CHAPITRE n

TRANSFORMATIONS RATIONNELLES OU y DEVIENT INFINI EN MÊME TEMPS QUE X

(p, q' impairs, n impair).

§ I. Première transformation : q impair W.

A. Recherche des formules de la transformation en la supposant possible.

30. Détermination des valeurs de >,£, fx,e, v^e en supposant que le problème est possible. On a (n» 29), n^ étant la valeur absolue de n,

?.(£ + 2n,w) = ?. (g it 2zK'|/iri ip 2?K) = — Xs |:x(e -»- 2«,w) =rfx(e ± 2rK'l/^^ =f 2SK)c= — |X£ v(e -+- 2n,w) =. v(£ ± 2zK'/^ ^ 2;K)= vs D'après (I, 9-i2)

>^£=0 pour £=g, = M (2aLH-26L'/^) =»2a'K-4-26'K'/^ -*■«»

^,6=0 . £=£, = M[(2a + 1)L-|.26LV^l =2a'K-4-(26'+i)Ky^H.(T« v,6==0 . £ = £3=M[(2aH-l)L4-(26+1)L'/^l«2aK-i-26'K'/=T +it«

, v,e = oo » £=£^--M[2aL + 1(26+l)L'|/^J =2o'K4-(26'h-1)K'j/^^+«»

a et 6 désignant des nombres entiers quelconques, s un nombre pair, (t un nombre impair, a' et 6' des nombres entiers pairs ou impairs dépendant de a et 6.

Réciproquement, si a' et 6' sont des nombres quelconques, s un nombre pair, l^e sera nul pour £ = 2aK-4- 26'K'i/^i -^ scù car cette expression est égale à

+- V l/^] -4- 2a' [m (pL -4- ?L' >/^] -4- 26' [m (pX -1- 9'L' (/^] = M (2aL + 26L' / On trouverait de même en supposant s un nombre pair, (t un nombre

(i) Nous examinons en détail ce premier cas. Mais, dans les suivants, nons laisserons de côté tout ce qui présente une entière analogie avec celui-ci.

impair, a' et b' des nombres quelconques, que u.^^, v,£ s'annulent et que /,£, a,£, v,e deviennent infinis pour les valeurs indiquées plus haut.

En ajoutant à ces valeurs la quantité nulle EK— zK'j/ — i -*- iiw on trouve

>, [(2a' H- 1)K -^ 26'K'j/^=T h- erw] =

fx, [ (2a -♦- 1)K-*- (26' + 1) kV^ + sco] =0 V J(2a' -I- 1) K -4- 26'K'i/^i +,sw]=0

5^,>l^i ou v,[(2a'H-1)K-*-(26'-hi)K'|/^-4-(rw] = oo

s étant un nombre pair, v un nombre impair, a' et 6' des nombres entiers quelconques.

On conclut de ce qui précède que À*e prend la forme :

À*(sw) ou >.'(K -♦- (Tco) quand l^es=:0

/« (K'|/— 1 -4- (Tw) . i« (K -4- K' /^ 4- s«) » f^iÊ = À*(ffû)) » X*(K -♦- sw) » v,e =

et réciproquement à ces valeurs de /*£ correspondent toujours celles qui viennent d'être indiquées pour 'k^e, iuLjS, v^e.

On déduit immédiatement de là que y est de la forme

On doit chercher toutes les valeurs de s qui donnent des facteurs différente au numérateur et au dénominateur, ces facteurs étant finis. On ne peut pas faire s==>Oy car cela donnerait un facteur multiple au numérateur et un facteur infini au dénominateur. Il est inutile de supposer s>n,, car, si s^=2n^ — s\ s'<^n^, on a

X« (sw) = i«(2n.w — s'co) = ^2 [± (2j3K'i/^ 2^K) — s'w] = X« (s'«)

On prouve, comme dans la première partie, que toutes les valeurs de s inférieures à n^ donnent pour >*(sc«)) des valeurs distinctes. Au dénominateur s doit recevoir les mêmes valeurs qu'au numérateur; on peut le voir directement, ou le déduire de l'égalité (I, 13)

La valeur de y est donc

= nùz9 ^—^ = mXeP ^ ^ ^ ^ = mXeP ^ '

s recevant toutes les valeurs paires inférieures à n^.

