Autre cas particulier du n" 42. «« = o, A = o, P=o

La formule [9] donne Q=i^pa et Téquation [i] devient

pour toute la courbe

fx = ^pa{a—x) [ja—xy [10]

fi se réduit à zéro par x=a et par x = 7 a , qui correspond

au point d'inflexion , ^

Le maximum de courbure entre le point d'inflexion et Textrémité simplement appuyée L s'obtient en égalant k aéro la dérivée de fx, savoir ;

— ja-r-x — a-Ha: = o; d'où ^==3^ et f' = 7^;^«*-

( 36 ) A partir de rextréinilé Mo jusqu'au point d'inflexioti, fx et la courbure diminuent 5 la plus grande valeur obtenue en faisant a: = o dans [10], est

et excède le maximum ci-dessus trouvé qui a Heu au delà du point d'inflexion.

Lorsque la pièce est simplement posée à ses deux extrémités (41 ) le maximum de [jl est également r^pà*] mais il a

lieu au milieu de la pièce.

Le point le plus bas de la courbe s'obtient en faisant dans

IVquatîon [S] f'(a,') =0 , «0 = 0? P, = 0, P,=: — ôP^'y

on supprime le facteur .r qui repond au point Mo', on a

x^ — -^ ax-hy a^=^o'^ d'où x=:o,^j8a.

En substituant cette valeur dans réquation [5], on trouve pour la flèche^

EIf^= 0,0067 P^ • ^'î

tandis que si la pièce est librement posée aux deux:

bouts (^l), on a ^ = ----=:o,oi3.

^ '' pa.a^ 384

46. Voici maintenant un cas qui n'est pas, comme les précédents, immédiatement compris dans le problème du n? 35, et dont la solution exige un complément de métbode.

Portion de prisme encastrée à ses extrémités (J^g* i4)* Cette portion dont la ligne moyenne fléchie est Mo Mj M, est assujettie à rester horizontale aux points de- niveau M^ et Ma , par des appuis qui à gauche de M© et à droite de M, n'exercent que des forces verticales, les unes ascendantes,

(37) les aulrcs descendantes. Au point Mi agit une foire verticale Pi, et dans la longueur a de Mo à M, s'exerce une charge pa uniformément répartie. On propose les mêmes questions qu^au u^ 35.

Concevons une section transversale faite très-près et à gauche du point M). La partie du solide qui reste au delà, à droite de cette section, exerce sur le solide MoMt, situé, à gauche , des forces qui se réduisent à un effort tranchant vertical Q et à uu couple également inconnu dont nous représentons le moment par ^s. De même la partie du solide située à gauche d'une section faite près et à droite du point Mq exerce sur la partie MoMs un effort tranchant Qo, et des forces longitudinales équivalentes à un couple — fXo. La statique ne nous donne que deux équations entre les quatri* inconnues Qo 9 Q? f^o et fXf, savoir :

Q-hQo = i^-l-/^« et [i^ — iio-^Pl^-^^pa^—Qa.

La théorie de l'élasticité doit fournir deux autres équations.

En imitant la marche suivie aux n°* 38 et 39 avec celle différence qu'on a égard au moment juis^ on a pour un point M de la courbe MoMi l'équation des moments ci-après cl ses conséquences obtenues par deux intégrations successives

6 P(x) = ^ p {a-xy^P (l,—x)—Q (a-x)^(x\ ^

iV(x) = lp{a^x-ax^-^^^^p{l,x^^)

-Q(ax-'pj-hlJi,x, i [ni

I fa'x^ ax^ x*\ -nlh^^ ^'\

(38) Pour un point de la courbe Mi Mt, on a de même, eu égard à la tangente commune,

if',{^)={p («*^— «•^*+f )+^*

Q(^a.r— Çj-H^x, I [12]

1 fa'x' ax' x*\

Les deux dernières équations doivent être vérifiées par x=a, f, (a)^:o et j' = Q. Ainsi

Pl\x

PV[

deux équations du i®' degré pour deux inconnues Q et /x*^ Ces quantités déterminées , leur substitution dans les équations [11] et [12] servira à trouver le moment fléchissant, Finclinaison et l'ordonnée en un point quelconque.

47. Cas particulier. Mêmes données et p =0. Pour sin»plifier les calculs, nous faisons abstraction du poids ou de la charge répartie. Les équations (i3) donnent alors

cl fi, :

__pl\[ct~l^

La première des équations [11] se réduit au i®** degré en x par p = 0'^ il s'ensuit que de Mo à Ml, le plus grand moment est à l'un de ces deux points. En faisant x = li dans

( 39 ) celte équalion et eu j subslituanl Ici râleurs précédentes de Q et de fit, on a le moment fléchissant en M,,

D'ailleurs, en remplaçant /« par /( et vice versd dins l'expression de ^, , on a celle de fx« en M, ,

Pl,l] Donc les trois moments f/«, ^u /x^ sont entre eux comme

48. Cas plus particulier : /) = o et li = -a, Ona^ en appelantyia flèche ,

H.= ,*.=p. = ii>a, Q = iP et W=±i>(?)';

tandis que si la pièce était simplement posée (34) , on aurait

Entre Me et Mj est un point d'inflexion où a = o et :r =2 a^

49. Autre cas particulier. Mêmes hypothèses qu'au u" 4& <»t P = o. Les équations [i 3] donnent

Q=^-pa et ii, = ^pa\

La première équalion [11] devient

On en conclut qu^au milieu de la pièce, on a

C'est doue aux points Mo et Mj qu'a lieu la plus grande valeur absolue du moment fléchissant.

Entre chaque extrémité et le milieu , il y a une inflexion qu'on obtient en faisant |ut = 5 d'où

En faisant j:=-a, P=:o, Q=- Pa et fXj = — pa^ dans

la troisième équation [ii], on a pour la flèche /la relation

qu'on trouverait si la pièce était simplement posée (34).

