V-TTTT = Pf^(2 H- r) ^. (£ - r

n — f'\L(nt)

d*oii il a cru pouvoir tirer la valeur de f^(«S). Mais il n'a pas remarqué que les valeurs ^^ 0\(i'^n'^f' sont telles que g' \n' =ia' : f\ comme il résulte du § 28 p. 57, où c^^ valeurs sont données. L'égalité se réduit donc h g' = nP. On peut faire la même obserr^"* tion touchant la formule qui contient > {n£).

PX(r-4-£)X(r — e) etc., en s'appuyant sur la propriété de r de pouvoir être

remplacé par K'|/ — \ — r, K — r, K-+-K'|/ — 1 — r, mais il est plus facile de faire celte recherche seulement pour PX^r,, P/^^^rj, Pv'r,, et de déduire les autres formules de celles du n° 15. Nous avons

PXr, = PX Ak + .. Ky=^ \ ^ Ak - .. K'|/=l \

<7 et <T, recevant les valeurs I, 5, o... n — I. Ensuite PX(K'/=IÏ- r,)= P). [--K..(n-..)K'^ ^ |--.K-.(»-...)K>/=:7j

= PX pK-(n-cr.)K'i/:rT j ^ r^K+jn-^,)Ky^"| .

n — (T^ recevant les mêmes valeurs que o-, , il est clair que

P)r3 = PX(K'|/~t-r,).

On démontre de la même manière que

Mais on a, d'autre part (I, 15, 14, 15).

^i* . - ......va

Donc, en faisant IV = ~, nombre pair, de sorte que ( — 1) = ( —

'*(-^'~4^r) = (-^)'PPs d'où Pp.v, = (*-J

P( — ) =Pv/-, d'où PvV,= k'"

Ces relations combinées avec celles de n" 15, nous permettent de former le tableau suivant (1) :

P >V, = — (— i)* k -«+* ; P a«r, = A:->+* Â'^-« ; PvV, = — (— i)« k!^-^

P>V,= k-^ ; Pa*rj = (— 1)^/:-«Jt''^ ; Pv V, == (— 4)*it'«

P>«r5= Jt-N ; Pa«r3= Â-«A''^ ; PvVj^ A'^

19. Remarque. Pour traiter complètement le problème de la multiplication des fonctions elliptiques, sans recourir à la tbcorie de la transformation, ni aux propriétés des fonctions G, nous devrions déduire de ce qui précède les expressions de }.(;is), f/(/is), v(ne) en sommes, puis la multiplication des intégrales elliptiques de seconde et de troisième espèce. 11 faudrait ensuite exposer la méthode directe de calcul des coefficients du numérateur et du dénominateur, les propriétés des équations différentielles auxquelles satisfont le numérateur et le dénominateur, les relations qui existent entre le problème de la multiplication et plusieurs questions de géométrie, etc. Mais notre but étant d'exposer, non une théorie complète de la multiplication, mais une méthode simple et naturelle d'arriver aux formules fondamentales, nous terminons ici cette esquisse. D'ailleurs, tous les auteurs traitent de la même manière les divers points que nous \enons de rappeler, quelle que soit la voie suivie pour arriver aux formules qui leur servent de point de départ (2).

(1) Sakio, § 2, p. iij cherche directement P^^rj, PX*r4, mais la première expression est donnée avec une faute de signe. GudermamH; § 135, p. 315, trouve les mêmes expressions en employant les relations entre les coëlHcients du numérateur et du dénominateur.

(2) Sur tous ces points, voir Tlntroduction particulièrement la note de la page 28, où l'on signale maintes recherches se rapportant tant à la multiplication qu*à la transformation. Sur le calcul des coefficients, voir surtout Brocu, § 28^ p. 55. La considération des sommes est due à Abel, OEuvres, XII, § 25, p. 186 et piissim.