IS

les sens , et , s'ils étaient effectivement incapables de les produire, on en conclurait que le mouvement rectiligne ne saurait être maintenu. Par exemple, la limite de la composante horizontale des réactions dans le sens perpendiculaire à la voie serait le produit de la composante verticale par le coefficient du frottement de glissement \ les limites de la composante verticale seraient l'une zéro, Tautre égale à la résistance du rail à la rupture , etc.

Voici maintenant comment le problème b résoudre nous parait pouvoir être énoncé : Lu eonditiom relatives au motie^ ment reetiligne étant eeméeê remplies , trouver les eonditUms sous lesquelles les réactions gercées par les rails non seulement restent beaucoup au-iessous de leurs limites^ mais se maintiennent aussi constantes que possible , quelles que soient la situation des manivelles, la vitesse et les variations de la viteue.

La dernière partie de cet énoncé montre que la solution complète du problème devrait avoir pour conséquence de diminuer très notablement l'usé local des bandages , et de permettre la construction de la voie avec des rails moins résistants que ceux en usage aujourd'hui.

Les conditions qu'il s'agit de rechercber conduiraient , ainsi que nous le verrons , à l'usage des contrepoids, si la pratique n'en avait pas déjà montré la nécessité. Elles comprendront celles que l'on connaît aujourd'hui pour le cas des cylindres horizontaux , et qui sont relatives aux mouvements de tangage et do ipeet, et, de plus, les conditions relatives aux oscillations normales au plan de la voie , au mouvement de roulis et de ;alop, conditions que l'on n'avait pas fait connaître jusqu'ici.

L'exposé de ces diverses conditions est l'objet principal de ce Mémoire. Nous pensons pouvoir nous dispenser de rechercher les limites des réactions des rails s en effet, ces réactions, si les précédentes conditions étaient satisfaites , différeraient peu de celles qui auraient lieu au repos, sous l'influence du poids de la locomotive et de la force de traction transmise au convoi. Elles n'intéressent que la pose et la résistance des rails. Ajou-

ioni qoe> ûbob Tlqrpolhèse où ces conditions seraient rempKeB , Vétabliflseraent de la voie pourrait être pratiqué en faisant, à très peu près» al^straelion du monvemenl de la loeomotiVe , si ce n'est pour parer an chances de déraillement provenant de causes fortuites.

nnapis a AvruQinu pomi la solutiom nu raoulafB.

iS. Les termes du problème étant acceptés y voyons maintenant comment il convient de l'aborder. Notre énoncé conduit è des coaséquenoes que netts éxi)oserons tout d'abord. — Si les réactions des rails dans teos les sens doivent être constantes durant le mouvement , il suit nêcé^saireméhl que la somme des composantes de ces réaction^ « parallèles k une droite de direction quelconque I doit être constante , et que la somme des moments de ces réactions par rapport k un axe quelconque doit Tétre pareillement. Or la théorie des projections montre que, pour qu'il en soit ainsi , il faut et il soffit que ées conditions soient remplies à l'égard de trois axes rectangulaires. Nous sommes donc conduits à former les expressions des trois sommes des composantes parallèles k trois axes rectangulaires et des moments aotoar dé ces axes , puiîB k en tirer les conditions propres k annuler les parties variables de ces expressions.

Voici ttne autre manière d'envisager la question. Etant donnés les mouvements relatifs des organes de la machine et le mouvement rectiligne dé tiranslation du bâtt , on se propose de rendre constante chacuile des trois coihposantes des réactions développées par les rails. — - Les équations du mouvement du eentre de gravité de la locomotive, et celles des aires ou des moments, sont au nombre de six seulement; et les principes généraux de la mécanique ne peuvent point en fournir d*autres (^^

ta^

C) On doit remarquer qab l^équaUDo des forces vives servirait seulement à déterminer le mouvement dii sistàme, mouvement <t^e hons snppos(NM donné. Cest pou ceta qii6 BOUS B'bvims point à làlre osage da principe des foroes vives.

