RAPPORT

da 4* nombre au 3*.

dm.

cm.

kg 436o

kg par om.q.

a3ii

Ainsi le quotient de la division de ~ par ( j \ qui devrait

être constant, a varié dans le rapport de 26 à 23. Il pourrait donc être dangereux d'applîqtter lâ formule de M. Hodgkinson hors des limites de ses expériences.

81 . Golomies en fonte. On doit encore à ce savant anglais des cfxpériences sur les supports en fonte. La formule qu'il a proposée pour les colonnes cylindriques en fonte, pleines et à bases plates, revient en mesures françaises à celle-ci :

P étant la charge en kg. qui produirait la rupture, d le diamètre en centimètres, / la hauteur en décimètres. Il en résulte que la charge par centimètre q. serait proporlion-

«elle à rj-y.

La vérification de cette loi , et en même temps la détermination des exposants de J et de / sont faciles. Soit en général

p, rfet / étant variables, et ^ , m, /i étant des constantes qu'il faut trouver.

En considérant une série d^expériences dans lesquelles le diamètre d est constant , on peut remplacer j^d"" par une constante inconnue B et poser

relation dont l'expression se simplifie à Taide des logarithmes. On doit avoir

logP = log B — n log /.

Cela étant ^ si Ton prend deux axes coordonnés dans un plan, qu'on porte en abscisses les diverses valeurs de log/ pour la série d'expériences dont il s'agit^ et en ordonnées les valeurs correspondantes de logP, on reconnaîtra que la loi supposée est admissible , au moins pour le diamètre de la série, à ce que les points obtenus par cette construction seront approximativement sur une ligne droite. On tracera cette droite dont le coefficient angulaire et l'ordonnée à l'origine feront connaître n et log 5.

En opérant demême pour les diversessérîesd'expériences, chaque série relative à un même diamètre , on vérifiera la loi en constatant que l'exposant n doit toujours avoir la même valeur^

(73) Dès lors il ne reste plus que deux constantes ji et m à déterminer dans la formule [i]. On la mettra sous la forme

logP -+-« logZ= logjB=log-^+mlog J.

On prendra encore deux axes coordonnés , on portera en abscisses les valeurs de \o%d des diverses séries d'expériences, et en ordonnées les valeurs de logf correspondantes. Les points obtenus par cette construction devront être sur une ligne droite dont le coefficient angulaire et l'ordonnée à l'origine détermineront m et log^.

Suivant l'opinion de M. le général Morin , la prudence exige dans la pratique que les supports ne soient pas soumis à une pression qui dépasse le sixième de la charge de rupture. La formule deHodgkinson donnerait ainsi en kg. pour cette limite

D'après le même expérimentateur anglais, les colonnes creuses en fonte, dont les diamètres , Tun extérieur, l'autre intérieur, sont d et rf, se rompent sous une charge P donnée par une formule qui est en mesures françaises ,

P=I0200 jp^ — 5

# ce qui conduit à la limite pratique

Il doit être entendu que ces formules ne sont applicables qu'à des piliers dont la hauteur est comprise entre aS et 1 20 fois leur diamètre.

Le diamètre intérieur des supports creux est à peu près les quatre cinquièmes du diamètre extérieur.

82. Influence de rassqjettissement des bases et du renflement des colonnes. Nous extrayons des Leçons de M. Morin les conclusions suivantes, que M. Hodgkinson a tirées do ses expériences :

« i^. Dans les piliers longs^ à dimensions égales, la résistance à la rupture est à peu près trois fois plus grande quand les extrémités sont plates et perpendiculaires à la longueur ainsi qu^a la direction de Teirort, que lorsqu'elles sont arrondies.

» 2^. Un pilier long de dimension uniforme dont les extrémités sont solidement fixées par des disques, des bases ou de toute autre manière , présente la même, résistance à la rupture par compression qu'un pilier de même section, mais de longueur moitié moindre dont les extrémités seraient arrondies, même si Tedort était dirigé suivant Taxe.

» 3^. Le renflement ou l'accroissement de diamètre des colonnes vers le milieu de leur longueur augmente seulement leur résistance de un septième à un huitième. »

ttS. Prisste vertical assujetti dans cette direction à son extrémité inférieure A {fig. a3) et chargé d'un poids N à une distance donnée LB de Vextrémité L de la fibre moyenne. Soit AL = /, LB=é, CL=/ écartement inconnu produit par la force N» En négligeant le poids propre de la pièce dans la détermination de y, la formule [8] du n^ 27 donne pour un point quelconque M de la courbe

moyenne AL,

eP(x) = N(i-4./-j).

