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de seconde espèce de module e (1). Lauden ne fit qu'un médiocre usage de sa belle découverte, faute d'un algorithme qui en fit voir Timportance. La réduction des arcs d'hyperbole aux arcs d'ellipse parut seulement curieuse, et Montucla crut qu'elle ne servirait en rien dans la pratique, parce que, dit-il, les séries qui servent au calcul de l'intégrale qui exprime l'arc d'ellipse sont quelquefois aussi peu convergentes que celles qui servent au calcul de l'arc d'hyperbole (2).

6. Lagrange (1736-1815). Le premier travail de Lagrange sur les fonctions elliptiques est un mémoire sur l'intégration de l'équation différentielle elliptique la plus générale. Il expose d'abord une méthode très simple d'intégration pour le cas où le radical porte sur une expression du second degré; cette méthode est identique à celle de Jean Bernoulli que nous avons signalée au commencement de cette introduction, mais Lagrange ne semble pas avoir eu connaissance de ce travail antérieur. Il donne ensuite la méthode d'Euler et enfin une méthode nouvelle qui conduit à l'intégrale par une marche systématique sans aucune devination (3). Celte belle analyse lui attira les éloges les plus flatteurs d'Euler qui exposa et simplifia le nouveau procédé. Dans la Théorie des fonctions analytiques, Lagrange revint sur le théorème de l'addition et découvrit une propriété remarquable des fonctions elliptiques, qui rattachent ce théorème à la trigonométrie sphérique. Cette propriété peut s'énoncer de la manière suivante : Si on considère un triangle sphérique dont les côtés satisfassent à la relation Fx -*- Fy s= Fz , F désignant la

(1) Philosophical tr^ansactions, 1775, p. 283-290. Les auteurs citent aussi : Mathematical MemoirSf p. 23 (1780).

(2) La transformation de Landcn a été souvent appelée à tort transformation de Lagrange, entre autres- par IvoBY. Ce dernier {Ph. Tr., 1831); Verhulst, Théorie^ etc. ^ § 121, p. 222 j Baehr, Archives de Grunert, t. XXXIII, p. 357-369, s'occupent des relations qui existent entre la solution de Landen et celle de Jacobi. — Cette transformation est étudiée géométriquement par Jacobi, Crelle, 32, p. 176 ou Werke, B. I, p. 357 ; Rûpper^ Crellej 55, p. 89. Enfin Riciielot est parvenu à en déduire la théorie des fonctions 9. Voir son ouvrage : Die Landen* sche Transformation in ihrer Anwendung aufdieEntwickelungder elliptischen Functionen, Kônigsberg, 1868, ou le Traité élémentaire de Durège, ch. XllI et XIV. — Abel a donné le premier la transformation de Landen au moyen de la double périodicité. OEuvres, I, XIII, p. 268.

(3) MiscelL Taurin, IV (1766-1769), p. 98; OEuvres, II, 5-33. — Despeyroux, J. de

Liouville, 1856, p. 231, a étendu la première méthode de Lagrange, déjà trouvée par

Bernoulli, aux fonctions elliptiques. La méthode d'intégration de Lagrange se trouve dans

presque tous les traités de calcul intégral. V. Lacroix, II, p. -475, n" 692-696 ; Moigno, § 191

et les traités des fonctions elliptiques.

première intégrale elliptique de Legendre, le module de cette intégrale sera égal au rapport constant des sinus des côtés et des angles opposés. Lagrange déduisit de là une construction géométrique [sur la sphère du problème de la multiplication (1).

Dans un autre mémoire, Lagrange s'occupa du calcul approché de toutes les intégrales de la forme / f{x,R)dx, R désignant un radical carré portant sur une expression du quatrième degré, f une fonction rationnelle en x et R. Il montra d*abord comment ces intégrales pourraient se réduire à la forme :

Ndx

l/{a H- 6a:*) (m -¥- nx*)

N désignant une fonction rationnelle de x*. Ensuite par un procédé très simple, il prouva que Ton peut transformer cette expression en la suivante :

Prfy

|/ (1 -«- py*) (i -f- qy^) '

p pouvant être aussi petit que Ton veut, et q croître autant que Ton veut ou inversement. Le mémoire se termine par l'application de ce qui précède à la rectification approchée, dans tous les cas, des sections coniques. Ce mémoire, au fond, contient une solution du problème de la transformation pour les intégrales elliptiques, non seulement de seconde espèce, mais aubsi pour celle de première et de troisième espèce, et la substitution de Lagrange est identique à celle de Landen. Mais l'auteur se préoccupe uniquement du calcul pratique des intégrales qui contiennent un radical carré portant sur une expression du 4°**^ degré, au point qu'il ne remarque n^éme pas, comme Landen, que l'arc d'hyperbole peut s^eicprimer au moyen de deux arcs d'ellipse, quoique ce théorème et beaucoup d'autres soient contenus dans ses formules (2).

