FOI OB LA TABLE OE8 HATIEBES

Rectification et supplément à Verraia.

Page 69, ligne 1 de la note : au lieu deB, lisez D,.

Page 32, ligne 16 : au lieu de composants, lisez composantes.

Page 45, ligne 5 de la note : au lieu de par 2n— 1 , lisez par — (2n— 1).

Page 106, ligne 4 en remontant : au lieu de les termes où entre &', lisez en ne considérant que les termes variables principaux qui dépendent du carré de la vitesse angulaire, ces termes

Page 131 , ligne 2 en remontant : au lieu de fioiifn", Uses nf ou /ul'^

DBS

liCHINES LOGOHOTITES EN lOUTEMEHT.

(Mémoire n» XXVI (*) de la Société des ingénieurs civils.)

1. Diverses causes concourent à la stabilité ou à Tinstabilité des machines locomotives en mouvement. Parmi ces causes , il en est qui tiennent particulièrement à la distribution des masses dont se composent les organes de ces machines. Je mo propose d'étudier les effets de ces dernières causes, et d*établir les conditions que doivent remplir les masses en mouvement pour que, sous ce point de vue, la stabilité des machines locomotives soit aussi grande que possible. Les conditions théoriques étant établies, il restera à examiner si elles sont toutes compatibles entre elles dans chaque système donné de locomotives, et de plus si, étant compatibles, elles sont toutes réalisables pratiquement. Nous reconnaîtrons que, dans cette dernière hypothèse, l'une des conditions établies présenterait de graves

(*) Ce Mémoire est nn résumé de diYers mémoires et notes présentés à la Société des ingénieurs civils vers la fin de 1850 et pendant Pannée 1851. Nous avons cherché à eo reprodoire Ici la suintante , en réduisant la partie analytique à ce qui est strictement nécessaire pour qu^un ingénieur eiercé aux opérations algébriques puisse , en effectuant celles que nous indiquerons' obtenir les résultats auxquels nous parviendrons successivement. Dans ces divers mémoires J'ai étudié d^abord les cas les plus simples, puis les cas plus compliqués. L'étendue qui m'est accordée ici me force à traiter le cas le plus général, et Ton verra s'en déduire avec la plus grande facilité les résultats qui se rapportent aux cas particuliers. Il est seulement à craindre que la complication qui en résulte nécessairement n'effraie quelques personnes ; toutefois nous devons prévenir qu'elles ne rencontreront pas de sérieuses difficultés, mais seulement des longueurs inévitables. T. V.

inconvénients, sinon des impossibilités, au point de vue du frottement et de la résistance de certaines pièces. Le manque de données sur la manière dont l'usé et autres détériorations se produisent sous Tinfluence des forces mises en jeu nous obligera à proposer un système d'expériences basées sur notre théorie , et sans lesquelles il est actuellement impossible d obtenir le degré de stabilité le plus satisfaisant et présentant le moins d'inconvénients à d'autres égards.

Quelques ingénieurs anglais et allemands, M. T^ollau entre autres, avaient déjà abordé cette question, lorsqu'on 1869, M. Lechatelier, ingénieur des mines » s'en est occupé de son côté. Les ingénieurs français doivent savoir gré à ce dernier des efforts persévérants qu'il a faits pour vulgariser chez nous l'emploi des contrepoids appliqués aux roues motrices des locomolives. Le succès obtenu dans les expériences faites aux chemins de fer d'Orléans et du Nord a bien vite décidé l'adoption des contrepoids sur nos lignes de chemins de fer.

A l'époque où M. Lecbatclicr publia son Mémoire sur la stabilité des machines locomotives, plusieurs membres de la Société des Ingénieurs civils^ qui n'avaient pas bien saisi la théorie exposée par .\LLechateIier et qui désiraient néanmoins en faire des applications éclairées , m'engagèrent vivement à m'occuper de cette question. Des travaux scientifiques d'un autre ordre m'ont long-temps empêché de le faire, et ce n'est que depuis un an environ que j'ai été en mesure de présenter à la Société le résultat de mes premières recherches. Préalablement j'en fis part à l'un des ingénieurs du chemin du Nord, et j'appris de lui , sans surprise , que les contrepoids n'avaient pas produit tous les bons effets qu'on en avait espérés. Les mouvements que l'on se proposait de détruire ont bien à peu près disparu^ mais les bandages des roues motrices s'usent encore en certains points de leur circonférence d'une manière fâcheuse. Pour faire disparaître les inconvénients de cet usé, qui atteint souvent une profondeur de 5 à 6 millimètres après un parcours de trente mille kilomètres environ , l'on est obligé de mettre les