Pour en déduire i'(x)^ posons r(x) = iP=:-p- > et, par

ronsiniiient, i" (x) = t-- = -; — ; l'équation devient * ' ^x (]>• ^

(75) d OÙ eu intégrant

sans constante, attendu que/ et z sont nuls ensemble. En mettant dans cette équation t^ pour z , on a

VVd^ dj

ou

d'où en intégrant

y/^* = arc(cos=i-y^),

sans autre constante, parce que x ei y sont nuls simultanément, et quant à la constante d'abord inconnue/, elle est déterminée parce qu'elle est la valeur de y qui correspond k x=l. Ainsi

47=«"(Vt)' -•«' ^^'[^J^'"]

Connaissant/, on appliquera les formules du n° 20 en réunissant à la force N le poids P de la pièce et posant pour la section transversale en A

ce qui suppose que /étant très-petit la courbe AML diffère peu d'une ligne droite, et que, par conséquent, l'ordonnée

parallèle a Ay de son centre de gravité est à peu près-/,

quoique inférieure à cette quantité.

84. Solution approximative. On peut obienir plus siiapleoierit une solution suffisamment approchée de la question, lorsque la distance b est jugée à priori beaucoup plus grande que Técartement /. Dans ce cas, en négligeant la différence/ — y dans la première équation, on pose

d'où

zï* [x)=.NbXj puis Byz^-Nbx*,

par conséquent,

et enfin

§ X. Flexion plane d'une pièce courbe.

85. Ligne moyenne. La figure du solide dont il s'agit est telle, qu'on peut y concevoir une ligne plane continue qui contient les centres de gravité des sections normales faites dans le corps. Cette ligne moyenne a son rayon de courbure constant ou variable toujours très-grand relativement aux dimensions transversales. Suivant les conditions ordinaires dans la pratique, nous supposerons dans tout ce qui suit que le corps est symétrique relativement au plan c|ui contient la ligne moyenne \ et qu'il en est de même des forces extérieures qui le sollicitent. Il en résulte que dans la déformation produite par ces forces , la ligne moyenne reste dans ce même plan appelé plan de flexion. Enfin les sections transversales qui restent perpendiculaires à ce plan sont ou, toutes égales , ou ne variant que de quantités peu sensibles comparativement à la longueur de la fibre moyenne comme on Ta vu au n° 72.

86. Efforts tranchants et tensions longitudinales. Il suit de ces hypollièses que les généralités établies aux n°* 18 et 19 s'appliquent à une section transversale quelconque, de sorte que si Ton désigne par

G le point de la ligne moyenne qui est le centre de gravité de celte section,

P l'une quelconque des forces extérieures qui agissent depuis la section passant par G jusqu'à l'une des extrémités L du solide ,

F la somme des projections des forces P sûr la normale à la fibre moyenne dans le plan de flexion ,

N la somme des projections rectangulaires des mêmes forces sur la tangente à la fibre moyenne en son point G ,

23ÎL(jP ou fx la somme des moments des forces P autour de Taxe mené par G perpendiculairement au plan de flexion ,

F égale et opposée à la somme des forces élastiques subies parallèlement à la section par la partie de solide GL de la part de Fautre partie, s'appelle l'effort tranchant des forces ; N s'appelle la tension totale du solide perpendiculairement à la section ; le moment résultant f* s'appelle le moment fléchissant des mêmes forces P autour de l'axe projeté en G sur le plan de flexion , et il est égal et opposé à la somme dés moments autour du même axe des forces élastiques longitudinales reçues par la première partie de la part de la seconde 5 et en appelant

i l'allongement rapporté à l'unité de longueur de la fibre moyenne près du point G,

V la distance de la couche des fibres neutres à ce même point,

11 l'aire de la section,

/ son momeiit d'inertie autour de Taxe des moments projeté en G,

E le coefficient d'élasticité du solide,

(78 ) r la distance au même axe d'une fibre quelconque traversant la section ,

R la tension de cette même fibre, on a comme au n^ 19

l=Y^j Vzzn , et /C=-4-

Ei\ ftf* / ft

87. application à un arc à fibre moyenne circulaire et à section constante ^fig* 87). (Nous empruntons cet exemple au Cours de M. Bresse à TEcoIe des Ponts et Chaussées. ) La tangente Ox est horizontale; la charge verticale est composée de deux parties, Tune de O en H, l'autre de H en L, chacune répartie proportionnellement aux projections horizontales des éléments de Tare auquel elle s'ap* plique.

Considérons une section normale passant au point G pris d'abord entre O et H. Appelons

p le rayon CO ou CG de l'arc ,

p le poids par mètre de projection appliqué à OH,

p* le poids analogue pour la partie HL.

Posons

« = OJ, i=OK, /=LJ',

nommons 5 et Q les composantes, Tune verticale et ascendante, Tautre horizontale (comme l'indique la figure) d'une force exercée à l'extrémité L.

