SW) V«(SW
En comparant ces deux valeurs de m,, on trouve
Or nj = dt (pqr' — p'qr); si Ton prend le signe supérieur :
si on prend le signe inférieur :
Le premier de ces deux nombres est divisible par 4, le second ne l'est pas. Donc n doit être positif pour que la transformation soit possible W. Soit fait, dans la valeur de /jl^ê, e = K = M{pL -4- qV\/ — i); on aura ;
d'où, en remplaçant / et m, par leur valeur
/^ ,'(-,) . (î)-Pp
Pour trouver m,, on fera e = K'j/ — i, ou e==0 dans la valeur de
v,e; on trouve :
* ft--* }}(SCÙ)IJ}(S(Ù)
(1) Ce théorème n'a encore ctc démontré que par la théorie des fonctions 0, Kônigsberger, § 8, p. 22.
En fcsant s =K -♦- K'i/ — 1 dans |jl,£ et v,e, e = K dans v^e, on retrouve sous une forme un peu différente, plusieurs des formules précédentes.
Les valeurs des constantes sont réunies dans le tableau suivant^ où chacune d'elles est mise sous plusieurs formes différentes dont Téquivalencc s'établit au moyen des formules (I, 15-21).
P*(sm) )i«(Kh-«w)
X« (sw) v« (sco) >« (sw)
v« (sw) ^ A«(K H- K' p/^ -^ s(ù)
>«(Sû))|U.*(5«j >« (sw)
"'M ^/,ii i p 'l
38. ilw^re /orme des valeurs dey^ \à=.y, iàzly, j/ 1 — y*, (/ 1 — /*y*. — Nous allons transformer les valeurs de ces fonctions au moven des formules (I, 25-29). ha formule (25) donne immédiatement
X«(sw) — X«e >,e = m).£ P ^*(KyZ:ï^5^)x«£ =^*'*"* ^ ^* W X >eXP>(s« + e)>(sa>-e)
Mais, d'après une remarque faite au commencement de ce chapitre, i(s&) — e) = — l[t — sw) = -*- ife -I- (2n — s)û>]
on peut donc écrire :
>je = m*'»-' * P X«(s«) P >(e -i- 2Tw)
T étant un nombre entier qui prend toutes les valeurs depuis jusque n — 1 . On peut encore remarquer que
\(z -4- 2Tû)) = — >(£ -4- 2Tw -\- 2w&)) ;
si 2T n'est pas divisible par 4, 2T + 2n le sera ; on peut donc ne laisser que des facteurs de la forme >(e + 4T6>) dans la formule et écrire
On pourrait dans ces formules remplacer mA'*~*P>*(s«) par
(— i) ' it-P)i*(K -♦- s«) = (— i) ' V A:»:/(-i) *.
L'expression de \^t est la seule dont nous nous servirons dans les numéros suivants, mais on peut trouver de la même manière les valeurs de i =t XjE, i zt />^e, jui^e, v,6 :
i±to(£-4-2T&)) i--A^(6-j-4T«)
1 — (-i)^r-5, i^/iAv.-t-xiu>;
^ V (e -4- 2Tw) V. V (e 4- 4T6))
(SW) v'(sw)
• ft'(sw) fx«(s«)
Dans les facteurs où entre le double signe, on doit choisir le signe supérieur ou inférieur selon que T est impair ou pair.
B. Vérification de la solution.
33. Détermination de /ix^e, v^e en supposant i^e connu. Nous avons trouvé les valeurs de i^e, |jL,g, v^e, en supposant que le problème de la transformation ait une solution. Pour vérifier cette solution, nous allons considérer l^z o\xy comme une expression algébrique, et en déduire ^ i — y*, et j/ 1 — /y ; nous verrons que ces fonctions sont égales aux valeurs
trouvées pour /jl,£ et v,e, pourvu que les constantes m et / soient déterminées par les conditions
y s= ( — i) * / si X = 1 , ou e «= K
y = (— i) ' ==c si x = A;-* ou e = K -*- K'j/^TT
D'après ce qui précède^ on ne peut pas faire d'autre hypothèse sur la valeur de y pour e = K et£ = K-*- K'|/ — i .
Avant de chercher les valeurs de [/ i — y* et j/ i — /«y« nous démontrerons quelques propriétés de l'expression
Il est évident d'abord que y = pour e=0, et y = oo pour e==K'^/ — 1. Ensuite 4oi) est une période de y et de -^ . En effet
, ^ ^, .n, X >(e-4-4nûi)) ^ >(e-4-4ww) >4(e-*-4û)) = m'.p.>(e-4-4T«)x -^-r ^«^^eX --^— r ^=X4e
