CHAPITRE
BIl'LTIPLICATION PAR UN NOMBRE PAIR.
§ 1. Formules fondamentales.
t%. Valeur de y (m). Nous savons que la valeur de >(ȣ) est de la forme :
p(Xîg— .A*)
Nous allons montrer qu'aucun facteur du numérateur ou du dénominateur ne s'annule en même temps que ps et vfi, puis nous déterminerons wi,, enfin nous chercherons les facteurs du numérateur et du dénominateur.
(1) Ce sont les dernières formules de ce numéro qu^AsEL trouve d*abord par la méthode dont nous avons parlé dans la note du n» 6. II détermine les constantes en fesant
6=:0, e=:K, f = KH- K\/ — 1, ce qui le conduit aux formules i, 5, 9 du n® 9 ; il en déduit les formules 4 et 7. Abei ne s'occupe pas des produits PX^pi- — Broch (§ 29, 30, 31, p. 38) suit Abel, sans donner aucune autre expression de X(7if) etc., mais il arrive à quelques unes des formules sur les produits P>*Pi etc., au moyen de certaines relations entre les coefficients du numérateur et du dénominateur ordonné suivant les puissances de >^£. GuDERMANN cherchc aussi quelques uns de ces produits et^ de la même manière (§ 152 et 155, p. 302, 313), mais dans la recherche des expressions de },{ne) etc., il part de la seconde forme et non de la dernière; ce qui est préférable puisque cette marche peut être suivie dans le cas de n pair. Nous avons montré dans rintroduction (n** 10) que la méthode de Broch et Gudermann, pour trouver les produits PX*^, etc. ne diffère guère de celle que nous avons suivie. Mais celle-ci conduit simplement à la valeur des produits ^*P| etc., tandis que Tautrc enchevêtre deux recherches distinctes, celle des coefficients et celle des facteurs du numérateur et du dénominateur.
I" Aucun facteur du numérateur ou du dénominateur n'est nul en même temps que p- et vs. Soit pe = ou £ = (2a-t-i) Kh-26K'|/^^, on aura «£ = (2a-^i)nK-f-26nK'i/^ et par consëquant (I, G), A(ne\ = 0. Il résulte de là, que i — )*e ou fx*e ne se trouve pas parmi les facteurs du dénominateur. Ensuite on a :
,. l(ne) ,. nu(ne)v(nz) . ,« .
îim -^-^ = — lim ' \ ^ ^ ^ = quantité finie.
we /£V6
Donc fx£ n'est facteur qu'une seule fois au numérateur. La proposition énoncée est donc vraie pour pis; on peut faire une démonstration analogue pour v£.
2» Détermination delà constante. Soit £ = K'|/ — i dans l'égalité
w ,. a£v£ À*eP(>«£ — A*)
Puisque n est pair, n£ = ;iK'|/ — J est une valeur qui annule ).(//£) (1, G); d'ailleurs ).£=oo . Mais :
lim ^■^ = - lini nii{m) v{nz) X ^ = ^'(1, 7, 8, iO, ii, 50).
Donc :
r = m, ( — k) lim — -^ -L .
L'expression du second membre devant être finie, il en résulte que le produit du dénominateur doit avoir quatre facteurs de plus que celui du numérateur; et de plus
^^= — m,k ou m,= — p.
3" Facteurs du numérateur et du dénominateur. On trouve ces facteurs avec la même facilité que dans le cas de n impair* On arrive k la formule suivante :
V N ^' ^ P(>«s — >VJ
A(nt) = — — /eaeve — f— -r-i^
s est un nombre pair qui doit recevoir toutes les valeurs positives non supérieures à n; s' doit recevoir les mêmes valeurs avec le double signe sauf lorsqu'il est égal ou associé à ou n; o-' doit recevoir les valeurs positives et négatives impaires non supérieures à w. Nous voyons que les nombres s, s' <r' satisfont encore à la règle énoncée à la fin du n» 4.
Le nombre des facteurs du premier degré est n' — 1 au numérateur et de w* au dénominateur en regardant pe, ve comme deux facteurs de cette espèce. On en conclut de suite que le degré du numérateur et celui du dénominateur de p(ne) et v(ne) en f/e et ve sera n*.
Remarque, Si nous avions déterminé d'abord les facteurs du numérateur
et du dénominateur il est clair que le i° n'avait plus d'objet et que le
2° pouvait être simplifié. Nous avons suivi une autre marche afin de
montrer la fécondité de la méthode qui, dans toutes ces recherches, emploie
les expressions -.
18. Valeur de a(/ic) et v{m). En fesant e = K'j/ — 1, on trouve
d'où résulte que le numérateur et le dénominateur de /ut(w6), v{nt) sont de même degré, ce que nous savons déjà par le n° 12. Les facteurs se déterminent comme dans les cas précédents. On trouve :
u(ns) = m,P^-5 (!-»==(— i) V^ ^
s\ (j, cr', satisfesant à la règle du n° 4(1).
14. Expressions de >(w6), fjt.(n£), v(we) respectivement au moyen de f^s
(i) Abkl (n» 11, p. 163) détermine les facteurs par une autre méthode; U. H. Mew» (loc. cit.) y arrive à peu près de la même manière ; Bboch ne s'occupe pas de ces facteurs dans le cas d'un nombre pair; Sanio, § 1, p. 10 et Gudérmann (§ 150, p. 294) trouvent les facteurs comme nous Pavons indiqué dans le texte.
et vty /£ et vty >.£ et y.-:. Des considérations analogues à celle du n® 6, conduisent à ces expressions (jne nous donnons avec les précédentes dans le tableau suivant :
) £)/£ ' k^ yh — y* r, A* tx*£ — u} r, v«£ — v'r^
^(,U)=(-1) P- ^=(-1) PC^ L^=(1) p-^ ^
.V , . V * ^ ''*£ — '>**'\ / . V * ^ ^'- — f^^^'" . . V â v*£ — vr v/,£ = -1 Pr^ rT^= -0 P'-
>«»• tjL«£ u^y v'£ vr.