Soient x e\.y les coordonnées du point variable G relativement aux axes Ox , Oy,

a l'angle variable OC G,

Enfin conservons la signification précédente de N et de F\ ainsi iVest la somme des projections sur la tangente en G des forces qui agissent au delà de G jusqu'en L inclusivement, projections positives quand leur sens est de G vers L \ et F est la somme des projections des mêmes forces sur le rayon GC , prises positivement dans le sens de G

(79) versC. Nous avons

N=:p (b — x) sin OL'\'p' [a — b) sina — Qcosa — 5siua, F=p (b — x) cos oL-^p^ [a — b) cosa-f-Q sin ce — 5cosa,

i::)M^Pz=ix='^p (b—xy-^p' {a — b)^^{a-^b)—x\

ou bîen en mettant en évidence l'excès de p sur p'

/V==:(;7 — /;') (b — x) sinoL-hp' (a — x)sina — Q cos a, — S sin a ,

JF= (p — p') (A — x) cos a -hp' (a — x\ cos a -+- Q sin a — S cos a ,

Pour une section faite entre H et L ces expressions se simplifient parce que la charge par mètre de projection est réduite à p\ Il suflSt donc de faire alors p — p' = o, ce qui donne pour tout point entre H et L

Nz=zp'[a — x)sîna — Qcosa — *Ssina, P z=p' [a — T)cos«-+-Qsina — 5cosa,

i,=lp' {a-xY^q{f-y)-S{a-x).

En joignant à ces relations les expressions des variables x eKy en fonctions de a , savoir :

.r=psina et j^=:p(i — cosa),

on obtiendra en fonctions de a les quantités variables iV, F et (Ut, et l'on sera en état de calculer pour toute valeur assignée de a les valeurs de /et de /^correspondantes a une

(8o)* seciioii, les valeurs positives ou négatives de R répoadaut aux valeurs extrêmes et de signes contraires de i^, et enfin

l'effort tranchant par unité de surface - •

88. Déplacement angulaire des sections normales de la pièce courbe. Soit dans Tétat naturel de la pièce ab {fig. 26) une section transversale; soit ec une autre section infini-, ment voisine ; soit d* la distance Gg de leurs centres de gravité.

Supposons que dans Tétat de flexion les molécules qui étaient primitivement en ab se trouvent en a'b', et que celles de ec soient en e' c'. Transportons la figure a'b'c'e' en abci Ci . Nous voyons que la fibre moyenne élémentaire Gg a subi la variation ggi qu'on peut supposer dans le prolongement de Gg en négligeant le glissement transversal.

De plus le plan e, Ci fait avec ec un angle infiniment petit que nous désignons par d^. C'est le déplacement angulaire relatif de deux sections infiniment voisines ab, ec.

or DP

Nous savons déjà que l'allongement proportionnel p^ de

la fibre moyenne produit par les forces P est donné par la

TV formule i = -Tr-9 d'où il suit que Télément ds s'allonge de

Nos

Quant à Tangle d^, il est égal à ^ ou -pr ce qui, d'après

les formules qui viennent d'être rappelées, ou mieux d'après l'équation [ 3 ] du n° 19, donne

fAd^ fx d j

dtf; = Considérons maintenant une portion de pièce courbe

(8i ) comprime enlre la section faîte en G© el Textrémitë L. Supposons que celle secliou en Go ail subi un déplacement angulaire ^o^ et désignons par \^i l'angle dont a tourné sous Taction des forces la section transversale prise en un point Gi compris enlre Go et L. Le déplacement angulaire relatif de la seconde section comparativement à la première, c'est-à-dire la quantité dont a varié Tangle de ces deux plans, est égal à la somme des déplacements élémentaires dtf^ relatifs correspondants aux éléments ds dont se compose la longueur GGt . On a donc

étant bien enlendu que pour chaque élément d^ ayant son origine au point variable G de la ligne moyenne, e a la valeur El qui correspond à ce point G , el |x est la somme des moments autour de Taxe projeté en G de toutes les forces extérieures qui agissent depuis ce point jusqu à l'extrémité L.

89. Variation des coordonnées des points de la ligne moyenne. Soient Xi etfi les coordonnées du point Gj dont nous venons de parler^ telles quielles seraient sans l'existence des forces P, Soient, dans cette même hypothèse, Xq et j^o les coordonnées du point G^^. Dans Tétai de flexion les coordonnées Xi et/t ont varié par plusieurs causes :

1**. Parce que l'origine Go de la partie (i^^L a été trèspeu déplacée ;

2^. Parce que la section normale passant par G„ a tourné d'un très-petit angle ^o ]

3^. Parce que chacune des tranches infiniment petites dont la pièce est composée entre Go et Gt a subi une double et très-peiile altération d'allongement, et de déformation angulaire.

4*^. Pane que le solide a pu subir une variation de temporalurc.

