h A sin

c'est-à-dire du troisième degré en sin (p ; m et h ont des valeurs déterminées en & et on a :

d(ù md(p

[/i — a* sin* w j/l — c* sin* 9

a et c étant aussi des fonctions connues de k. Cette découverte donnait des procédés nouveaux, en nombre infini, pour ainsi dire, pour calculer les tables de fonctions elliptiques. Legendre indiqua de suite le parti que Ton pouvait en tirer dans ce sens. La nouvelle solution de la transformation est exposée dans l'ouvrage de l'illustre vieillard d'une manière graduée, en passant des cas les plus simples aux cas les plus compliqués; cette méthode d'exposition lui semblait la meilleure et il exprima plus tard ses regrets à Abel et à Jacobi de ce qu'ils ne l'avaient pas suivie dans leurs mémoires. La découverte de Legendre ouvrait de nouveaux horizons aux analystes dans cette belle théorie des fonctions elliptiques, quand tout à coup\ les découvertes de Jacobi et d'Abel vinrent la transformer complètement et en changer d'une manière inattendue les méthodes d'investigation. Mais, avant d'exposer ces recherches, nous devons dire un mot des travaux de Gauss pour rester fidèle à l'ordre chronologique.

8. Gauss (1777-1855). Les recherches de Gauss ont rapport, les unes aux fonctions elliptiques en général, les autres aux fonctions lemnisca tiques, c'est à dire, aux fonctions elliptiques de module 1/2. Dans un passage des DisquisitioneSj Gauss déclare que la division de la lemniscate en parties égales dépend des mêmes principes que la division du cercle. Cette assertion, dont Abel a montré la pleine vérité, était naguère le seul passage connu de

Gauss sur les fonctions lemniscatiqucs. La publication de ses mémoires inédits a prouvé qu'il s'était longtemps occupé de ces fonctions, et particulièrement de leur multiplication et de leur division; et de l'ensemble de ces documents résulte que Gauss a bien connu leur double périodicité. II les étudie surtout au moyen des séries et des produits infinis (i). Quant aux fonctions elliptiques générales, il les regarde le plus souvent comme nées de la considération de ce qu'il appelle la moyenne arithmético-géomé' trique de deux nombres m et n. Soit la série indéfinie d'égalités :

m' =- (m -f- n) , n' c= [/mn ,

etc., etc.,

les quantités m', m'\ n', n", convergeront vers une limite commune /i, (moyenne arithmético-géométrique) qui sera égale à

m"== -(wï'-f-w') , n"=\/m'n'

l/m*cos*Tdbn*sin*T

Ce théorème, dont on peut trouver le germe dans le mémoire de Lagrange sur la transformation, est identique au fond k la transformation de Landen. L'auteur, qui y est parvenu indépendamment des recherches antérieures, l'applique au calcul des intégrales elliptiques dans un mémoire d'astronomie; de plus, ses mémoires inédits renferment de remarquables propriétés de la moyenne arithmético-géométrique de i + a: et i — x, étudiée tant au moyen des séries que des produits infinis (2). L'étendue de ces

(1) Disquisitiones, § 335; Werke, B. II!, p. ^4-'i32. Les Disquisitiones parurent en iSOl.

(2) Determinatio attracHonis, etc, sub ûn.Werke, B.ÏIÏ, p. 333-360; Nachlass^ p. 360 sqq.j p. i33 sqq. — Jacobi dans lés Fundamenta, § 38, p. 95 ; § -47, in fin. p. i35; § 66, p. 186, cite ou emploie des résultats trouvés par Gauss au moyen des fonctions elliptiques. — ScHERiNG a fait remarquer (Mathematische Annalen^ !, p. 138) les relations nouvelles que Pon peut trouver, sur les fonctions G, au moyen des travaux inédits de Gauss. Diaprés lui, Gauss semble avoir entrevu les relations qui existent entre \es transcendantes elliptiques et les fonctions d'une variable imaginaire, et la possibilité d'introduire ces transcendantes dans le problème de la rotation des corps (Notes qui terminent le troisième volume des œuvres de Gauss). — Sur les recherches de Gauss, voir aussi son témoignage propre : Abel, OEuvres complètes^ introduction p. Vil (dans une lettre à Schumacher),

recherches permet de croire que Gauss était arrivé à plusieurs des résultats trouvés par Jacobi sur la transformation et d'Abel sur la multiplication et la division. Mais la plupart de ces découvertes de Gauss ont été sans influence sur la marche de la science, parce qu'il n'a publié que celles auxquelles il avait pu donner une forme parfaite et qu'il a été prévenu pour les autres par Abel et Jacobi. < Juste peine j dit ce dernier dans une lettre à Legendre, de ce qu'il a répandu un voile mystique sur ses travaux. >