On peut trouver la valeur de i — y*, et celle de i — /*y* de la même manière que. celle de y, ou bien les déduire des valeurs de i -♦- y, 1 — y, i -h /y, i — /y. Nous allons chercher 1 — y* en considérant cette expression comme le produit de i ^- y par 1 — y, puis lious dirons comment on peut trouver i — /*y* d'une manière directe. Cela montrera avec quelle facilité la méthode suivie ici donne immédiatement ces diverses fonctions.

Les valeurs de i -♦- y, et de i — y seront rationelles en x et auront même dénominateur que y; il suffit donc de chercher leur numérateur. Or Xj£ = ±i, quand h. est de la forme >(K -*- K(/ — 1 -f- 5w), puisqu'on doit avoir pour la même valeur de e, ^^z=z\ — >^îg = o. Soit d'abord

= K H- k'|/;i^=m[(p H-pOi- + (9 + q%'\/-^] => M [(p + p'— i)L -4- (9 + çOL'l/^ -*-l]

on aura

que nous représentons dans ce numéro par c.

Ensuite^ soit

« il vient >,£ = c( — \) = zh r.

Si «est divisible par 4, on trouvera h- c, sinon, on aura la valeur — c. Si on donne à e des valeurs égales et de signes contraires, on arrive aussi à des résultats égaux mais de signes contraires pour >,£.

Les facteurs du numérateur de i — c l^z sont donc ceux du produit suivant

(1 — klz) P [>6 ± > (K H- K' |/~1 -^ sw)]

le signe -h dans l'expression >e±>(K-4-K'j/— i -t-Sû)) étant employé quand s n'est pas divisible par 4, le signe — dans le cas contraire; le premier facteur i — k\t correspond à s=0.

Chacun de ees facteurs est à la seconde puissance dans l'expression cherchée, sauf le premier. En effet, si i — fc>e==0, on a

i—kks Mjfc ve y£ Mfc MkkBliS fA£

Soit It — >ej l'un des autres facteurs. On a, pour e=e, : lim *JI^ =±ixlim,-Jii^ X^=±4x lim^^'x ^-quantitéM

On conclut de tout ce qui précède la valeur de i — c>,e, puis celle de 4 -*-c>je et de ll^t :

[>g dz > (K ^ K V -- i -^ s(ù)]* >te X«(K'|/~i -*-««)

fA grrs m, V£ P ^ ■

>*£ — >«(K'j/IIÏH-Sft>)

Dans ees expressions, s reçoit toutes les valeurs paires inférieures à n^; le signe des seconds membres a été obtenu en remarquant que pour e=0, le premier est égal à Funité.

On trouve, par un raisonnement analogue :

Vj£= tW, /*£P

[>£qiX( K4-^6))]«

>«e— >«(K'j/:iT4-s«)

Si on avait cherché directement v'£, qui est rationnel en X£, on aurait trouvé que son numérateur contient tous les facteurs du produit

(i— >«£)P[>«£ — >«{Kh-Sw)]

Il est facile de prouver que chaque facteur, sauf le premier, entre au second

degré dans vh. On trouve, en effet, des limites finies pour les expressions

-î- et — *

lie >e±>(K + 96))

quand le dénominateur s'annule.

SI. Détermination des constantes m, m^, m,, M, /, /'. — Pour trouver ces constantes nous allons donner à e diverses valeurs particulières. Nous avons déjà vu, en fesant e == K'(/ — i {a? 25, A), que

Nous avons ensuite {n? 23) pour £ = 0, e = K ou M(pL -♦- qU^—i) et e =. K H- K'|/^:^ou M[(p -^ p')L H- (7 + <y')Lj/in[î(i).

i» lim ^«4 «= ^ • P ^^^^^ = ^*-*"* P>*M (2)

2« V=(— l)'*~MI' + I'y^.O=(-i)* 7=»»P ^^=r =»

<l< 1 Ni— 1

On tire de (2), (3), (4) les valeurs suivantes qui vérifient d^elles-mémes réquation (1).

lf.*{S(ù)

(i) Nous employons très souvent les formules complémentaires (I, 13-21); mais nous croyons inutile de désigner chaque fois laquelle de ces formules nous donne la transformation indiquée dans le texte.

— assoit encore e = K'(/ — 1 et e == dans ft,e ; on aura (n" ^5)

Donc

>«(K'(/irï-4.s«) f**M

Donc ^ fiL«(5w)