Pour uouA rendre compte de V effet qui résulte de ces ciiconstances distinctes sur les coordonnées Xt éi y^ , supposons d'abord que la pièce dans Tintervalle de Cw^ à Gi êoit restée d'une iigure complètement invariable. Dans ce eus bon déplacement total pourrait se décomposer en deux, savoir :

i". Une translation qui ferait que les coordonnées des (liderents points du solide prendraient toutes des accroissements égaux à ceux des coordonnées du point. (j^,, lesqu< U accroissements nous désignons par A x^ et Ay^ ;

•i°. Une rotation par laquelle la droite G^Gi (fig. 26) décriraitautourdeG^un angle(|/^; parconséquéntle point Gi décrirait l'arc (ii G', =.Go(ii.^Oî «l'où Ton peut conclure les variations des coordonnées de Gt dues à cette rotation : pourxj une diminution Gi Q qu'on détermine par la pro-

portion TT-TTr = rrrr-f ^ OU II, il, tiplii

et pour y, un accroissement

Ainsi la translation et la rotation simultanées de la se< lion faite en G^enti'atne, dans les coordonnées de Gi, la réunion des très-petites variations que nous venons d'indiquer, savoir : pour Tabicisse ^i raccroisscment positif ou négatif

et pour l'ordonnée yi T accroissement positif ou négatif

(83) Maintenant si , de toutes les tranches infiniment petites comprises entre G^ et Gi , une seule passant par G dont les coordonnées sont xetj s'était déformée en vertu des forces qui agissent entre G et L, voyons quelles seraient les altérations infiniment petites des coordonnées x^ et j', qui en résulteraient. La longueur d.v de celle tranche serait aug-

mentee de /d5 = -p — et par conséquent les projections dx

ctdyded^ sur les axes Ox, Oy seraient n»sjxîctiveraciii

, , Ndx , Ndr augmentées de —r. — et de ^^ • f augmentations qui en produiraient deux égales pour les coordonnées Xi et yj. Do plus, à cause de la rotation ou du déplacement angulaire relatif d^p, ces mêmes coordonnées subiraient, comme on vient de le voir pour ^p^, les variations — ^^(yi — j) cl d^(j^i — x) qui d'après la valeur trouvée (88) pour d^ sont égales respectivement à

Aiqsi rallongement de la fibre élémentaire d5 et l'altération de l'angle des deux sections normales successives produiraient pour l'abscisse Xi l'accroissement

lYdx . \ f*ds

et pour l'ordonnée j^i l'accroissement /Vdr t \ /^d5

quantités qu'il faut intégrer depuis G^ jusqu'à Gi pour avoir les variations totales de x^ et de y^ dues aux déformations produites dans cet intervalle par les forces P.

Enfin une autre altération des coordonnées j;, et j^, peut provenir de la variation de la température, tandis que les

(84) forces exiélieures P sont supposées rester les mêmes. En désignant par t un coefficient de dilatation linéaire, proportionnel à la variation de température, et en remarquant que le corps ne subit dans son ensemble qu'un faible déplacement, on voit qu'il suffit pour tenir compte des efl'els de la chaleur, d'écrire que les projections x^ — x^^ elj^i — y^ sont augmentées àer [Xy — x^) et de t [y^ — yo).

En réunissant aux efl'ets des déplacements de la section normale en Go ceux du changement de température et ceux que produisent les déformations de toutes les tranches depuis le point (î'o^/o) jusqu'au point (t, ^yx) , on obtient les deux formules suivantes {*) :

Ax, = Ajra — ^oCXi— ro)-+-7(^i— ^-o) j

A la rigueur, pour calculer ]V et [i variables avec x et y y il faudrait avoir égard à la figure du solide après sa déformation^ mais attendu que celle-ci est toujours très-faible, on peut, sans erreur notable , supposer aux points d'application des forces les positions qu'ils auraient si le corps

{*) Ces formules ont été données pour la première fois par M. Bresse, professeur k l'École des Ponts et Chaussées ^ qui y a introduit les effets de la chaleur et de l'allongement de la fibre moyenne, que j'avais négligés dans les équations analogues de mes Leçons faite» dès 1842 sur le même sujet à la même École. Mon savant successeur a obtenu les formules [»] et [2] comme des conséquences d'une théorie qui, s'appliquant aux déformations quelconques et comprenant comme cas particulier celui de la flexion sans torsion , est nécessairement beaucoup moins simple que celle qui précède.

Sauf la rédaction y j'emprunte à M. Bresse les exemples traités dans le» quatre articles suivants.

( 85 ) conservait sa tigure primilive pourvu qu'on <|tlribue aux forces les valeurs données ou inconnues qu elles ont après la déformation. C'est ce qu'on va comprendre par les exemples qui suivent.

90. Recherche des réactions des appuis et des inclinaisons initiales. !•' Cas. Pièce non symétrique reposant simple^ ment sur deux appuis Gq et L (fig. 27). Prenons l'axe des X parallèle à G© L. Désignons par Q et 5 et par Q' et *$' les composantes rectangulaires des réactions des appuis auxquelles nous supposons les directions qu'indique la figure. Soi t Go L = « , soit a l'angle que fait la ligne moyenne au point (.r, y) avec Taxe Ox, et appelons P T.une quelconque des forces extérieures indépendantes des appuis.