50. Remarque. Bien que dans les questions précédentes nous n'ayons supposé qu'une force distincte intermédiaire P ou Pi , on comprend que la méthode indiquée s'appliquerait sans difficulté avec des calculs plus étendus , à un nombre quelconque de forces transversales. Mais nous allons généraliser la question en supposant que le solide, dont la fibre moyenne est naturellement droite, est formée de parties prismatiques dans lesquelles la quantité El oa s est constante pour chacune de ces parties, mais variable de l'une à l'autre, et en supposant en outre que ces parties supportent des charges réparties dont l'intensité par unité de longueur est variable d'une partie à l'autre*, quoique constante pour chacune d'elles.

§ YI. Flexion plane d'un solide composé de parties nalurellement prismatiques , mais de sections droites différentes , sous l'action de forces transversales.

51. Questions à résoudre. Soit {Jig, i5) MQMi...Mn la fibre moyenne d'une portion du solide, fléclile sous Tactioii de forces qu'on peut, pour fixer les idées, supposer toutes verticales, mais d'ailleurs descendantes ou ascendantes. Dans chacun des ^i intervalles Mo M^ , MiM,,...]VIn.iMn dont les longueurs sont hth'r'^hy ce solide est prismatique, et le produit £*/ prend successivement les valeurs Sj , Cj,... e„. Aux points Mi , Mj ,. .. M^^i s'exercent les forces PjjPj,.,. P„.i. Dans les n intervalles MoMj, MiM^,... Mn i Mn, agissent des forces uniformément réparties, ayant . les valeurs pili,Piliy*Pn h' Au delà du point M„ agissent des forces verticales Q , Q'v • > d'où il résulte que la partie du solide située à gauche (eu égard à la position de la figure) d'une section transversale passant par le point M„ reçoit, des molécules voisines appartenant à la partie située à droite, des forces élastiques qui sont équivalentes : i° à un effort tranchant /'n égal a la résultante de translation des forces Q, Q',... transportée dans cette section, et 2° à un couple dont le moment fjt„ est égal à la somme des moments des mêmes forces Q, Q',... autour de l'axe projeté en Ma. Réciproquement la partie du solide située à droite du point Mn reçoit des molécules voisines qui appartiennent à la partie située à gauche ^ des forces élastiques qui se réduisent à un effort tranchant — Fn égal et opposé à jP„ et à un couple dont le moment — fjt„ est égal et opposé de sens à /:ji„. De même sur la partie située â gauche de M© agissent des forces Qo ? Q^o v- • en équilibre avec les forces élastiques exercées par la partie située à droite, lesquelles se réduisent 1

1° à un eflbrt tranchant F^ égal à la résultante de translation de toutes les forces extérieures qui agissent depuis M, jusqu'à l'extrémité L, et 2° à un couple dont le moment p, est égal à la somme des moments des mêmes forces autour de l'axe projeté en M^ \ et réciproquement la partie du solide située à droite du point M^ subit, de la part de celle qui est à gauche, des forces élastiques qui équivalent à un effort tranchant — F^ et à un couple dont, le moment est — |Hq.

Eu général M étant un point quelconque de la fibre moyenne, il s'exerce entre les molécules voisines, adroite et à gauche d'un plan transversal passant par ce point, des forces mutuelles égales et opposées : la partie située à gauche reçoit de celle qui est à droite des forces réductibles à un effort tranchant que nous désignons par /^ et à un couple dont le moment, appelé moment fléchissant, est désigné par II, Nous choisissons pour le sens positif de F le sens descendant qui est aussi celui des forces Pi P^,,, pxpf,.,\\e sens positif du moment [i est de droite à gauche par en bas. La partie située à droite du plan transversal en M reçoit de l'autre des forces équivalentes à un effort tranchant — Fel à un couple dont le moment est — f/.

Cela posé, nous allons rechercher les relations qui lient les diverses quantités qu'il peut être utilede considérer dans le solide depuis le point M^ jusqu'au point IMp , savoir ; les longueurs /j , /g ,... , les quantités e^ , Sj^,... , les forces extérieures Pi , Pj,...^i ,p2 ... , les efforts tranchants, les moments fléchissants, les inclinaisons de la fibre moyenne, et les coordonnées de vses différents points.

52. Efforts tranchants. Si le point M est supposé entre M^ et M, ^ et si l'on désigne par x la distance M^M, en considérant la parlie du solide comprise entre les deux plans Uansyersaux passant par M et Mn , on voit que les forces

(43) extérieures sous Tactiou desquelles celle parlie est en équilibre sonl : les deux couples extrêmes dont les momenis sont — fx et /:z„ , el les forces parallèles — F, P, , P, , Pg 5 • • • ? Pn^i î ^n î Pi (^i — x) jPih-iPz h"' Pn K' L'une des équations d'équilibre consiste en ce que la somme algébrique de ces forces parallèles est nulle. 11 serait très-facile d'obtenir une équation analogue pour le cas où le point M serait dans un autre intervalle.

Si à droite et à gauche du point M on imagine deux plans transversaux infiniment voisins, les efforts tranchants que subit la tranche infiniment mince qu'ils comprennent, de la part des deux autres parties du solide, sont égaux et de sens contraires, parce qu'auprès de ces forces finies disparaît la force infiniment petite due à la charge répartie d'une manière continue*, mais il n'en est pas de même d'une tranche comprise entre deux plans voisins du point M,, l'un à droite, l'autre à gauche. Outre Tetlort tranchant F^ du côté droit et l'effort tranchant — F\ du côté gauche , la tranche subit encore la force Pj 5 il faut donc pour l'équilibre qu'on ait l'équation

Cela entendu, cherchons les relations qui existent entre les efforts tranchants extrêmes Fq et Fn , et les efforts tranchants Fi^Fij,,, F„^i qui ont lieu à droite des points M 1 , M„...M„,.