entre les compoeantes , lorsque , oomme ici « l'on fiiik abstrao* tion complète de l'élasticité du bftti et de oelle des ressorts de suspension. Cette dernière, du reste, disons-le en passant, n'aura d'eSet sensible que sur les composantes normales au plan de la voie. Or le nombre des composantes, ou plutM le nombre des groupes de composantes réductibles à une seule , est de beaucoup supérieur à six , et la détermination de leurs valeurs individuelles présente une difficulté théorique ana1o«gue à celle de la répartition des pressions exercées sur an plan horizontal par un corps solide eu repos qui s'appuie par plus* de trois points*

Toutefois , concevons que l'on joigne à ces six équations un nombre suffisant de relations arbitraires entre les composantes t on pourra tirer de renlëmble des équations hi valeur de chacune de ces composantes. Les relations arbitraires dont nous parlons dépendent en réalité de Télasticité des pièces de la lo^ comotive et de l'état accidentel de la voie ; sous ce dernier rap* port elles pourront varier d'une manière discontinue d'an instant à l'autre. Mais si on les considère comme absolument arbitraires, et que Ton observe que la solution cherchée doit rester la même quels que soient les changements que ces relations viennent à subir , la solution cherchée devra Convenir au cas où les relations arbitraires seraient indépendantes des variables qui entrent dans les expressions des trois sommes des composantes parallèles aux trob axes coordonnés et des sommes des moments autour de ces axes. Dans ce cas , les valeurs des composantes individuelles que l'on tirera de la résolution de Tensemble des équations ne contiendront pas de nouvelles fonctions de ces variables. Donc une condition nécessaire pour l'invariabilité des composantes individuelles des réactions exercées par les rails est l'anéantissement des termes variables qui entrent dans les seconds membres des équations du mouvement du centre de gravité et des moments , comme nous Tavons trouvé ci-dessus. Et cette condition suffira lorsque les relations arUtnures n'introduiront pas elles-mêmes de termes variables^

mais ces relationa sont étrangères à la constitution essentielle de la locomotive dans l'hypothèse de la rigidité absolue.

La discussion purement analytique à laquelle nous venons de nous livrer nous a obligés à employer le mot arbitrairej qui ne peut être remplacé par aucun autre dans le langage algébrique. Il convient de montrer que les relations arbitraires dont il est question répondent en réalité à des circonstances étrangères à la constitution géométrique de la locomotive. En effet 9 la répartition de la charge d'une locomotive sur chacune des six roues est produite par un serrage des ressorts de suspension qui reste arbitraire entre des limites assez étendues. D'un autre cété; il existe pour chaque roue une relation entre la composante horizontale perpendiculaire à la voie, la composante normale et le coefficienrae frottement, relation qui dépend de l'inclinaison de la tangente commune aux courbes de contact de la jante et du rail , et aussi du sens dans lequel le glissement sur cette tangente tend h se produire. Or cette relation est purement accidentelle.

Nous pourrions ajouter que , suivant l'inclinaison relative des tangentes de contact qui répondent à deux roues montées sur le même essieu, l'élasticité des essieux et des roues joue un certain rôle. Ces diverses circonstances accidentelles et celles qui se rattachent au serrage arbitraire des ressorts de suspension répondent doue bien à ce que nous avons désigné dans le langage algébrique sous la dénomination de relations arbitraireâ.

Enfin nous aurions pu couper court à cette discussion en disant que l'hypothèse de solidité absolue et de rails rectilignes ne nous fournit pas d'autres relations que les six équations du mouvement du centre de gravité et des moments.

nSS tu ÉQUATION.

