CHAPITRE V
TRANSFORMATION IRRATIONNELLE OU î/ s'aNNULE QUAND X DEVIENT INFINI
(p, q' pairs, q impair; n pair).
48. Formules de la transformation supposée possible. Dans le cas actuel on a, d'après le n° 29 :
R = p ML «= cpw + yK -*- AK'|/— î
«ço = ?R' |/I3i jsKM, L'|/^ = r« -*- /K. H- A'K'/^=T
/(£+ î2;ijw)==/e, fx(e + î2;ijû.)) = — pe, v(£ + 2w,&)) = — ve On trouve, en raisonnant comme dans les cas précédents :
le = mk^ — P ^^ — —
pevî IH — >*(K + sck))
fX£v£ ^*£ — >* (K -*- SW)
Au moyen de (1, 26), on arrive encore aux formules suivantes, où le signe supérieur de ^ di 1 se rapporte au cas où n est positif, le signe inférieur au cas contraire.
/j£ mk fx*(s&)) mk* v*(s&))
Pour trouver les constantes, fesons e = K' }/ — 1 ou e=0, il viendra : (n» 23, G, H, D ou I)
m, = (-.l) ' A, m, = (— 1)' fc, Mmfc« = (— 1)* Soit ensuite e=K dans X^s^s, on trouvera :
M = (-1) ' m/p;Pp'M
La même substitution dans v^spe conduit à
/.ni -4
M = (-l) * j/Zl-.p^«(sa))p*(<r«)
D'où m=(— 1) * l/^^7- — P
On trouverait une valeur peu élégante de /' en fesant s = w dans fx,e. On prouve que n est positif en fesant s = (ù dans j/ — 1 : l^z, et e=0 dans fA,e : v,e. On arrive, en effet, de cette manière à l'égalité :
S -♦-l-+-z-f-p-*-l+ p'-t-y + l •+-q'-\'p = p — qfp-i-i-i-p' — Qp-^-p •*-l -*•/>'+? -hi -*-</'-+-p = 2/^-*-(p— 1)(1— 7)-4- 4-+- 2p' — 7'(p — l) = 4a
On doit donc prendre dans $±1 le signe supérieur, qui correspond à « positif.
49. Vérification de la solution. Nous déduirons dans le cas actuel la valeur de ^,e, ptje, v^g, de pi^e : v,£ en supposant que y = pour x = et X = 00 et y = 00 pour s = K. Posons
i — V* , 1 — w* rfw* 2/'«w dw rfv"-' 2/'% dtf
m, Xn — 't?{VL -\- (7m) m, v[e + (2T + !)«] rfM v' [£ -i- (2T -4- ijg j
D'après celte valeur de «, y^ sera une fonction rationnelle en x. Son dénominateur sera au plus de degré n en x* et le numérateur de degré n — 1 , puisque pour x = oc, il faut que y = 0. Les fonctions y* et y*, ainsi que leurs dérivées par rapport à e ne changent pas de valeur quand £ augmente de 2&).
Nous avons supposé que i/ = x pour s = K, et par suite pour K -*- 2aw; il est facile de conclure de là que tous les facteurs du produit
se trouvent au dénominateur de t/'. Désignons par 1 -t- jx l'un des facteurs \ d= Xs, 1 -àzkh,, La limite de (1 -^ jx)y^ pour i h-j*x = sera finie ou infuiie, selon que i h- jx est une ou plusieurs fois facteur dans le dénominateur de y* ; or cette limite ne diffère que par un facteur constant de
celle de
(Ix dy* dy~'^
de dz ' de
dont le numérateur fxcvs est égal à zéro. On doit donc avoir, quand 1 -4-yx = cl par conséquent quand e = K -+- 2a&) :
d^ et ^ilLïJ^L:^iM^o
de ~'" v[e + (2T + !)«]"""•
La limite de y*[h d= X(K -t- .sw)], pour e = d= (K -t- sco) sera égale, à un facteur constant près, à celle de
dy-'
dz
et est par conséquent infinie. Les facteurs de la forme Ih — X*(K -♦- s(ù) sont donc au moins des facteurs doubles. Le produit
(I - x«g) (i —knh) P [).*£— ).«(K -♦- sw)]*
étant de degré n en Ih est, d'après ce qui précède, égal à un facteur constant près, au dénominateur de y*.
Puisque y = pour e == 0, les facteurs du produit
i£P[i2e — )*(sw)]
se trouvent tous au numérateur de y*. Ils s'y trouvent tous à la seconde puissance. En efFet la limite de y* : [le — >(2aw)] pour £ = 2aw est égsje
à celle de
dy^
^ : aeve. .
de
rfv* Oj' -^ est nul. En effet, nous avons démontre ci-dessus que
^ v'[K -f (î2T H- l)c.] ^ v[K H- (2T Ht 1)«]
Cette égalité se transforme en la suivante par les formules (I, 15, 20, 2i)
Par conséquent, pour £ = et s = 2aw,
^ vTe -f. (2T -t- 1 )&)] ^ (/v«
S -^= ^^ -^ =0 et -^ =
«[£ + (2T + 1)«] " " de '
et les facteurs considérés sont. à la seconde puissance au moins au numérateur de y^W- Le produit
étant de degré it — 1 en Ah est égal à un facteur constant près au numé
rateur de y.
Soit maintenant