La partie du solide comprise entre un plan passant en Mo. ou Irès-près de M^ , et un plan très-près et à droite de Mj, est en équilibre sous l'action de forces extérieures qui se réduisent aux deux couples — (Ze et [Xi et aux forces verlî^ cales — Fo^Fi ,pJi et Pj. On a donc

F,^pJ,^P, — F^=.o,

d'où

On a de même pour les intervalles suivants , en augmentant successivement les indices d'une unité ;

Fn^l Fn =Pn L^

n équalions entre les n + i efforts tranchants au delà et près des poin ts Mo , Mj , M» ,. • • M„.

Quant à l'effort tranchant i^au point M entre Mo vl Mj, on trouve par la considération de l'équilibre de la partie comprise entre M et le plan transversal situé près et au delà de Mo , en appelant x la distance Mo M, Tcquatlon

F=Fo--px,

formule applicable aux autres intervalles eu augmentant les indices et appelant toujours x la distance du point considéré à l'extrémité gauche de l'iutervalle où il se trouve.

53. Moments fléchissants. Soient désignés par Uo, (lit /^29 • • M f^n7 les moments fléchissants qui correspondent aux points Mo , Ml , M, , ... 5 M„.

Considéroils, comme ci-dessus, la portion de solide fléchi comprise entre uu plan transversal passant en Mq ou près de Mo et un plan passant en Mi ou très-près de Mi , et posons Téquation des moments autour de Taxe projeté en Mi de toutes les forces extérieures précédemment énumérées , en remarquant : i° que, quel que soit l'axe perpendiculaire au plan de flexion , les roupies ont toujours les mêmes

( 45 ), moments 5 2^ que la résultante des forces dont ïa somme est pi II passe au milieu de Mo Mj ^ 3° que les moments des forces jFi et Pi sont nuls autour de Mi.

Cette équation est

d'où

On a de même pour les intervalles suivants r

p.„l —l»-n = Fn^i In — -Pn '*,

n équations entre les /i -f- i moments fléchissants qui correspondent aux points Mq , Mi , Mt , . . . , M^.

jUL étant le moment fléchissant qui correspond à un point quelconque M , supposons ce point entre Mo et Mj 5 posons MoM = x, et faisons pour la portion de prisme comprise entre M© et M, ce que nous avons fait pour la portion Mo Ml, en prenant les moments autour de l'axe projeté en M des forces quiJa sollicitent , nous avons ainsi

^k — Uo-f-Fo^ piX^= o.

fz étant calculé d'après cette équation pour la section passant par M, on aura la pression /?, au point de celte section

(46) dont la distance à Taxe M est i^, par la formule [8] du 11° 27.

54. Inclinaisons de la fibre moyenne sur l'axe Ox. Remplaçons jut par sa valeur EH" [x) que nous représentons par fil {" (a:), en supposant, comme nous l'avons dît, que le produit ei soit constant dans Tintervalle Mo Mf Multiplions l'équation [5] par àx et intégrons depuis x = o jusqu'à x quelconque, mais moindre que l^. Nous obtenons en appelant «0 la tangente de l'angle que fait avec Ox la fibre moyenne en M© ,

£,[f'(jc) — û'oj^f^.ox— FoÇ-f-;;,|'. [6]

Il est clair que l'on aurait une équation pareille pour un point situé dans l'un quelconque des intervalles Mj M^ , M, Mj , . . . , Mn i Mn, l'inclinaison f ' (x) dépendant de celle qui a lieu à l'extrémité gauche de cet intervalle.

Soient «i , «s , as ,• • • 9 l^s inclinaisons correspondantes

aux points Mj , M, , Mj En faisant, dans l'équation [6],

X = /i , nous aurons

ai — ûo = ^ (f^o/i — ^^o/f-l-g/^, /îj^

et de même pour les intervalles suivants en augmentant successivement les indices d'une unité,

«t— «1 = \^ Ui '«— ; ^i ^t-+- ^/^« f\\^

n équations entre les ^4- i inclinaisons ««, a

55. Ordonnées de la fibre moyenne. Multiplions l'équation [6] par dx et intégrons depuis .r = o jusqu'à x quelconque moindre que /i. Nous obtenons en remplaçant {(x) jfury et appelant j-^, l'ordonnée de Mo,

«t (r—Jo)=^s,ctoX-h^ii;X^~'^F,x'-h-^p,x'. [8 ]

On aurait une équation pareille pour un point situé dans Tun quelconque des intervalles Mj M,, M, M3,..., M„i M„-, de sorte que l'ordonnée y dépend de celle qui a Heu à la première extrémité de cet intervalle.

Soient )^i ^ j,,. .., t^», les ordonnées des points M,, M,,..., M„. Eu faisant a: = A dans l'équation [8], on a

et de même pour les intervalles suivants, en augmentant successivement les indices d'une unité,

r„— J„-,= Or„, I„-h ^^ [In^i fl — g F„.i 1'^^Pn i'n) ' |

On a ainsi n équations entre les /i-h-i ordonnéesj^^, /,,

56. Récapitulation des formules précédentes. Les équations de [2] à [9] renferment 8/z-f-8 quantités dont les unes peuvent être connues et les autres inconnues, savoir :

«-{-1 longueurs 'i> '«*••>'„» *>

H produits El «i> €»>•••» «„»

n — \ forces distinctes intermédiaires. P^, P„ . . , , P , n valeurs des forces réparties. ... p^^ ^7,, . . . , ^ ,

n + ti efforts tranchants aux points M„, \

M„ et M , et au delà des points | f;, f,, F„ • • , Z^^, F, / n-f-i équations [2] et [3,

n H- -2 moments fléchissants ."o>/*i>/*i»' • •jMb»^^» I "-*-* * [4]ct[^i»

11-4-2 inclinaisons «0» "'i» "s>- • •> oc^j, a, ] n-4-1 » [6]®^[7>

n-t- 2 ordonnées .^'«jX,,/,, »^»»-^»/ "-+-1 » M^^^lO]-

8/1 + 8 quantités. 4'* + 4 équations.

Ainsi lorsque 4^-1-4 <le ces quanlilés seront données, on pourra en général calculer les 4 'H- 4 autres.