0. D'après ce qui a été dit dans le numéro précédent, nous avons h former les expressions des sommes des réactions produites par les rails décomposées suivant trois axes rectangu*

laires et des momento de ces réactions par rapport an ménies axes. A cet effet, soient :

m, l'an des éléments matériels dont se compose la locomotive ;

^t y'f ^1 1^ coordonnées de m, rapportées à trois axes rectangulaires entraînés avec la locomotive : Taxe des «^ (fig. 1

étant nne droite située dans le plan méridien et passant par l'axe de Tessieu moteur principal ^ dont le cété positif est dirigé dans le sens positif du mouvement de translation \ l'axa des / étant horizontal, perpendiculaire au plan méridien, et coupant l'axe des af en un point quelconque, que nous particula* riserons suivant les cas (*) ; l'axe des ifj situé dans le plan mé«

horiiootai

svani

(*) Nous easayoïu d^embrsMer id la plus grands généralité ponlble. Afin qae nos formules s^appliqnent \ certaines machines employées an chemin da nord , noos admettrons qae le moavement ne soit pas commnnlqné dlreetement à la manhreUe des roaes motrices principales. Dans ces machines, Tone des extrémités de la bielle agit en un point JUT de la bielle d'accouplement, el le mouTement est communiqué aux roues motrices par un bouton B. Or tons les points des bieUes d^ecouplement décrivent des cercles égaux à celui qne décrit le point B; les centres de ces cercles sont d'alllenn dans le plan CC^ des axes des essieux moteurs : il s*ensuit que le point JT décrit un oerde do rayon OJIf aCB» et dont le centre est distant du centre C de la roue motrice du milieu d*une quantité OC^MB. C'est ce point que nous prendrons pour origine des coordonnées. Pour que nos formules s*appUqaent aux autres machinesy il sufllra d'y égaler à xéro la distance OC.

ridiMiy perpendifinlaireoient éax deux premiers, et passant p&r leur point dlntersection , aura son côté positif dirigé en bas.

D'autre part, nous rapporterons le mouvement absolu de m à trois axes rectangulaires fixes ; l'axe des x sera patullèl9'à l'axdde lavoiei son o6t6 positif étant dans le sens positif du mootement^ Taxe des y, perpendioulaire à l'axe de la voie et horizontal; Taxô des r, perpendiculaire au plan de la voiOt son c6té positif étant dirigé en bas.

Soient :

X , y, z, les coordonnées de m rapportées aux axes fixes ;

^•9 7o9 ^ot 1^8 coordonnées de Torigine des axes mobiles rapportées aux axes fixes.

Le bâti de la machine ne devant posséder qu'un mouvement de translation , il s'ensuit que les aies mobiles doivent rester constamment parallèles aux axes fixes. Les conditions de ce parallélisme sont exprimées par les équations

Les conditions pour que l'origine des coordonnées mobiles décrive: une droite parallèle k la voie sont s

y,=con8t., z,=consté

Enfiaria condiGbn dé rôniToirmifé dii fflô'd^eisentde^transtBtion serait -^ssconst. ou --|^=o, dt désignant Télément dif-*

férentiel do Umfpêi Cette dernière condition est difficile ^ sinon iinpossible h remplir exactement. L'équation dés forces vives mohtre eh etfet que la variation de la vitesse de translation dépend du mode de distribution de la vapeur, des mouvements teriioaux tant absolus que relatifs , du degré de tension des i^sorts qui transmettent l'effort de traction aux wagons, etc. Nous aurons égard aux conditions exprimées par les équations (1) et (3) , mais nous ne nous astreindrons pas à satisfaire h la dernière condition. Noos regarderons donc la qnan-

titè -r^ comme n'étant pa» nulle, élnoii9 nous bornerons à

disposer autant que possible des coeflBcients de cette quantité , qui ne peut être constante, Aiàis seulement périodique après un certain temps de marche , de manière que les termes des équations du mouvement du centre de gravité et des moinenta qui en sont affectés soient' toujours très petits oii même nuls. La discussion dé Téqûàtion des forces vives pourrait être ensuite appliquée à la recherche des conditions que doit remplir l^ap- (Pareil de distribution de là vapeur pour rendre minimum les

plus grandes valeurs absolues de -^^ lorsque la vitesse

moyenne que Ton veut maintenir eftt atteinte^

ÉQUÂTIOaS DU HOUTIBÉHT DU GDrYHl Dg fiBAVITÊ

OU DH TtAHSLATIOlTi

7. Soient X,TyZ y les sommes des composantes parallèles aux axes des jt, y , z, des forées tant mutuelles qu'extérieures qui sollicitent la masse élémentaire m. Le premier principe fondamental de la dynamique i rappelé au n* 2 , donne