La statique donne les trois équations

Q'Q-l-2P,=o, 5'-i-5— 2Py=o, SOrv^P— *Sa=o.

Lorsque les forces P sont toutes verticales et la droite Go L horizontale, les forces QelQ* sont égales et opposées -, lorsque les sommes des moments des forces P autour de Gq et autour de L sont égales , les forces S et 5' sont égales ,

chacune, à -ZP.. Dans tous les cas il reste au moiiis ^ 2 '

une inconnue. Pour avoir une quatrième équation , il £aut

écrire que G^L est invariable, et qu'ainsi le point L étant

pris pour celui dont les coordonnées ont été précédem-^

ment désignées par Xi ely^ , les forces doivent être telles ,

qu'on ait Aj:i = o, comme on a Ajro = o et A/o = o. L'é^

quation [i] dun" 89, où Ton fait de plus y^ — y = et

Xi — x^ = a 5 se réduit à

équation qui ne renferme en réalité d'autre inconnue que Q-. Pour mettre celle-ci en évidence , réservons k N ci [jl Icxxv

(86) signification pour les forces P et *S, c*est-à-dire pour toutes les forces extérieures autres que Q \ il suffira d'ajouter à N le terme — Q cos a et à /yi le terme Q [j^ — y) , de sorte que l'équation devient

^ r^VN&x , .p.d*1

~^' l l En ^ e J-^'

d'où Ton tirera la valeur de Q.

Connaissant ainsi toutes les forces exlérieui^s , on peut appliquer pour une section quelconque les formules du n" 86 dont le n° 87 a indiqué Temploî, et se servir de la formule finale du n® 88 pour calculer la variation de l'angle des deux sections extrêmes.

Mais si Ton veut connaître la déformation de la ligne moyenne GqGL ou le déplacement d'un quelconque Gi de ses points, il faut d'abord obtenir le déplacement angulaire ^^ que les forces ont produit à l'origine G^^ , en supposant que la pièce soit simplement posée en ce point, ce qui est l'hypothèse du cas actuel. A cet effet il suffit d'écrire que pour le point L la variation ^j est nulle ; ainsi en faisant dans l'équation [2] du n° 89, Aj^, = et ji =j<^05 ^^ ®° P^^ nant pour plus de simplicité l'origine O de manière que l'on ait 0:^ = 0, et par suite 0:1 = «?, on a pour délerminer ^^ l'équation

dans laquelle iV et /ix variables comprennent toutes les forces extérieures et par conséquent les termes dus aux forces Q et S tant comme projections que comme moments^ c'est ce

( 87 ) qu'on peut indiquer ainsi :

A"=2P(0S (P, As) — sina — Q vos ce

(pQ étant connu, toutes les quantités des seconds meoibies des équations [i] et [2] du n° 89 (dans lesquelles N et a sont les mêmes fonctions qui viennent d'être formulées) sont calculables au moins par approximation, et Ton peut trouver les changements des coordonnées d'un point quelconque de la ligne moyenne.

91. 2« Cas. Pièce symétrique et symétriquement chargce reposant simplement sur deux appuis. Ce cas est compris dans le précédent, mais les calculs se simplifient. Prenons l'origine au sommet G,, [fig^ 28). On a d'abord 5=2Py, cette somme ne s'étendant qu'au demi-arc G^>L. Pour trouver Q on fait dans l'équation [i] du n° 89, j'j = AL = a, yj = AG<,=/, jr<j = o, Ax« = o, /^x\ = o^ ce qui donne en mettant en évidence les termes où entre Q et conservant k N et fx leur significrtion pour les autres^ forces P et 5,

d'où l'on tirera Q.

4$ et Q étant connues et ^^ étant nul à cause de la symétrie, la détermination des diverses valeurs de |u, des tensions ci des changements subis par les coordonnées des divers points de la courbe moyenne (y compris le point L dont l'ordonnée/relative à l'axe Go x change par l'clletdes forces) ,.

(88) s'achève comme précédemment au moyen des équations [i] et [ a] du n^ 89.

92. 3« Cas. Pièce reposant simplement sur deux appuis de nis^eau G^ et L, dont le second L ne peut exercer qiiune réaction verticale. En d'autres termes, l'arc repose en L sur un plan horizontal sans frottement. La figure et les notations étant les mêmes qu'au i®^ cas, la force Q est nulle et les réactions des appuis sont déterminées par les équations d'équilibre

Q'-l-2P, = o, 5-4-5'— 2Py = o et S^ïIg.P— 5a = o.

Les deux équations [i] et [ a ] du n° 89 s'appliquent d'abord •à la courbe entière en y faisant Aa:g = o, A^^ = o,j et Aj^i = o ; il n'y reste plus que deux inconnues ^p^ et Axj . Les calculs s'achèvent comme dans le premier cas.