Nous allons indiquer l'application de ces généralités à quelques cas spéciaux.

57. !•' Cas. Solide assujetti en un point Mo à une inclinaison donnée «0) ^t sollicité depuis Mo exclusiifement jusqu'à r extrémité L, par des forces données Pi , Pj , . . . ,

Les données sont ici : n-\-i longueurs l^ h^» .'^ In^ x ] les n quantités e^ , e^ , . . . , e„ ; w forces Pi , Pj , . . . , P„i , F„ ; n charges par mètre pi , /^s 9 • • • ? /'^ i ^^^ ordonnée y^ 5 une inclinaison «0 et le moment final fx„=:o.

Les équations [2] du n" 52 donneront les n efforts tranchants jPo , ^n • • • 5 f^n-i 5

Les équations [4], les n moments fléchissants |Uq,

Les équations [7], les n inclinaisons «i , «s , . • • > <^/ô Les équations [9], les n ordonnées j^i ,^3 v •• ^jKn- Enfin les équations [3], [5], [6] et [8] donneront les

quantités F^ p, a et j répondant à une abscisse x prise à

volonté dans l'un des intervalles.

58. 2* Ca». Solide assujetti en un point M^ (Jîg. i6) A une inclinaison donnée ol^ , appuyé de là à son extrémité L en un cettain nombre de points dont les ordonnées sont connues j et les réactions verticales, mais inconnues. Entre les appuis le solide est sollicité par des forces distinctes données , telles que P| , PfyP^^Pi^...y et dans les intervalles M^ Mi , Mi M, , M, M» , . . . , des points d'application des forces connues ou des réactions inconnues, agissent les forces réparties pih^ p^lf

Ce cas diffère du précédent en ce qu'il y a un certain nombre des forces P qui sont inconnues , mais remplacées dans les données par les ordonnées de leurs points d'application. On a donc encore pour trouver les 4^2 + 4 inconnues, 4'^"H4 équations du i®*" degré. Le reste comme au premier cas.

59. 3« Cas. Solide assujetti en deux points donnés Mo,M„3 à des inclinaisons connues ao et cc„ , et sollicité d'ailleurs par des forces données jPi , i^s , . • • ^n-i , A^i 'u ;>t 'î v •Pn'n'

Là différence entre ce cas et le premier est que la force F„ et le moment fA« sont inconnus et remplacés comme quantités données par l'inclinai son a„ et l'ordonnée y„.

Les équations [a], [4]î[7] ^t [9] suffisent donc pour déterminer ces inconnues. Les équations [2] donneraient les inconnues F« , Fi ,... -F„i en fonction de iP„. Par suite les équations [4] donneraient les moments inconnus [i^^ Piî'»» fA»-i en fonctions de F„ et defx,,. Les équations [7] procureraient donc en d'autres fonctions de ces inconnues les inclinaisons «i , o^s ,. •• ^n~i 6t une équation du i^^ degré entre a„ connue et les inconnues F^ et fx». Enfin la substitution des expressions obtenues dans les équations [9] et Télimination, par addition, des ordonnées inconnues /j , /iv^J^n-i produiraient une seconde équation du i*** degré ciJitrc les mêmes inconnues. Celles-ci étant calrulées, on se

retrouverail dans le i*^*" cas , avec celte seule différence que u„ ne serait pas nul, maïs connu.

60. 4« Cas. Solide simplement posé sur un nombre quelconque d'appuis soUicilé entre ces points par des forces distinctes Pi^P^^Pi,^.., et dans les intervalles soit entre ces forces, soit entre elles et les appuis^ par les forces p^l^ , ^?,/,... uniformément réparties.

Ce cas ne diffère du second qu^en ce qiie le momenl /Xp est nul et par conséquent donné, tandis que 1 inclinaison o^o est inconnue. Le nombre des inconnues reste donc le menu» et les questions qu'on. peut se proposer sont encore des problèmes détermiués du i" degré.

61 . Cas particulier du problème précédent. Solide exactement prismatique posé en un nombre n + i. de points de uiv^eau M^^, M, ,... M„, sur des: appuis qui n* exercent que des réactions verticales inconnues Qo^ Qtj -" Qn> ^^ chargé dans les intervalles /i,/j,... /„, de forces uniformément réparties /^i /i , pi /» ,. • • Pn^n*

Les généralités établies précédemment aux n*^* 52 à S(> sont ici applicables, et nous en conservons les notations, avec cette seule différence que les forces Pi , P, , . . . P„i qui toutes sont les réactions inconnues des appuis intermédiaires, sont remplacées avec changement de signe par Qi , Q« V Qn-i« Les données de ce cas, en y comprenait l'abscisse .r d'un point M dans une travée quelconque, sont, «-i- 1 longueurs A, /«,... /„,^r-, les n valeurs égales des; les n valeurs des charges par mètre ^i,p,,...^„; les n-h-i ordonnées j^o,yiv /n qui sont nulles; enfin les deux moments extrêmes /Xq, fX^ qui sont aussi nuls; en tout 4 «4-4 données, nombre nécessaire comme on l'a vu (56). Nous allons indiquer la marche convenable pour la détermination des inconnues.

(5i ) 62. Recherche des moments fléchissants fx^ , fjL, , . . . ^„.i. Celte recherche sera nécessairement fondée sur ce que les points d'appui sont de niveau et qu'en ces points les courbes consécutives sont tangentes. Sans supposer d'abord que ji^ soit nul , posons Téquation [ 5 ] du n° S3 ,

fjt— ;Xç-f-Fo.r piX*z=o [i]

qui devient par j? = /i et ]u^ = ]u^i la i*^^ équation du mcmc numéro

pt,— fXo4-F«7, — i^,/; = o.

De là 5 en éliminant F^ et en remplaçant fz par s (^ {x) , on conclut

^=eP(x)=^;7ia:»— ^i^,/^-f.fXo— fx,j^-hfXo; [2]

et par deux intégrations successives

En faisant dans ces deux dernières équations x = li^ et d'après l'énoncé j^ = o , on a

24 £«0= Pi'î— 9liix^— 4'l/^l-

On en déduit

2 4 e a j = — ;; , / f -h 4 /, fAo 4- 8 /, fz 1 .