roaes sar le tour, pour en enlever les portions de la circonférence qui n'ont pas été atteintes. Il en résulte des pertes de temps et de matière, en un mot des dépenses, que les ingénieurs doivent chercher à éviter ou tout an moins à diminuer.

J*ai dit que j'avais appris ces choses sans en être surpris : en effet, la théorie de M. I^iOchateHer, dont on Tait usage, n'indique pas toutes les conditions à remplir; il en est plusieurs que cet ingénieur ne parait pas avoir entrevues. Je suis porté à croire que, si ces conditions avaient été connues , et que Ton se fût efforcé de les réaliser en ce qu'elles offrent de réalisable, on aurait obtenu des mouvements plus réguliers encore, et l'usé local des bandages aurait été notablement diminué. Il ne pourrait disparaître à peu près entièrement qu'en satisfaisant à toutes les conditions que nous indiquons.

Cet usé local des bandages atteste, en même temps que la théorie l'indique, une variation dans l'action que les rails exercent sur les roues, et que réciproquement celles-ci transmettent aux rails. Si donc on pouvait parvenir à rendre ces actions constantes ou à peu près, on comprend toute l'importance que pourrait avoir co résultat relativement à l'établissement de la voie elle-même. Les charges sensiblement permanentes étant alors plus faibles que les charges maximum qui se produisent dans l'état actuel des locomotives, il serait possible de réduire la masse de fer employée dans la construction de la voie, sans que la stabilité en fût diminuée. Je suis parvenu effectivement h fixer les conditions théoriques relatives à l'invariabilité presque complète des actions qui se développent au contact des rails et des roues.

2. Parmi les conditions dont il s'agit, il en est qui peuvent s'obtenir très aisément par la voie synthétique. Ces conditions dérivent de la considération du mouvement du centre de gravité de la locomotive. (J'ai présenté cette déduction à la Société dans une communication en date du 7 mars 1851.)

Les autres conditions se tirent de la considération des mo«

méats; on les obtiendrait aussi par la même voie, mais moins aisément.

Il est extrêmement intéressant do former les expressions des inégalités qui se produisent dans les machines locomotives en mouvement; il devient bien facile ensuite de fixer les conditions pour que ces inégalités ('*') s'annulent. C'est de cette manière que j*ai procédé, en suivant la méthode analytique qui m*a paru être le moyen le plus sûr à employer dans cette recherche. En effet, il suffît d énoncer le problème pour que sa traduction algébrique s'ensuive immédiatement. Une fois les équations écrites, la série des opérations à effectuer se trouve indiquée très clairement.

Les principes de mécanique auxquels j*ai recours sont des plus élémentaires de la dynamique. Je ne crois pas inutile de les énoncer ici : i"" Le produit de la masse d'un élément matériel par Vaccélération de sa vitesse projetée sur une droite fixe est égal à la somme des projections sur la même droite des forces qui le sollicitent; 2» Les actions et réactions mutuelles de deux élé^ ments matériels sont égales et opposées. — Je fais pourtant usago do la notion des centres de gravité, des moments des forces et des moments d'inertie; mais il me suffit à la rigueur que Ton en comprenne les définitions.