(Px

et, en vertu des équations (1),

^= » -gîT +*" ^* ^*)

Si Ton fait la somme 2 de semblables équations relatives h toutes les masses m dont se compose la locomotive, et que Ton

(*} Poar focHiter la lecture de ce Mémoire aux anciens élèves do llkole centrale qolne connaîtraient pas les dérivées différéntleiles d^ordres sapérieurs an premier» noos devons avertir que la nbtatioii -^ n^est autre choie

que ——ou «jj* ^ *°*Pl^7^^ i* BolstloQ do IL BéUangsr.

so

observe que -^ est le même poar tontes ces masses , il vient

On doit remarquer qu'en vertu du 2* principe fondamental , rappelé au n<» 2 ^ celui de l'égalité entre l'action et la réaction , les composantes des forces mutuelles se détruisent deux ii deux comme égales et opposées dans le premier membre de l'équa* tion (4) , en sorte que la somme 2X ne contient plus que les composantes des actions extérieures à la locomotive.

La considération du mouvement projeté sur les axes des y et des X fournirait deux équations pareilles ; seulement, on observera que les équations (2) donnent

On aura donc simplement

Nous allons faire subir aux équations (&) et (6) quelques faciles transformations.

Soit if la vitesse de translation de l'origine des coordonnées mobiles y on aura

Soient d'autre part :

« l'angle de la manivelle située du cété des y positifs avec l'axe du piston, et mesuré du côté des x positifs vers le côté positif de l'sLxe des x ;

R le rayon des roues motrices.

En supposant que ces roues ne glissent pas, on aura

x^:zconst«-|-«R9

d'ofi

Actuellement 9 menons, par le centre de gravité âe chacun des organes de la locomotive, trois axes rectangulaires parallèles aux axes fixes ou mobiles.

Soient : Ç, «^ (, les coordonnées de la masse m par rapport à ces axes }

H la masse entière de l'organe considéré;

â?, y, JT , les coordonnées du centre de gravité de H par rapport aux axes mobiles liés au bâti de la locomotive : on aura

a/=fl?+Ç, 1

y'zzzy+n, j (9)

et, relativement au même organe,

2iii=:M, 2m;=0y 2mi9=:o* 2fln(S=o, (10)

en vertu de ladéfinition du centre de gravité. Il s'ensuit, en ne considérant qu'un seul organe,

2my'=My, j (il)

On observera encore que, tous les points de la machine étant assujettis k se mouvoir dans des plans parallèles an plan ieBwZf les coordonnées yfy y et «, sont des constantes, relativement au temps, pour toutes les masses m; d'où il suit généralement

(Ceci ne serait pas toujours vrai pour les molécules d'eau ou de vapeur qui peuvent être entraînées dans des trajectoires non situées dans des plans verticaux, ou non symétriques, à un instant donné, par rapport au plan méridien ; mais, vu leurs faibles masses, nous ferons abstraction du mouvement de l'eau et de la vapeur.)

Enfin , nous dislingaerons dans les premiers membres dos équations (&) el (6) les termes qui répondent au poids des pièces.

Soi^t X 9 le poids de l'unité de masse }

f' la pan^e de Ift voie, qpe» pour fixer les idées , nous supposerons positive dans le cas du mouvement diraot descendi^ity el pégat^TO dans Taiiyt^e cw', les compQ3aptes du poids de 91 suivant les trois axes seront respectivement

mg^g'i q* m^cQs^'.