Pour l'intervalle suivant Mi M9 on aura des équations toutes pareilles, qui s'obtiendront en augmentant tous les indicés d'une unité. L'avant-dernière équation sera doue remplacée

(5a) par cellc-ei :

a4 € «1 = /?,/J — 8 /, fXi — 4 /, fx,.

Éliminons a^ en égalant les deux expressions de ^4 6ai ; il viendra

4/jf*o4-8(/,4-/OPi+4'./^t=;?i/;-f-p,/;, [3J

relation très-simple (que M. Clapeyron a remarquée le premier) entre les moments fXe, fXi , juit sur trois appuis consécutifs.

Quel que soit le nombre n des intervalles ou travées, en augmentant successivement les indices d'une unité, on aura en tout n — i équations semblables à Téquation [3} comprise dans ce nombre. 11 suffira donc en général que deux des /i -f- 1 moments p© ? /J^i »• m Pn soient donnés (par exemple qu*on ait suivant l'énoncé fJto = o et fjt„=:o), pour qu'on puisse calculer les moments inconnus.

On peut en faisant diverses hypothèses sur le nombre n résoudre algébriquement les équations [3] et obtenir des formules qui donnent immédiatement les moments (Zj, (ut,,. . . en fonctions des ouvertures /i, /j,... ef des charges ^i,/?j,,... Mais il est plus simple et plus sûr dans chaque cas d'application de transformer l'équation [3] et ses analogues en équations numériques et d'en conclure les valeurs des rapports des moments au produit pP relatif à une travée.

Les moments sur les appuis étant calculés, la formule [2] qu'on appliquera à une travée quelconque en augmentant les indices d'un même nombre entier, donnera les valeurs des moments correspondants à divers points déterminés par leur abscisse x, c'est-à-dire par leur distance à l'origine de la travée, (i étant une fonction du second degré en x aura ses 'diâTërenoes secondes égales si on prend les points équidifttants.

63. Calcul des efforts tranchants. Connaissant les moments fx^, fXf, |x«,.**9 o^ calculera les efforts tranchants /'"'o, -fi, ^t,.«-î -^n-i par les formules [4] du n^ 53, puis l'effort tranchant F répondant à une distance x par la formule [3] du n° 52. On trouvera F positif, c'est-à-dire descendant lorsque la partie de gauche de la poutre se terminant au point M, tendra à soulever ou empêchera de descendre la partie de droite; jP deviendra négatif dans le cas contraire*, par exemple tout près du second appui M| où X = /i donnera jP= F^ — p^ /i, c'est précisément F\ suivant la signification de cette notation (52).

64. Calcul des réactions des appuis. Ces forces ascendantes étant désignées par Qo? Qu Qiv» Qn-i et Q„, la première est évidemment égale à jPo9 et les autres seront données par les formules [a j du n^ 52 devenues

Fn^,-pX=q^.

65. Autre cas particulier de l'énoncé du n^60; solide com> posé de deux parties prismatiques B^A, AB (fig* 17) posé sur trois appuis de niveau B', A, B, soumis à deux charges uniformément réparties sur AB et sur AB' et à deux forces distinctes P', P, aux points intermédiaires C, C. La déter^ mination des réactions Q et Q' des appuis B et B' pourrait se faire par la méthode générale indiquée au n^ (30, mais elle se ramène à la question du n® 35. En appelant «o Tînclinaison de la courbe moyenne en A au-dessous de l'hori-^ zontale AB, on a Téquation [7] du n^ 39 qui se simplifie

(56) sont en équilibre avec les réaclions Q et Q^ des appuis B et A. On aura Q en prenant les* moments autour de A , sa- \oîr:

Qa= f Ubzdz{h—z)— f nbz'àz'{fJ—z'),

donc

Q'=inMA'-A'«)-^n^(A'-A").

Le moment fléchissant jtji au point quelconque M s'obtient en considérant les forces qui agissent au-dessus de ce point. $oit X la distance au point C d'un point variable entre C et M ^ on a

^=zQ{a—h-hz)— Ç"^'Uxbàx{z—x)]

= Q(a— A-h^) — Jni^». \

Le maximum de ^^. entre C et C s'obtient en égalant à zéro la dérivée du second nombre :

o=Q— iniz», ou o = in-(A«— A'M— iniA

d'où

valeur qui n'est applicable à la question qu'autant qu'elle est plus petite que CC ou A — A'.

Cette condition étant vérifiée, on aura l'expression du plus grand moment fléchissant en substituant la dernière valeur de z dans la formule [i] ci-dessus.

Dans le cas contraire , il faut chercher le point de plus

(57) grande flexion entre A et G, Soit y la distance AM' d'un point quelconque de la courbe AG au point A. L'équilibre de la partie AM' sous Faction de la force Q' et des pressions d'amont et d'aval , donne

dont le maximum répond à

Q'n(A~A')Aj = 05 d'où •

formules applicables si y se trouve < A'.

§ VII. Détermination des dimensions du profil en travers d*une pièce chargée transversalement.

69. Condition déduite de la pression longitudinale. Lorsqu'on connaît le moment fléchissant fx qui répond à un point donné de la courbe moyenne, et la valeur iî'de la plus grande pression qui doit avoir lieu dans le plan normal correspondant, on a pour l'une des conditions auxquelles doit satisfaire le profil transversal l'équation (27)

et pour compléter la détermination , il faut adopter des données desquelles il résulte quç le profil cherché ne dépende que d'une inconnue.

Par exemple , si la section transversale du solide doit être un rectangle dont les côtés soient dans un rapport donné y en désignant ces côtés par c parallèle aux forces et è = /ic

(58) perpendiculaire au plan de flexion , on a

d'où Ton conclura c.