93. 4« Cas. Pièce encastrée à ses deux extrémités. Sî cette pièce n'est pas symétrique, il faut considérer les réactions des deux appuis. Les forces extérieures provenant de l'appui L peuvent toujours se réduire à deux forces 5 et Q rectangulaires [fig* 27) , et à un couple dont le moment est également inconnu. Désignons-le par /Ji, et prenons-le positif s'il tend à produire une rotation dans le sens qui va de Ox vers Oy. Les forces extérieures qui proviennent de l'appui G^^ se réduisent de même à deux forces *S' et Q', et à un couple [i^ que nous supposerons delsens contraire à celui du premier. Entre ces six inconnues la statique nous fournit trois équa-* tions

5'+5— 2Py = o, Q'— Q-h2P,= o,

SOU^^P— 5a-f-/xi — |uio = o.

Pour en obtenir trois autres , nous écrirons : i** que le déplacement angulaire relatif des deux normales extrêmes est

(89) nul. et que par conséquent Téqu a tio a du u'^ 88 donne, en mettant en évidence les inconnues,

I [ids—S I (a—x)dsQI (yo-^jds+fXj / dj=05 G, •/G„ Jg. Jg,

2° que la variation Axi supposée celle du point L est nulle aussi bien que Axq et (|/o-, qu'ainsi l'équation [i] du n° 89 donne

^/•^fsinada; (n— r) («— ^) di"!

3° que la variation A^i appliquée au même point est aussi nulle, et qu'ainsi l'équation [ 2] du n" 89 donne

— n r'T cosadj [a — x) {y,— y) As ' ., /•'-rsinadr (a— xj'dsl

r^ia — x

Ainsi la détermination des inconnues 5, Q et (ii s'obtient parle calcul d'un certain nombre d'intégrales définies dopendantes des données, et par la résolution de trois équa-

lions du i^'** degré. Cette dctermiaalion faite, les cjuesiioiis s'achèvent comme au i*^*^ cas.

Si la pièce était symétrique et symétriquement chargée, les calculs se simplifieraient comme au a^cas.

§ XI. Résistance des vases cylindriques pressés uniformément.

94. Profil exactement circulaire. Tension suivant ce profil. Soient |0 et p' les rayons, Tun intérieur, l'autre extérieur, (F un vase cylindrique d'une longueur supposée trèsgrande. Soient p et p' les pressions constantes par mètre quarré, Tune intérieure , l'autre extérieure. Ces pressions sont produites par des gaz, et nous négligeons toutes les autres forces, poids propre du vase et du liquide qu'il peut contenir, réactions de ses appuis et de ses fonds circulaires.

Un plan quelconque passant par l'axe des cylindres concentriques coupe le vase suivant deux bandes dans lesquelles la tension ou la pression est uniformément répartie, parce que le vase restant cylindrique à cause de la symétrie des causes déforma trices , toutes les tranches normales dont il est composé ne subissent aucune flexion. De la formule

dun"88, d^ = ^- — 5 où il faut faire d^=o, il résulte

a = o : et de la formule H^^ -y > où il faut fai re a = o,

résulte T?' i= — tension constante indépendante de i^. La

résistance qu'une des moitiés du vase€xerce sur l'autre est exprimée pour un mètre de longueur parallèle à Taxe par 2(p' — p)^\ ^^ elle est égale et opposée à la résultante des pressions exercées normalement aux deux surfaces de l'autre demi -va se, résultante qui, d'après une propriété démontrée en hydrostatique , est 2 pp — 2 p' p'.

(9« ) On a donc

en observant que /J' est une tension proprement dite par unité de surface, si le second membre est poçilif etque par conséquent la pression intérieure p l'emporte sur l'autre. Dans le cas contraire , i?' quantité négative exprime une pression.

Si l'on représente par e l'épaisseur pf — p, Téquation devient

eli' = p(p-f')-ef'.

Ordinairement, et notamment lorsqu'il s'agit de chaudières à vapeur en tôle, la quanti lé p' est petite comparativement à jR', de sorte que l'équation peut se réduire à

La formule par laquelle l'ordonnance royale du 22 mai 1843 a fixé la moindre épaisseur des chaudières à vapeur, dans le cas où la plus grande pression est à l'intérieur, est

e = o,ooi8//rf-ho'",oo3,

n étant la différence des pressions exprimées, en atmosphères, et d le diamètre intérieur rapporté au mètre. Le terme o"',oo3 a été ajouté afin de pourvoir à l'usure de lachaudière, et le coefficient 0,0018 a été déterminé en adoptant pour B^ le maximum aSSoooo, à peu près moitié de celui qu'on aurait pu admettre si la paroi d'une chaudière ne présentait pas une réduction considérable de résistance à l'endroit où les feuilles de tôle qui la composent sont assemblées et si elle n'était pas tendue en tous sens.