La ioime.0pi>ère ide I9 loço(po^iye poii^rra être désignée par

En convenant que les sommes 2X y 2T, 2Z , ne comprendront pas les composantes des poids des pièces , on voit qu'il faudra remplacer la première et la dernière par IK.'\-gsiTïg'IM et 2Z+9cos/2M.

En verlu de ce qui vient d*étre établi ou convenu^ les équations (4) et (6) deviendront

2ÎL=- jsiDj'2M+^2M+2M^ ,

2Y=o, ^(IS)

IZ =— yco89'2BI+2M^.

On eût pu po0er imiDédiatemeiU «os équations en i&voqnant Vm des prindpee élémentures de la théorie des forces apparwtes daiM l^.mpuveniento relatib; ipais^nous avions besoin de poser phistouts de» équations qui nous ont semri à les établir.

ÉQUATIORS DM MGMESnS OU VKS AIIBS.

8. Reprenons Téquation (ft) ot joigncms^y une équation pareille relativement à l'axe des y :

MaUipIions la première de ces équations par y' ei la seconde par â/y pais retranchons le premier résultat de second , il viendra

Si nous supposons formées autant d*équations pareilles qu'il y a de masses m dans le système et que nous les ajoutions , nous aurons, en ayant égard aux facteurs communs y

D'autres combinaisons du même genre, ou l'emploi des permutations tournantes^ donneront

Les premiers membre des équations (14) et (15) sont les sommes des moments des forces qui sollicitent les diverses masses m par rapport aux axes mobiles des ;» , â? et y. Il est important de remarquer que les forces mutuelles disparaissent ici comme dans les équations de translation. En effiçt ces forces donnent lieu à des moments égaux et de sens contraire deux à deux y qui se détruisent dans les sommes. De cette manière on ne doit avoir égard qu'aux moments des forces extérieures. Ainsi, les équations des moments, comme celles de translation, se trouvent être indépendantes explicitement des forces intérieures, qui répondent ici à la tension de la vapeur, aux frottements d'axe j etc.

On pourra remarquer que les équations des moments relatives à des axes mobiles assujettis à rester constamment parallèles à des directions données ne diffèrent des équations relatives à des axes fixes de mêmes directions que par la présence de à deux premiers termes des seconds membres des équations (14) et (15). Ces termes peuvent disparaître dans

deux circonstances dittioctes: 1* lorsque l'on a 2ma/:=o, Snqi'^o, 2mx'=o, c'est-i-dire lorsque l'origine des coordonnées mobiles coïndde avec le centre <te gravité do système; 2» lorsque Ion a ■5d"=**>'5é'~ ' "SP""**' c'est-fc-diro dans les cas où le mouvement de l'origine des axes mobiles est uniforme-

Les derniers termes des seconds membres, et qui les forment & eux aeals dans les deux cas (jue nous venons de mentionner, sont susceptibles d'une doable interprétation que nons allons présenter ici. Considérons par exemple le dernier terme de la dernière équation des moments ; ce terme poarra s'écrire t

\ dt dtj,

ce dont on s'assurera en effectuant la dilTérentiation indiquée ici. On peut encore l'écrire comme il suit :

daf ,

./ daf , dx'.\

Or m ^ est la quantité de mouvement de m projetée sur

l'axe des», et i»~j-x' est le moment par rapport fa l'axe des y de cette quantité de mouvement projetée, moment dont le sens est celui de z vers x. Le terme suivant, en ayant égard an signe dont il est précédé, est le moment de la quantité de mouvement projetée sur l'axe des z par rapport è l'axe des y et de môme sens que le précédent. La somme des deux termes est donc égale an moment de la quantité de mouvement de m par rapport k l'axe des y. Observons maintenant que les moments des forces contenus dans le premier membre de la seconde équation (15) sont relatifs à l'axe des y et de même sens que les précédents. Il en résulte que la même équation, dans les cas oli le second membre se réduit k son dernier terme, peut s'énoncer ainsi :

Là êomme des mamenti des forces tœtérieureê par rapport à un axe donné est égale à la différentielle de la somme des moments des quantités de mouvement par rapport au même axe, divisée par la différentielle du temps.