Si l'on se donnait le côté h du rectangle , on trouverait le

côte c par Téquation ^ic'JR' = fjt.

Si Ton suppose connu le côté c, on obtient Taire SI ou

bc du rectangle par l'équation'^ il cJ?'=fx, ce qui montre

l'avantage économique d'augmenter la dimension c parallèle aux forces transversales , puisque la section fî varie en raison inverse.

Cependant dans la pratique, s'il s'agit de poutres ou solives en bois, on fait rarement i<'- cet souvent 6= -c.

On peut aisément se rendre compte, à un certain point de vue, de la nécessité de ne pas faire descendre le rapport n au-dessous d'une certaine limite^ car il faut au moins que la pièce puisse supporter l'effort tranchant iPqui a lieu dans la section dont il s'agit, et par conséquent en appelant T la résistance par unité de surface au glissement transversal,, qu'on ne doit ou ne veut pas dépasser, il faut satisfaire à la condition

Mais une autre considération peut conduire à une limite plus petite, comme nous allons le voir.

70. Résistance au glissement longitudinal des fibres. Profil rectangnlaire. Considérons la pièce comme formée à droite

(59) de la section A! k" {Jig, 19) de couches infiniment petites A'^ A , B, B'', A 1 A« Bi Bj , . . . 5 dont les distances à la couche neutre MN sont désignées par i^', i^^, ^'«j • . . , couches ayant l'épaisseur di^, et la largeur b perpendiculaire au plan de la figure.

La portion de couche qui dans l'état primitif avait la longueur Ab et a actuellement la longueur AB est sollicitée à son extrémité A par une force Rbàv^ dirigée à droite

et égale à —-• idi^, le moment fléchissant jui étant égal à la

somme des moments autour de M des forces extérieures P qui s'exercent depuis M jusqu'au bout de la pièce. A l'extrémité B de la portion de couche AB la force que celle-ci exerce sur le reste de la pièce à droite, et, par conséquent , la réaction qu'elle en reçoit en sens contraire , est exprimée par la même formule, si ce n'est que jut devient /[x-l-dpi somme des moments autour de 1\ des forces P qui agissent depuis N jusqu'à l'extrémité de la pièce. Donc la résultante des forces longitudinales que la couche AB subit sur ses

deux bases est — d f/ • -r P'd ^^.

D'ailleurs si Ton appelle a la dislan<:e d'une quelconque des forces P à l'origine O , et x la distance MO , on a

aiLP=P(a — a:),

par conséquent^

^=2Pa — a:2P,

d'où

d^= — d,r2P=:— Fdor,

en appelant comme précédemment F l'effort tranchant correspondant au point M ou à l'abscisse x dont la différentielle àx est la longueur MN.

Donc la résultante longitudinale ci-dessus mentionnée

est exprimée par

La couche AB ne peut donc être maintenue en équilibre que parce qu'elle reçoit , des couches voisines , des forces qui s'opposent à son glissement et dont la résultante a la même valeur en sens contraire.

Ainsi la couche A'^ Ai Bi B'' est tirée à gauche par une

force Fdxji/^di^ qu'exerce la couche Aj A, B, Bj 5 celle-ci

est tirée du même côté par des forces dont la résultante est

i^dj:-^ t^id^' et dont l'une est la réaction égale et opposée à

la précédente*, par conséquent, la force dirigée à gauche et exercée sur la couche A|A, BfBi par la suivante

As A3 B3 Bj est égale à Fdx-j (t^M^'-f-P'id^'). En raisonnant

de même pour les couches successives , on voit que la force

opposée à leur glissement mutuel va en augmentant depuis

A'^B'^ jusqu'à MN où cette force acquiert la valeur

h r^" Fdxj i/di^ (*).

C'est ce qu'on trouve également en considérant Fensemble des couches comprises entre A"B'' et MN. La résultante des forces exercées sur les bases A'' M et B'^N est la somme

des forces analogues à la force Fdx-ji^di^ relative à la

b /**'" couche AB. Cette résulunte est donc Fdo;-;^ 1 i'd>';sa

{*) Cette formule a été démontrée d'une autre manière à l'École des Ponts et Chaussées par M. Bresse, qui a emprunté, comme il le dit, à un Mémoire de M. le colonel russe Jourawski Tidée d'avoir égard au glissement longitudinal des fibres. Ce Mémoire est inséré dans les Annales des Ponts et Chaussées, i856, 2^ semestre.

( 6i ) direction positive rsl à droite, par conséquent la résistance longitudinale que reçoit le solide A'^MNB'' de droite à gauche, de la part du solide A'MNB', a cette même valeur.

\^" étant remplacé par -c et / par — ic', on a ^^dv» = 5 c', et* la force opposée au glissement sur la sur-

face bàx projetée en MN se trouve égale à Fax— • -^

3 Fax , , , . ^

ou ; par conséquent, en désignant par o cette résistance au glissement longitudinal rapportée à Tunité de surface, tandis que Test la résistance par unité au glissement transversal, et en divisant la dernière expression par la surface ftdx, on a

0=-,— = 9 ou t3=:~/.

2 or 2 il 2

Ainsi la force S est d'une moitié en sus plus grande que Teffort tranchant rapporté à F uni té de section transversale.

Si Ton désigne par S la limite que la force S ne doit pas dépasser, on a

\l<^'^ d'où a = \l, [.]

Eu comparant cette inégalité à celle qui se déduit de la considération du glissement transversal , savoir :

on voit que si 5' est égale à '/', ce qui doit avoir Heu pour les corps à texture grenue, l'inégalité [i] est celle à la* quelle 11 faut avoir égard. Il en esta plus forte raison de même si la limite V de résistance au glissement transversal

(6.) est plus grande que la limite S\ comme dans le bois doui les fibres sont parallèles à la ligne moyenne du solide, car

sî Ton a ft^- -^ et l'^j;,^ on en conclut ft> - ■=,, et

Pinégalité [2] est à plus forte raison réalisée.