Remarque. Soit /• une quelconque des expressions r,, r,, r, ou r^. Je dis que, dans les formules précédentes, on peut remplacer r par
K — r, K + K'/ITÎ — r, K|/^ — r.
Pour le montrer, considérons, par exemple, ).(K — r,) et )r,. On aura
Soit s différent de et n; s recevra toutes les valeurs paires comprises entre et n; il est clair qu'il en sera de même de n — s; si s est différent de et de n, s' prendra toutes les valeurs positives et négatives qui, en valeur absolue, sont comprises entre et n; il en sera de même de — s'. Donc, pour ces valeurs >(K — r,) sera égal m h\. Soit maintenant s = 0, .s' peut recevoir les valeurs positives comprises entre et n; on aura :
>(K-r.) = ),(2K-K-.,,) = ).(K.^:^) = >(!ii±ip^
et par conséquent >(K — r,) prend les valeurs de h\ lorsque s = n. De même quand s==n, X(K — r,) prend les valeurs de )r, quand s = 0; quand «' = 0, /(K — r,) prend les valeurs de >.r, quand .s' = et enfin quand 8'=n, >(K — r,) prend les valeurs de >r, quand h' =^n. Par conséquent \}\ et X(K — rj prennent les mêmes valeurs, quand i\ prend toutes les valeurs dont il est susceptible.
Des démonstrations analogues peuvent se faire dans tous les autres eas, et par suite le théorème énoncé est démontré.
Ce théorème est, comme le verra au § II, la clef de toutes les différences qui existent entre la théorie de la multiplication par un nombre pair et la multiplication par un nombre impair(l).
§ II. Formules diverses déduites des formules fondamentales.
15. Autre méthode pour la déteimination des constantes. — Nous ferons pour cela, comme dans le n° 7, e=0, e = K, e = K-f-K'j/ — i. On trouve : i» Pour 6 =
li„,^J^=«= «P^^Ti d'où P"^'=- A*
a(«e) = 1=(1) pijiî . Pji^ = (-1)
2° Pour 6 = K
>£>'£ ^ ^ k* k^ li\ ii\ ^ ^ k""
pt(n6)= (-if =(-i)*p!^ . pÇ?« 1
v(ne)= i =(i)''p±!> , pÇ3 = (— i)*
(1) Sanio ne signale que les substitutions K — r et K'|/ — 1 — r, en accordant, semble-t-il , une plus grande importance à la première. Cela vient probablement de la notation de Jacobi cokt pour ^(IC — S), ou plutôt sin coamîj pour sm am(K — e) qui peut faire croire que am (K — î) jouit de propriétés plus remarquables que d*autres amplî^
tudes. En réalité, comme Pa très bien montré LAMÉ,c*est K'y/ — i — e qui jouit de pro-*
prictés spéciales ; d^ailleurs, K -*- K'^^ — i — 6 est aussi remarquable que K — i.
3» Poure=K-^R'/— ^
vr^
16. Seconde forme des valeurs de >(//e), «^(we), v(we). On déduit des formules précédentes et du n<^ 14(0.
17. Zc« valeurs de )(w£), f*(''£)5 >('*£) ne peuvent pas s'exprimer au moyen de produits de la forme P>(r, -+- e)^(r, — £) etc. Remplaçons successivement dans l'expression PM — TTp ®" '' désigne l'une des quatre
(i ) Sanio donne les formules seulement sous cette forme, en se bornant aux expressions 1 >, GuDKftMANN en donne quelques-unes de plus. L*un et Pautre cherchent les constantes par un procédé qui ne diffère pas au fond de celui qui est exposé au n° 15, sauf que le ^'«riiier emploie une série pour déterminer celle qui entre dans >(nf). II trouve quelquesunes des relations du n" 15 au moyen de celles qui existent entre leis coefficients du **^mérateur et du dénominateur de ).(«£), |^(«€), v(w£), comme dans le cas de n impair (voir 5 155, p. 315).
expressions r,, r,, r,, r„ r par K'j/— I — r, K — r, K-fK'j/— 1 — r. On trouvera (F,- 13, 2a, VJ, 2(5, 20, 27)
P M — Ç\ = P(l — k*).hl*r);
d'où P Ti^-^- = Pv(r ^ e)v(r — e) = PvV.
Ces trois formules remcirquables peuvent s'obtenir aussi au moyen de la considération des produits P fi — ^ j, P ( 4 — — j. Elles expriment
que les produits P?v(r -+- £)X(r — s) etc. sont constants. Il en résulte qu'il est impossible d'exprimer /(we), a(/<e), v{m), qui sont variables avec e, au moyen de ces produits comme on l'a fait dans le cas de m impair. Cette propriété montre bien toute la différence qui existe entre la multiplication par un nombre pair et la multiplication par un nombre impair (1).
18. Valeurs des produits PX*r, Pju!.*r, Pv^/\ On peut calculer directement la valeur de tous ces produits et par conséquent aussi celle de
(1) Cette propriété n'a pas egcore été signalée, que nous sachions. Broch donne la première des formules démontrées dans le texte, mais il fait une singulière méprise à propos des deux autres. Il arrive, en suivant la même marche que dans le cas d'un nombre impair, à la formule (voir § 30, p. 63 sq. de son ouvrage)
o' — a'uL(nz)
