu par la mort. Sur Abel, voir le jugement de J.vcoiii, Lettre à Legendre du ii juin 1829. Sur le théorème d'Abel, Jacobi, Lettres à Legendre du 18 janvier 1829, 'i juillet 18Ô0, 27 mai 1852 et Crelle 8, p. 413, 9, p. 594; 15 p. Sîi.

périodicité, car il ne sait comment déterminer les coefficients du numérateur et du dénominateur des expressions dont l'algèbre lui a donné la forme générale. Trente ans plus tard il reprit encore cette question ; mais il semble, dans ce nouveau travail, ne pas vouloir user encore de toutes les ressources fournies par la double périodicité, et son mémoire est bien loin de contenir une méthode simple et naturelle pour arriver aux formules de la transformation{l).

IvoRY, en 1831, s'est occupé des transformations simples rationnelles. Son mérite principal est d'avoir montré plus explicitement que Jacobi comment la double périodicité peut faire découvrir les facteurs du numérateur et du dénominateur de la transformation {-). Mais il admet sans démonstration, pour ainsi dire, que ces facteurs ne sont pas multiples. C'est là que l'on trouve pour la première fois les calculs détaillés se rapportant à une transformation paire ; mais nous ferons remarquer qu'Abel avait déjà indiqué les formules principales. Ivory effectue la vérification de la solution et la recherche des transformations complémentaires d'après Jacobi ^5).

Un travail plus important est celui de Sanio, publié peu après (1855). L'auteur s'occupe des transformations générales que nous avons appelées de seconde et de troisième classe dans notre mémoire. Dans la transformation irrationnelle, la marche suivie est calquée sur celle de Jacobi dans les Fundanienta pour la transformation rationnelle de degré impair. Sanio en déduit, par passage du réel à l'imaginaire, la transformation de troisième classe ;

(1) Mémoires de Turin, l'^*' série, t. 23, p. 533-357 (1829; mémoire présenté le 15 juin 1828); 2de série, t. 20, p. :l89-29;j et ^23-429. Dans son premier mémoire, il disait : « On ne comprend pas facilement par quel enchaînement d'idées Jacobi a pu être naturellement conduit à la forme singulière qu'il attribue à une certaine fonction rationnelle d'une seule variable qui constitue la base et le point de départ de sa transformation. Le hasard ne saurait enfanter un résultat aussi jn-ofondémenl caché. » Dans son second mémoire (p. 23'i), Plana déclare qu'il doute beaucoup que Jacobi ait pu parvenir, comme le dit Legcndrc, à son théorème par les coëlTicients indéterminés. Nous savons maintenant que Legendre était bien informé.

(2) On pouvait voir déjà cela très bien dans les mémoires d'Abel insérés n" 138 et li7 des Astronomische Nachrichten, mais ces mémoires semblent n'avoir pas attiré l'attention autant que ceux qui furent publiés dans le journal de Crelle. Ivory comme Plana fait des reproches à l'analyse de Jacobi « The démonstration of M. Jacobi require long and complicated calculations; and it can hardlij be said that Ihe train of déduction lead, naturalUj to the Iruth which are proved, or présents ail the conclusions which the tlieory embraces in a connectcd point of view « (p. 331). Au moins la démonstration de Jacobi est rigoureuse, tandis que celle d'Ivory ne l'est pas.

(3) Philosnphical Tra.nsac lions, 1831, p. 549-377.

ensuite il établit directeriient les formules concernant celle-ci. Il traite encore comme Jacûbi la transformation des intégrales de seconde et de troisième espèce. A notre avis, ce travail de Sanio pèche en un point essentiel. Pour arriver aux formules de la transformation, il se donne la valeur de y, et en déduit celle de 1 — if; ensuite de celle-ci la valeur de 4 — l^tf. Or, pour trouver la valeur de \ — y'^ voici comment il raisonne: y"^ est d'après la valeur de y, une fonction de période ânw; il en sera de même de ^2 — y"^^ A étant une constante. Soit

W et V étant deux polynômes entiers en x^ de degré n et n — 4. Si dans cette équation, on regarde y^ comme ayant une valeur déterminée et que a:"^ = A-a en soit une racine , toutes les autres sont données par les valeurs distinctes de x^ = }?{y. -t- 2p&)). Ces racines sont toutes inégales en général. Mais, si A converge vers l'unité, elles convergent deux à deux, vers des valeurs égales, à l'exception de deux. Par cet artifice, Sanio arrive à trouver la forme de 1 — y"-. Mais ces déductions reposent sur cette hypothèse que, quel que soit A, une racine de l'équation, c'est à dire une quantité quelconque, peut être représentée par l^a, et que la quantité a varie d'une manière continue avec la quantité A. C'est là une supposition gratuite dont il aurait été bien difficile d'établir la légitimité à cette époque (1). Nous pensons aussi que dans ce travail de Sanio, il y a, sur les relations qui existent entre les périodes de la fonction donnée et de la fonction transformée, maintes assertions peu fondées, que l'on ne trouve pas dans le travail de Jacobi qui lui sert de modèle (2),

14. Travaux de U. H. Meyer et (/'Essen. Le mémoire de U. H. Mever n'a rapport qu'aux transformations simples de la première, de la seconde et

(1) On ne peut pas étendre cette critique, comme il semblerait juste de le faire au premier abord, à la méthode donnée par Abel pour arriver aux formules de la multiplication. On sait à priori que les formules de la multiplication existent et le premier membre de l'équation n'est pas une quantité quelconque A, mais une fonction \{)m) à laquelle ),{me') peut certainement être rendu égal. Nous soupçonnons fort que c'est pour éviter le subtil raisonnement de Sanio, que Jacobi est parti de la valeur de 1 — y et non de celle de y. Dans toutes les transformations autres que celle que Jacobi a considérée on se heurte nécessairement à la difficulté que nous signalons ici. — Sur la représentation d'une quantité quelconque par )va, voir Riciielot, Crelle, i^S. p. 225.