Dans le cas contraire, si 7' était <Ci^S\ il faudrait faire

71 . Profil en forme de double T. Les mêmes considéra^ tions s^appliquent aux pièc^es dont le profil-transversal a la forme d'un double T (fig- 20). On peut, pour simplifier, supposer que toutes les parties de ce profil ont de faibles épaisseurs en comparaison de la hauteur. Soient h cette hauteur, co Taire de chaci^ne des deux plates-bandes, h Tépaisseur du corps intermédiaire de la poutre.

En A" la pression par niètre quarré est R"=^hj^

et sur l'aire 0, elle est — ^ ; en B'^ sur w , elle est ^^^ , — î^; 2/ 2/

la résultante des forces exercées sur les deux bases de l'élément A''B^' est donc

A eu du Fdjr ,

— - ou ^- . /iO),

puisqu'on a toujours da== — Fdx. La résultante des forces subies par les deux bases A" M, B"N du corps intermédiaire est comme au numéro précédent

Fdx-j I vdi^= Fdx-j' -rr- Donc la résistance au glissement , suivant MN ^ est égale à la

(63) somme de ces doux forces , et Ton a

e,j Fàx/htù bh*\

D'ailleurs on a approximativement /== aw-r -+ />//\

4 '2 Donc

Oi-hyhh

Cette quantité diffère ordinairement peu de ^, tandis que

hh

F Toffort tranchant par mètre quarré T'est j-. , et, par

conséquent, notablement plus petit.

§ VTII. Solides d'égale résistance à fibre moyenne sensiblement rectiligne.

. 72. Profil transversal variable. Lorsqu'un solide offre une longueur assez grande relativement à ses dimensions transversales, mais que celles-ci varient au lieu d'être constantes, comme nous l'avons supposé au paragraphe précédent, si cette variation se fait par degrés peu sensibles, on peut concevoir la longueur divisée en plusieurs parties pour chacune desquelles la pièce diffère peu d'un prisme. Supposons que dans son état naturel elle ait une fibre moyenne rectiligne ou très-peu courbée dans un plan, que ses sections transversales soient symétriques par rapport à ce plan et qu'il en soit de même des forces extérieures. La fibre moyenne après la déformation produite par ces forces reste dans le naème plan appelé plan de flexion, et pour une seclion quelconque prise en un point M les relations [4] du n° 19 subsistent et prennent les formes [8] du n" Î<Î7, si les

(64) forces extérieures entre ce point et une extrémité ont une résultante parallèle à la section normale ou se réduisent à un couple.

73. Cas d'une force transversale unique. Largeur du profil constante. Considérons le cas particulier où la pièce de section 'variable et de faible courbure est k peu près horizontale, maintenue dans cette situation en A (fîg, 21) vers un de ses bouts par des appuis , et sollicitée à Tautre bout 1^ par une force verticale unique P, de sorte qu'on néglige ici le poids propre de la pièce. Si Ton fait LM = x , on a pour la tension longitudinaleit' au point A' dont (''est la distance verticale au-dessus de Taxe projeté en M,

équation dans laquelle / varie avec x. Supposons, par exemple, que les sections transversales sont toutes rectangulaires, de sorte que la largeur perpendiculaire au plau de la figure soit b constante, tandis que la hauteur A' A" est

variable et représentée par z. On a alors /= — et i^ = -i d ou - == -7;- et

On peut faire varier z de manière que If la plus grande tension correspondante à l'abscisse x soit constante dans toute rétendue AL. La pièce est alors dite solide d*égale résistance relativement à toute force agissant comme P A Textrémité L, Cela signifie seulement que la plus grande tension longitudinale par unité de surface est la même dans tontes les sections. Quant aux efforts tranchants leur intensité totale reste la même P dans une section quelconque ;

(65) maïs leur intensité rapportée à Tunité de surface augmente à mesure que l'aire de la section diminue et en raison inverse.

Pour que R' soit une constante, il faut que z* soit proportionnel à :r , et si la ligne moyenne AML est droite dans l'état naturel, la courbe A' LA'' dont l'ordonnée variable

est - z est une parabole du second degré dont le sommet

est L.

74. Hauteur constante. Si Ton voulait que dans la section transversale rectangulaire la hauteur z fût constante, pour conserver au solide la propriété d'égale tension longitudinale, il faudrait faire b proportionnel à x. La projection horizontale du corps serait triangulaire.

75. Sections semblables. Si la section transversale était circulaire d'un rayon variable z, on aurait I=^jTzz'* et i^' = z , d'où

\t.R' z'^=Px,

équation de la courbe méridienne du solide de révolution . si R' était constante.

En général si les sections transversales étaient des figures

semblables , le quotient -j serait proportionnel à k'* qui devrait être proportionnel k x pour que la tension R^ restât constante.

76. Remarque. L'expression de solide d'égale résistance^ appliquée à ceux dont nous venons de parler, n'est pas bien exacte, puisque la théorie précédente néglige les efforts tranchants qui rappqrlés à l'unité de surface prendraient

(66) une valeur très-considérable si .l'aire delà section transversale devenait très-petite , près du point d'application de la force P, comme le supposent les formules précédentes.

On arriverait h des résultats moins simples quant au calcul , mais bien plus applicables à la pratique si Ton s'imposait la condition de faire qu'aux points A' et A'' les plus éloignés de la ligne moyenne la résultante de la tension 7?' ou de la pression R" et de l'effort tranchant par unité de

surface — restât toujours de même valeur. Ainsi dans le ras

considéré aii n^ 70 il faudrait à l'équation /?' hz^=6 Rr , joindre

Celant une constante tandis que R' deviendrait variable.

p En éliminant R' cl eu posant pour abréger y^j, = A- qui serait une longueur, on aurait l'équation

qui pour je: = o donne z = k^ et lorsque x est assez grand pour que z* puisse être négligé aupi'ès de 36 jr', revient k z* = 6hxy équation d'une parabole.