T. Legendre (1752-1853). « C'est la gloire impérissable de Legendre d'avoir reconnu dans les découvertes que nous venons de rappeler le germe éCune branche importante de f analyse » (Lejeune-Dirichlet). Dès ses premiers travaux, il introduit un algorithme régulier pour représenter les

(1) Théorie des fonctions analytiques (2«*« édition, Paris, 1813), ch. XI, p. 110 sqq. Voir Lacroix, 11, n» 709-710, p. ^99 et les traités des fonctions elliptiques.

(2) Mémoires de Turin, I (178^-1785). OEuvres II, p. 253. Lacroix, II, n» 425-427, p. 77.

intégrales elliptiques. Comme Lagrange, sans connaître les travaux de Landen, il retrouve ce beau théorème que Thyperbole peut être mesurée par deux ellipses, ou plutôt un théorème équivalent, et, mieux que Lagrange et |Landen , il en voit la portée, non seulement pour le calcul numérique des intégrales, mais encore pour les progrès généraux de Fanalyse. Dans le mémoire suivant, il reconnaît nettement que toutes les intégrales du genre de celles qui ont été considérées par Lagrange se ramènent à trois intégrales distinctes, pour lesquelles il propose les notations suivantes :

F(fc,9)=( ^ — . E(fc,(p)=( i/l — it^sinV d<f

JO l/\ — k^ sin« 9 Jo

jO(\ -Hnsin*(p)|/

(1 -H n sin* 9) |/l — A* sin* 9

k est appelé le module, n le paramètre. Les découvertes antérieures se classent dès lors en deux séries distinctes. Les recherches d'Euler, de Lagrange et de Legendre lui-même sur l'intégration de l'équation différentielle elliptique et sur ses conséquences, sont des théorèmes sur les fonctions F, E, n de même module et de même paramètre; celles de Landen, de Lagrange, et les siennes propres sur les rapports entre les arcs d*ellipse et d'hyperbole donnent des relations entre les fonctions F, E^ n, où Ton suppose différentes valeurs au module (1). Pendant quarante ans, Legendre continua ses recherches sur les intégrales elliptiques et les consigna dans ses Exercices de calcul intégral et dans son grand Traité des fonctions elliptiques {^). Il calcula des tables pour les fonctions des deux premières espèces

(1) Mémoires de l'académie des sdenees, 1786, p. 6i6-6i4; 6Uf sqq. Il eut connaissance

du mémoire de Landen après avoir composé la première partie de son travail. Dans ce

dE premier essai, Legendre considère la fonction E et la fonction -rj- qui peut s^exprimer au

moyen de E et F. — Mémoire sur les transcendantes elliptiques, 1793. Première esquisse du grand traité.

(2) Exercices de calcul intégral (Paris, V« Courcier, 1811). Traité des fonctions elliptiques. 2 vol. Paris, Huzard Courcier, 1825, 1827. Le troisième volume parut plus tard, il contient trois suppléments consacrés aux recherches de Jacobi et d^Abel. La transformation de Legendre est exposée ch. 28-31 et additions. — En 18^1, un belge, Vbrbulst, a résumé Pouvrage de Legendre ainsi que quelques-unes des découvertes de Jacobi dans son Traité élémentaire des fonctions elliptiques^ BrvLxelïeSy Hayez, 1841. C*est le premier ouvrage ou Ton ait essayé de mettre à la portée de tous, et les travaux de Legendre, et ceux de Jacobi* Le premier ouvrage analogue en Allemagne, date de 1861, sauf quelques essais dans les Archives de Grunert.

et montra par de nombreuses applications leur emploi dans l'analyse. En outre, dans la partie purement théorique, il arriva h un grand nombre de vérités nouvelles dont quelques-unes touchant les intégrales de troisième espèce « sont (Pun abord extrêmement difficile » dit Lejeune Dirichlet. Cela provient de ee que Legendre comme tous ses devanciers considère seulement les intégrales elliptiques au lieu de leurs fonctions inverses et que, par .suite, la double périodicité lui échappe. Malgré les inconvénients de sa méthode, en 1825, il fit une découverte sur la théorie de la transformation. Il trouva une nouvelle solution de ce problème de la forme

sin (p (m -f- h sin* o)

sin w = r-— ^ 5