Des deux principes que je viens d'énoncer, je déduis les transformations des théorèmes concernant le mouvement du centre de gravité et les aires, pour le cas du mouvement rela* tif que nous avons à envisager. Je n'ai pas cru devoir renvoyer aux traités élémentaires de mécanique, et transformer les énoncés qui se trouvent dans ces traités, attendu que la dé^

(*) Parmi les inégalités qni se développent durant le mouvement , il en est que négligent ordinairement les ingénieurs : ce sont celles qni dépendent de la variation de vitesse angulaire des manivelles. J^ai eu égard & ces inégalités^ ce qui était facile. De cette manière, on peut aborder la discussion de l'efTet des variaUons de vitesse angulaire et Tétude des modifications que l^on pourrait proposer de tenter dans la distribution de la vapeur pour atténuer cet effet.

monstraUon des énoncés transformés n'est pas pios longue que la transformation des énoncés primitifs. Du reste, les anciens élèves de TEcole centrale ne possèdent pour la plupart aucune notion sur le principe des aires ^ et il importe de leur faciliter rintelligence d'un théorème de mécanique sans lequel il est impossible de calculer l'intensité des forces qui se développent dans les machines pendant qu'elles fonctionnent, et, par suite i de résoudre les questions qui se rattachent h leur stabilité.

S. Les machines accouplées feront l'objet de la discussion générale } les résultats auxquels nous parviendrons s'appliqueront encore aux machines non couplées , puisqu'il suffira d'y faire abstraction de tout ce qu'entratne Taccouplement des roues. Les axes des cylindres y serout supposés inclinés par rapport à la voie : en faisant varier l'inclinaison convenablement , les formules s'appliqueront aussi bien aux cylindres placés à l'arrière qu'à ceux placés à l'avant de la locomotive.

Le problème étant assez compliqué , je supposerai l'axe de la voie rectiligne, et incliné à l'horizon d'un angle quelconque. En admettant que la solution qui serait relative à une courbure donnée de la voie ne coïncidât pas avec celle qui correspondrait à une voie rectiligne, on reconnaîtra qu'il serait, sinon impossible, du moins peu praticable de faire varier suivant la courbure de la voie la distribution des masses en mouvement. On voit donc qu'il faut s'en tenir à la solution correspondante à la voie rectiligne. Disons à l'avance que cette solution est indépendante de la pente de la voie, ce qu'il est facile de prévoir.

Nous serons obligés de supposer la voie rigoureusement rectiligne y c'est-à-dire que nous ferons abstraction de la flexion des rails. Pour avoir égard à cette flexion « il serait nécessaire de définir géométriquement la loi du contact d'un point donné de la circonférence des roues avec les rails , comme , par exemple I cela se pourrait si les roues étaient dentées et que le rail fût muni d'une crémaillère; encore faodrait-il que les nombres de dents de la roue et d'un rail fussent commensurables, et

qu'à chaque parcoara de la loeomoiive les mémeg dents fassent tonjoars en contact. La solution que l'on obtiendrait serait très probablement différente de celle qui convient au cas de rails inflexibles. Or, dans la pratique, tont s'oppose à la permanence d'une pareille loi des contacts : il ne parait pas, dès lors, qu'il y ait mieux h Taire que de négliger la flexion des rails.

Nous négligerons encore les effets de la flexion des ressorts de suspension. D'ailleurs, voulût-on y avoir égard, on commencerait par obtenir une première approximation en les négligeant, et Ton^se servirait des résultats obtenus pour procéder à une seconde approximation , dans laquelle on en tiendrait compte. En sorte que, si, sous ce rapport , notre travail n'est pas complet , il doit cependant être considéré comme un acheminement nécessaire à une solution plus complète.

De plus, nous admettrons que les diverses pièces qui entrent dans la composition des machines locomotives soient asse^ résistantes pour ne point être déformées sous l'influence des forces mutuelles ou des forces extérieures qui les sollicitent, et qu'elles ne puissent prendre d'autres mouvements relatifs que ceux qui répondent aux fonctions de chacune d elles , de manière que, pour ces pièces , on puisse faire usage des formules qui conviennent à des corps solides.

Les locomotives sont généralement formées par la réunion de deux machines séparées y alimentées par une chaudière et un foyer communs. Le plan de juxtaposition des deux machines se nomme plan méridien. Sauf les exceptions que nous allons indiquer, nous supposerons les deux machines symétriques quant à la distribution des masses par rapport au plan méridien, à cela près que l'angle des manivelles sera constamment droit. Il sera plus simple de considérer comme une seule pièce l'ensemble d'une roue et du contrepoids dont elle pourra être munie : ce sera une roue dont le centre de gravité n'est pas situé sur Taxe. Cet organe pourra, suivant les cas, être ou ne pas être assujetti à la loi de symétrie (les roues renies pourront faire exception à cette loi); maiS; cependant.

noDfl sapposecQns égales les masses des roues et contrepoids portées sur le même essieu, et aussi les distances de leurs centres de gravité au plan méridien.