77. Problème général. Les considérations qui précèdent peuvent être étendues à tout solide long et étroit soumis à des forces quelconques : on peut se proposer de détern^iner les dimensions transversales par la condition que la plus grande résultante des forces élastiques par unité de surface dans une section perpendiculaire à la fibre moyenne ait partout une même valeur donnée. On comprend que si les forces extérieures sont aussi données, le problème peut toujours se résoudre numériquement et par approximation.

§ IX. Prisme chargé parallèlement à sa ligne moyenne.

78. Prisme chargé suivant sa ligne moyenne. On suppose que la force N [Jlg. 22) agisse au centre de gravité B de la base supérieure du prisme, que sa direction passe au centre de gravité A de la base inférieure où se trouve un point d'appui fixe. Une force momentanée a fait subir au prisme une légère flexion et Ton demande sous quelle condition la force iV^pourra le maintenir fléchi et en équilibre.

Soit AB Taxe des x auquel Ay est perpendiculaire. Pour un point M quelconque de la courbe moyenne le moment fn est — Ny. On a donc

Pour en conclure l'inclinaison de la courbe, posons

et par conséquent

F{x) = Ji=i^; ^ ' éx dj

l'équation des moments devient

En intégrant et ajoutant une constante arbitraire nécessairement positive on a €«"==: iV (a* — j^*) , d'où en remet-

dr tant pour z son égale -^') on tire

ce qui s'intègre et donne

jp4 /il = arc f sin= - I ou /=asîn 0:4 /ii,

(68) sans nouvelle conslanle parce que x et j sont nuls simultanément. Il faut encore que j devienne nul quand on fait X = AB = / longueur du prisme. Ainsi

•• fi /'^\ J' ' 7. /^

sinl/i/— l=o, dou /i/-- = rt7r,

c'est-à-dire un nombre entier de detni-cîrconférences de rayon i . Donc

c'est-à-dire que, pour que la pièce se maintienne fléchie, il faut que N soit au moins tt^^.

Si dans la dernière expression de y on met pour i/ —

sa valeur -y- 9 Téquation de la courbe devient

(nitx\

de sorte que, suivant que n a les valeurs i, 2, 3, etc., j devient nul i fois , 2 fois, 3 fois,..., pour des valeurs de x qui ne dépassent pas / ; d'où Ton conclut que si le milieu de la pièce ne peut s'écarter de la direction AB, il faudra pour la maintenir fléchie moitié à droite et moitié à gauche, une force N quadruple de celle qui eût suffi pour la conserver fléchie au milieu si ce point eût été libre, car alors w= 2.

L'équation j=flsin (xi /— j dans laquelle a est le

maximum de y, fait voir que ce maximum n'est pas déterminé par l'analyse approximative précédente, et que lorsque la flexion se maintient, quoique faible, la pièce est en danger de rupture.

( 69 ) Exemples. Si la section droite du prisme est un quarré

dont le côlë est c, on a / = — c*, et par conséquent

N=. — n^n^ E j^y proportionnelle à la 4^ puissance du

côté c et en raison inverse du quarré de la longueur /. Si la section droite est un cercle dont le rayon est r, on a

79. Règles pratiques. La théorie précédente n'est pas propre à déterminer la charge que peut supporter un poteau ou une colonne, parce qu'un tel support n'est jamais posé sur un simple point d'appui sans résistance à la rotation, et que la base supérieure n'a pas non plus la liberté de tourner. que suppose cette théorie. D'ailleurs , supposé que la valeur de N qu'elle donne soit la limite que la charge ne doit pas dépasser pour que la pièce pressée debout ne fléchisse pas, cette condition peut être insuffisante, parce qu'il faut encore que le support ne s'écrase pas , condition qui n'entre pas dans l'analyse qui précède. Aussi la formule obtenue estelle évidemment impropre à faire connaître la limite de la charge des supports de petite hauteur, puisqu'elle donne N aussi grand qu'on veut en faisant / assez petit.

De nombreuses expériences ont conduit a des règles prar tiques pour déterminer les charges que peuvent supporter les poteaux ou colonnes en bois ou en fonte, selon leurs dimensions.

80. Supports en bois, chêne ou sapin. Rondelet, célèbre architecte , a cherché à déterminer par expérience la chaîne par unité de surface de la section qui produit la rupture d'un support à base rectangulaire. Les résultats qu'il a obtenus sont consignés dans le tableau suivant :

Bvpport de la hauteur / à la plus petite dimension transversale c.

If ombres proportionnels aux charges produisant la rupture

Les mêmes charges exprimées en kg par cm.q

Si Ton essaye de représenter par une courbe la loi qui lie les hauteurs aux charges en prenant les unes pour abscisses et les autres pour ordonnées, on reconnaît dans ces nombres une anomalie en ce que le a^ point, le 3*^ et le 4* sont en ligne droite, tandis que les cinq points autres que le 3* sont sur une courbe ayant une grande analogie avec un arc d'hyperbole; et l'on trouve, en effet, que la charge par centimètre q. qui produit la rupture peut être exprimée en fonction de rapport - par la formule empirique suivante :

Qui , si l'ou y fait - =

donne la charge en kg par cm.q . =

D'après Rondelet , il est prudent de ne charger d'une manière permanente les supports en bois que du septi^e du poids qui produirait la rupture.

M. le général Morin cite des piliers en bois dans lesquels le rapport - de la hauteur à Téquarrissage est 9, i et qui ont supporté sans altération une charge de 72^^, par cm.q. En faisant dans la formule précédente -=5,1, on

trouve 496, dont le septième n'est que de bien peu inférieur il celte charge.

( 7' ) Le même .auteur mentionne des expériences desquelles M. Hodgkinson a cru pouvoir conclure une formule qui, transformée en mesures françaises , revient à celle-ci :

/ étant la hauteur en décimètres d'un poteau à bois de chêne à base quarrée dont le côté serait c en centimètres , et i? la charge en kilog. produisant la rupture. Or les trois seules expériences citées par M. Morin justifient peu cette loi, comme on peut le voir dans le tableau suivant :