Quant aux chaudières ou tuyaux à vapeur pressés du dehors en dedans , l'ordonnance de i843 porte que Ton emploiera pour leur construction une tôle d'une plus grande

épaisseur, et qu41s seront en outre munis d'armatures. Une instruction ministérielle du 17 décembre 1848 exige que, dans ce cas, Tépaisseur de la tôle soit une fois et demie celle qui résulte de la formule précédente, et elle indique comme le meilleur mode d'armature à essayer, Temploi d* anneaux en fer forgé concentriques au tuyau à renforcer. Nous verrons tout à Theure la raison de cette différence de prescription,

95. Tension suivant la longueur du cylindre. Si Ton partage le vase en deux parties par un plan perpendiculaire aux génératrices rectilignes , la tension par unité de surface dans le sens longitudinal étant représentée par R^\ et l'épaisseur e étant très-petite comparativement au rayon p, on voit que la tension totale entre les deux parties considérées est très-approximativement aTipe/f'', D'une autre part, la résultante des pressions qui s'exercent intérieurement et extérieurement sur l'un des fonds du vase, quel que soit son bombement , est Trp* (p — p'). On a donc pour l'équilibre

2 7rpe/f"=7r|0*(p^p'), d^où /?''= ÊlLZfl! ^1a'.

Le danger d'une rupture est donc bien moindre suivant une section droite que suivant une génératrice rectilîgne.

96. Cas d'un profil faiblement elliptique. Recherche du moment fléchissant. Considéions une portion du vase cylindrique comprise entre deux sections droites dont la distance perpendiculaire au plan de la figure soit égale à l'unité de longueur. Soit AoBq AiBi (/ig. ig) la fibre moyenne ellîplique de la pièce courbe ainsi séparée du vase entier. Chacun des plans projetés en Ao Ai et en BoBi diamètres prin- <ipaux, partage cette pièce en deux parties symétriques quant à la figure et quant aux forces, d'où il suit que les

(93) résultantes des forces que l'une des parties exerce sur Tauire, et qui traversont les sections faites normalement à la libre moyenne en Ao et A,, en B© et en Bt sont, par suite nécessaire de cette symétrie, perpendiculaires à ces sections, puisque les réactions qui leur correspondent doivent à la fois leur être opposées, et symétriques* relativement à ces mêmes sections.

Cela posé, considérons la partie du solide en équilibre dont la fibre moyenne est l'arc BoAi. Si nous faisons OA, = a suivant l'axe des x , et OBo = b suivant l'axe des j^, et si nous représentons par p la différence constante entre la pression intérieure et la pression extérieure, la résultante des forces élastiques que la partie indiquée reçoit de U parlie AiBi est dans le sens des y négatifs et égale à pa. Quel que soit son point de passage dans le plan OAi à une distance i à gauche du point Aj, appelons jut^ son moment autour de l'axe projeté en Aj \ ainsi pa (î==fji,.

Pour trouver cette quantité inconnue, il nous suflSt de

faire usage de l'équation ^i — ^|>o = / - — ( n° 88)

marquant que si les limites de l'intégrale sont les points Bo et Al, celte intégrale définie est nulk, puisque l'angle BoOA, est droit aussi bien après qu'avant la déformation de l'ellipse.

Calculons la variable |u pour un point G quelconque dont les coordonnées sont x et y. Elle se compose de la somme des moments des pressions élémentaires qui agissent de G en A, et du moment de la réaction pa dont nous venons de parler. La première somme est égale à celle des moments des pressions qui s'exerceraient à raison de p par mètre sur les deux plans GH et HA^ celte première somme

est donc py.--|-p(a — x) — ; — 5 le sens positif des

en re-

moments étant comme à l'ordinaire celui de la rotation de Taxe Ox vers Taxe Oy. Le moment de la réaction pu

est — prt(a — X — â) ou — pa (a— a:) -h fx,.

En ajoutant et réduisant, nous trouvons

D'ailleurs l'équation de l'ellipse est

on en conclut

Substituons dans Téquation f^ds = o : nous obtenons, en appelant L la longueur 60 Ai ,

fx^ds^ moment d'inertie de Tare Bo Ai autour de l'axe OB, diil%re très-peu de ce qu'il serait si BoAj était un quart de circonférence ayant a pour rayon. Dans ce cas, on a

Cx^ds=:^U Çx^As-+- fj'ds\=z^ Ca'ds = ^a'L,

Il en résulte

Par suite, on a pour le. moment fléchissant a autour du point quelconque G,

Cette quantité croît algébriquement avec x depuis le

point Bo où elle est négative et égale à — ^-p («' — i-) , jusqu'au point Aj où elle est positive et de même valeur absolue , en passant par zéro au point où .r = — ^ tout près du milieu de Tare B© Aj.