Il sera également nécessaire, pour la simplification des cal« culs y d'admettre, comme cela a presque toujours lieu, que chacun des organes mobiles, ou chaque partie géométriquement distincte d'un de ces organes , sont formés de deux parties symétriques par rapport aux plans parallèles au plan mé^ lidien qui passent par leurs centres de gravité.

Nqus disons fortU UstineU d'un organe mobile parce que , par exemple I on ne pourrait pas, dans certaines équations « concentrer les masses d'une manivelle et de son bouton h leur centre commun de gravité, et qu'il Tant , dans ces équations ^ écrire un terme pour la manivelle et un autre pour le bouton t ces parties distinctes d'un même organe satisfont, en effet, individuellement à la condition de symétrie qui vient d'être énoncée. Toujours dans le même but de simplification , on admettra que les centres de gravité des organes mobiles sont, en outre, situés sur leurs axes de figure. Ainsi, le centre de gravité d'une manivelle sera situé sur une perpendiculaire commune à l'axe de l'essieu et du bouton ou manneton de la mani-r velle. Le centre de gravité de la bielle se trouvera sur la droite qui joint le centre du manneton et celui de la tête du piston. Le centre de gravité d'une bielle d'accouplement sera situé sur la perpendiculaire commune aux axes des boutons des manivelles d'accouplement , etc.

Les masses en mouvement qui produisent les effets les plus sensibles sont les bielles, manivelles, pistons et roues munies de eontrepoids. Les faibles masses , ou plus encore les faibles vitesses des organes de distribution de Teau et de la vapeur, rendent leurs effets moins importants. Aussi , dans la question qui nous occupe, néglige-t-on les mouvements de ces organes. Noos aurions cherché à en tenir compte si les modes de transmission du mouvement dans ces derniers systèmes ne présentaient pas des variétés extrêmement nombreuses. Il serait im-

possible d'établir dee formuleB générales qui s'appliqaassenl directement à ces divers systèmes* Pour cette raison, nons n'en avons pas tena plus de compte qae ne l'ont lait nos prédécesseurs* An reste ^ le calcul que noas exposerons, en ce qui concerne les biellesi manivelles, pistons et roues mnnies de contrepoids, pourra servir de guide à ceux qui voudraient avoir égard au mouvement de pièces autres que celles-ci. Nous rangerons donc les organes de distribution de l'eau et de la vapeur dans la catégorie des pièeeêfiœesj et disons de suite que, pour la symétrie des calculs, nous nommerons demi-en$embh des pièces fixes Tensemble de ces pièces qui sont situées d'un même côté du plan méridien.

Toutes ces restrictions ou conventions étant préalablement établies, nous allons dire actuellement comment nous envisageons le problème de la stabilité des macliines locomotives en mouvement.

DOMRftiS BT ÉHONCÉ DU PBOBLkVB.

4. Les données du problème consistent dans les conditions auxquelles doit être soumise toute locomotive, savoir, que les parties rèlativemetU fixes de cet appareil, hhdti^ par exemple, conservent un mouvement rectiUgne^ et, sinon uniforme, du moins aussi près de Vitre qv^U est possible de le faire.

Ces conditions , on le prévoit, impliquent certaines relations entre les forces extérieures qui sollicitent la locomotive et les vitesses et variations de vitesse des masses en mouvement. Théoriquement , on pourrait imaginer des dispositions de rails ou de guides présentant une résistance en quelque sorte illimitée, et telle que le mouvement rectiligne serait assuré dans tous les cas. Mais, dans la réalité, les rails ne doivent point être assujettis k présenter d*aus8i grandes résistances; les boudins des roues ne doivent point être utilisés d'une manière permanente pour éviter les déviations latérales. Les relations dont nous venons de parler, étant supposées formées, donneraient la mesure des réactions que doiyeot opposer tes rails dans tous