Cet énoncé justifie la dénomination de théorème des moments sous laquelle on désigne Téquation que nous venons de considérer.

Voici la seconde interprétation, qui nous sera utile dans un instant.

Soient (fig. 2) : / la projection de la distance de m k Tori-

iFig. 2.)

ginedes coordonnées, ou le rayon vecteur de m projeté sur te plan des xxj

ftM'angle de cette projection avec l'axe des x compté de ja; vers X ou dans le sens adopté des moments positifs : on aura

^=-/sma'+C0Sa'^, =+/C0S«c'^+S.nc.'.^;

il 8*ensuit, toutes réductions faites ,

On a donc

,d^ ,d^ .deJ dt dt^ dt'

Maift p'^dùi' est la double de l'aire dèoriie par la projection da rayon veetenr pendant l'inttakit dt^ dans le sens dos momenla

da'

positifs ; f^'*-y7 ^t lo doubla de Tàii^ décrite en projeetioii par

unité de temps h l'instant considéré: donc le terme en question* est égal à la différentielle de la somme des produits de chaque masse et de l'aire décrite pendant l'unité de temps par le rayon vecteur projeté , divisée par la différentielle du temps.

D'un autre côté , l'un des moments qui entrent dans le 1*' membre de la 2* éq. (1 5) est égal à la force projetée sur le plan des 2Xy multipliée par la perpendiculaire abaissée de l'origine des coordonnées sur la direction de la force projetée ; en représentant cette projection par une ligne, le moment de la force sera représenté par le double de l'aire d'un triangle ayant son sommet à l'origine des coordonnées et ayant pour base la projection de la force 5 cette aire devant être prise positivement ou négativement, suivant le sens du moment. Lors donc que les seconds membres de nos équations peuvent être réduits à leurs derniers termes , on énonce ces équations de la manière suivante s

La êomme des aire$ dêê triangles fui ont ^our sommet com^ mun l'origine des coordonnéesy et pour basée les projections des forces extérieures sur un plan donnée est égale à la différentielle de la somme des produits de chaque masse et de l'aire décrite pendant Funité de temps par le rayon vecteur projeté sur le même plan, divisée par la différentielle du temps.

Cet énoncé explique la dénomination de principe dcj aires.

Ajoutons que les équations des moments ou des aires s'appellent encore équations du mouvement rotatoire.

On n'aura pas besoin de se préoccuper de retenir les énoncés précédents, attendu que nous ne ferons usage que des équations elles-mêmes.

8. Nous allons opérer dans les équations (i&) et (15) les réductions qui résultent immédiatement des relations (2) , (7)

«t (12) ; il Tiendra ainsi

?(Yx'-X»')=-^2my'-2my'^ ^

«Pu'

Une conséquence de la symétrie admise an n* S , et de ce que nous négligeons le mouvement des molécules d*eau et de vapeur, est que l'on a, relativement à la masse entière de la locomotive»

2my' = o. (17)

En vertu des équations (9) et suivantes , le produit / -^pdevient

d'où, en multipliant par m et faisant la somme étendue à Tun des organes de la machine,

2»»y -5ir=y^2m+y2m-5p+^2m«+2miîgp, ou bion^ àcausede2ffi=U, 2m^=:o, 2mTQ=^o^

Le ternie Zmq ^ peut être regardé oomme nul dans les locomotives. Bn effet, il e9t nul â*abofd pour les pièces fixes, quant aux pièces mobiles o\kpartie$ dUtinctei d'un organe mobile, dont nous avons parlé au n* 3, ces pièces sont symétriques par rapport h un plan vertical passant par leur centre de gravité, en sorte qu'il existe toujours deux masses m égales