97. Tensions parallèlement à la fibre moyenne. Cherchons en général la pression li en un point situé dans la section normale au point quelconque G par la formule [4j du n" 19, savoir :

Il faut y faire : 'il= e Tépaisseur, attendu que l'autre dimension de la section normale est i ; /= — e*: N une

quantité très-peu variable, entre pa au point Ai et pA au point Bo, ^ Ib. distance, à la fibre moyenne, du point où l'on considère la pression R dans la section normale de la pièce courbe. Par conséquent, pour avoir la plus grande

valeur /f' de la tension , nous faisons f^ =: e , en reni-

plaçant R par — /f '. Nous avons ainsi , pour la tension par

unité de surface près de Ai,

e 9. e^ e \ i ae ) ^ .1

Cette formule, qui coïncide avec celle du n*^ 94 dans le cas où la section droite du vase est exactement circulaiie, a été donnée par M. Bresse dans son Cours à l'École des Ponts et Chaussées.

11 importe de remarquer que a elb sont les dimensions supposées existantes sous Faction des forces déformatrices,

(96) ce qui iiionlre rulilittJ de la recherche supplémentaire suivante.

98. Déformation du profil elliptique. Supposant que la pression p soit du dehors en dedans, nous cherchons la variation que subit le demi-diamètre principal dontla valeur initiale sera représentée par «o? sa valeur finale restant désignée par a. Nous employons pour cela la formule [i] du n® 89 que nous appliquerons à Tare Bq Ai et dans laquelle nous devons faire A ari = a — a^, Ax^ == o, (po = o, t = o ,

iV = — p ^ î valeur moyenne approximative , ft == e ,

enr^/rs— iE'e*,yi=o, et enfin |ui = jp ( ^ — Wa* — ax*),

le signe de l'expression [i] trouvée à la fin du n**96 devant être changé à cause du changement du sens de la pression p . Nous avons ainsi

Si la courbe Bo Ai était un cercle de rayon a , y as serait égal à aàx\ si le rayon était b^yds serait bdx] on ne fera

qu'une erreur peu sensible en posant yds = -[a-h h) dx,

de sorte qu'on a approximativement

f '(«'— 2x')yd5=-(a-f- A) P(a*— 2x*)djr

( 97 ) Il en résulte

,a.= l(»+>)Jî(2:^-.]. [3]

La variation analogue b — b^ s'obtient en remplaçant a par b , et vice versa :

Pour appliquer ces formules à un exemple, prenons une chaudière à foyer intérieur dont le diamètre moyen est de i"*, qui doit supporter du dehors en dedans une pression de 40000 kg. par m. q. ou environ 4 atmosphères, et dont l'épaisseur, qui dans le cas où la pression serait intérieure devrait être de o™,oi, a été portée à ©""jOiS. Nous ferons d'ailleurs E=2. 10*^. Nous admettrons que le diamètre moyen de i™ est celui qui a lieu sous l'action de la pression.

D'après ces données, on a

a-h6=i, a* — b*==a — b = 'xa — 1 = 1 — afc,

P ' 7.Ee' 3,375'

et les équations [3] se réduisent à

Il ne reste plus qu'à se donner la valeur de l'une des dimensions initiales «05 *o- Soit, par exemple, ao= 0,507; ^^ '^ première équation, on tire en conséquence û=o™,5io; par suite , ft=i — o,5io= o"',490 : enfin la 2* équation , après la substitution de cette dernière valeur de i, donne b^=z 0,493. Ainsi les demi-diamètres, qui dans l'état primitif sont o"*,5o7 et o™,493> deviennent, par l'effet de la

(98) pression, o"*,5io eto"',490) valeurs qui, substituées dans la formule [2] du n** 91 avec les données précédemment indiquées, produisent

e \ 2.o,5i .o,oi5/

c'est-à-dire que cette pression est près de cinq fois plus grande que celle qui aurait lieu si le vase était rigoureusement cylindrique.

Appliquons la même théorie au cas oxxa-hb restant i"', la pression de 40000 kg. par m. q. serait intérieure et Tépaisseur de o",oi. Les équations [3] deviennent alors, eu égard au changement de signe de p ,

a* — o , 0000 5a — 0,5^0 = 0, i* — 0,0000 5b — o,5ij, = o,

et en faisant comme tout à Theure 0^ = 0, 607 , on trouve a = Of 5o3 ^ A = o , 497 eibo = o, 49^ . Les demi -diamètres, qui dans l'état primitif sont comme dans le cas précédent 0,507 et 0,49^9 deviennent donc o,5o3 et 0,4975 de sorte que l'excentricité diminue. Ces dernières valeurs étant substituées dans Téquation [2], ainsi que les données p = 40 000 et e = 0,01 produisent

e \ 2.o,5o3.o,oi/ = 2012000 (i -H 1 ,79) = 5 61 3 5oo;

de sorte que, avec les mêmes dimensions primitives, la tension n'est ici augmentée par l'excentricité que dans le rapport de 2 , 79 à i .