(2) Crelle, 14, p. 1-50. De functionum ellipticarum muliipiicatione el trnnsformatione quae ad numerum pareni périment commentaiiOf auclore Sakio.

de Ja troisième classe, mais la méthode suivie est très remarquable. L'auteur pose

et il parvient à mettre la formule unique qu'il a trouvée pour la multiplication sous la forme suivante :

P'{nc

P{nz^

Il cherche ensuite dxpt. Pour cela il part de la formule suivante, qu'il tire d'une formule analogue sur la fonction / :

(p2(£,+KV— 4

En fesant converger e vers 0, il parvient à en déduire r/çe sous la forme d(ps H

Si on pose o) = 0£ , on trouve n=o , v = i, w = i pour w = o et d'ailleurs

du dv dw ,, - ^,

— - = titr , -7- = — vu , ^— = — i'U-ir.

dco doi «w

Donc

Par conséquent

À^(>is,:

l^{Be,l)

iHm

e(,.^!ÎKy i),/]

formule qui résume toutes celles qui se rapportent aux transformations simples de 1''% de 2™*= et de 5'"*= classe. L'auteur en déduit ces transformations, puis celles des intégrales de seconde et de troisième espèce (J).

Peu après U. H. Meyer, Essen s'occupa des transformations simples de seconde et /le troisième classe. Il cherche les formules qui s'y rapportent, en se donnant, d'après Abel, la relation qui lie l'amplitude de la fonction transformée à celle de la fonction donnée ; grâce à quelques calculs élégants fondés sur la théorie des exponentielles imaginaires, il parvient au résultat cherché. U. H. Meyer montra comment les formules d'Essen pouvaient rentrer dans les siennes, et k ce propos, il fit remarquer comme Ivory et Plana que rien n'indiquait dans Jacobi comment il était parvenu à son beau théorème. Preuve que vingt-cinq ans après les beaux mémoires d'Ahel, on ne saisissait pas encore toute la portée de la double périodicité (2).

15. La théorie générale des fonctions doublement -périodiques. Cauchy, dans un mémoire remarquable publié dès 1823, posa les principes d'une nouvelle théorie des fonctions qui sont définies comme les fonctions elliptiques, par la considération d'une intégrale à limite supérieure variable. II y donna la signification d'une intégrale où la variable passe d'une limite à l'autre par une série de valeurs imaginaires, et prouva qu'une pareille intégrale peut avoir des valeurs multiples. Vingt ans plus tard, il compléta ses premières recherches et arriva à un grand nombre de théorèmes importants sur les fonctions d'une variable imaginaire.

Des travaux remarquables de Hermite et de Puiseux contribuèrent aussi

(1) ArchiD. de Grimert, t. 16, p. 364-^08; 17, p. 85-120; i^G-iU (18S1).

(2) Essen, Arch. de Grimer i, t. 2!, p. 240-248, 418, 422. Réclamation de Meyer, t. 22, p. 474-477. Voici comment il parle du théoi'ènie de Jacobi : « Meine Thcoreme nicht wie das Jacobi'sche aus der Luft gefullen erscheinen , sonder n in Zusammenhang mit dem Vorgehenden sich wie von selbst ergcben » (1833). La méthode de Meyer n'est pas aussi naturelle qu'il semble le dire. Rien ne détermine le choix de la fonction f.

à l'avanceincnl de la nouvelle doctrine. D'autre part, Liouville était arrivé à une théorie des fonctions doublement périodiques indépcndanniient des recherches de Cauchy. Briot et Bouquet appliquèrent l'ensemble des propriétés trouvées par ces géomètres aux fonctions elliptiques en y ajoutant le résultat de leurs propres études. Ils exposèrent la théorie de ces transcendantes avec une simplicité qui mit bien en évidence que la double périodicité en constituait la propriété fondamentale. Dans la question de la transformation ils cherchent d'abord les transformations simples qui se rapportent au nombre deux et à un nombre impair. Pour cela, ils déterminent les facteurs des formules de la transformation au moyen des zéros et des infinis de la fonction transformée ; les produits trouvés ont les mêmes périodes que les fonctions cherchées et, d'après la théorie des fonctions doublement périodiques, ils n'en diffèrent que par un facteur constant. Ils démontrent ensuite que les transformations générales peuvent se ramener à ces transformations simples (1).

16. Tels sont les principaux écrits publiés sur la multiplication et la transformation qui ont quelque analogie avec notre propre travail. Nous avons dû nous borner pour chacun d'eux à en exposer l'idée fondamentale; mais, dans presque tous, et surtout dans ceux des illustres fondateurs de la théorie des fonctions elliptiques, on rencontre une foule de vues remarquables qui mériteraient une exposition détaillée. Plaise à Dieu que quelque jour^ un géomètre éminent, élevant à la nouvelle théorie créée par Jacobi, Abel et Cauchy un monument semblable à celui que Legendre a consacré à l'ancienne, y donne la place qui leur est due, à tant d'idées ingénieuses ou profondes que nous avons dû passer sous silence.

(1) Cauchv. Mémoire sur les intégrales définies prises entre des limites imaginaires, Paris, Debure, 1823; Comptes rendus, 18^6, 1851, 1834-1837; IIekmiïe, Comptes rendus, 1831; PiJisEUx. Recherches sur les fonctions algél)riques (J. de Liouville, t. 15, p. 563; 16, p. 228). LiomiLLE (Joiirnal de Liouville, t. 20, p. 203; Briot et Bouquet. Théorie, etc., ou Jounal de l'école polyteclmique, cah. XXXVI.