PROBLÈME III
65. Trouver la valeur d'une annuité sur un nombre quelconque de têtes , celte annuité n'étant payable que tant qu'un nombre déterminé d'entre elles, « , subsisteront ensemble.
SOLUTION
Soient A, B, C^. .. . les têtes sur lesquelles repose l'annuité, et désignons, comme au n"* 25, les probabilités que chacune des têtes a de subsister i , 2 , 5, . . . . ans. Maintenant, si nous restreignons celte question à celle d'une annuité sur trois têtes, payable tant qu'il en existera deux, il est évident que la chance qu'on a de recevoir l'annuité une année quelconque dépendra de l'un de ces quatre événemens différens: 1°. ou les trois têtes subsisteront ensemble à la fin de cette année, événement dont la probabilité est,
pour la premiere anuee, — j- ; 2". ou A et i> seront
alors vivans et C mort, événement dont la proba-
bihte est, pour la premiere année, — r- X ( 1 );
5". ou A et C seront alors vivans et B mort, événement dont la probabilité est, pour la même année,
^^ X ( I — T-^ ; 4^. ou enfin B et C seront alors
vivans et A mort, événement dont îa probabilité est,
pour la même année, 7-^x(i — --Y Donc la somme
de ces quatre chances, ou — . 1 — ^-X (i ) +
—r—t étant multipliée par (i + f)""' donnera la
valeur actuelle de la rente de la première année , ou l'espérance qu'on a de recevoir cette somme , pajable si deux quelconques des têtes proposées survivent à la première année. En raisonnant de la même ma-
mere, on trouvera que — - — — -, -, — ,
^ ab ac bc abc
multiplié par (j — f)""', donnera la valeur actuelle de la rente de la seconde année. De même encore, Cl à t a c , /j c ia b c i.* iw / . n 3
-^ + ^c + -AT - — j~,«'«ltipliepar(.+f)
donnera la valeur actuelle de la rente de la troisième année , et ainsi de suite pour toutes les années suivantes, jusqu'aux dernières limites de la viie humaine, et la somme de toutes ces espérances, ou la
série
a o . a c .oc a o c \ .
sera la valeur totale actuelle de l'annuité demandée.
64. Mais si nous ajoutons séparément, comme dans le problème précédent, les quantités de chaque colonne verticale, et que nous fassions usage des caractères du problème I , corollaire i , Texpression ci-dessus deviendra JB + JC + BC— 2JBC, d'où l'on tire la règle suivante pour résoudre la question qui nous occupe.
De la somme des valeurs d'une annuité sur les trois groupes de deux têtes provenant de la combinaison des têtes proposées , retranchez la double valeur d'une annuité sur le groupe des trois têtes ; le reste sera la valeur d'une annuité payable tant que deux de ces têtes subsisteront ensemble.
Voyez ^ pour l'application de ce corollaire , la question X du chapitre XII.
6l5. En raisonnant de la même manière, on trouvera la valeur d'une annuité sur quatre têtes, payable tant qu'il en subsistera deuœ ou trois (les autres questions qui s'appliquent à ces têtes étant déjà résolues àms les deux problèmes précédens) , et en général la valeur d'une annuité sur un nombre quel conque de têtes , payable seulement tant qu'il en sub-
( 48 ) sistera un nombre déterniino. Toutefois , comme il est bien rare qu'il s agisse, dans la pratique , de plus (le trois têtes, je me contenterai d'indiquer la formule générale qui comprend tous les cas possibles de ces trois problèmes , sans développer les raisonnemens qui y conduisent. Désignons donc la somme des valeurs d'une annuité sur tous les groupes de têtes provenant de la combinaison n h. n des têtes proposées, par S, (7z+ i) à (w+i), par S', («+2) à (/2 + 2) par S", et ainsi de suite. Alors, la valeur d'une annuité sur un nombre quelconque de têtes, payable aussi long-temps qu'il en subsistera un nombre déterminé n , sera représentée par
S.„S'+ -" . ^-!à-A S" " . (!L-hl) . kLpl s"'+ etc.
Corollaire i.
66. Si l'annuité n'est pas payable pendant toute l'existence des têtes proposées, mais est ou différée ou temporaire, nous devrons raisonner comme nous l'avons fait au problème II, corollaires 2 et 4? et nous trouverons que la valeur d\me annuité différée, payable tant que deux de trois têtes données subsisteront , sera exprimée par (JBy + {JCy + (BC/ — 2{ABCy; donc si, dans la formule du n° 64, nous substituons aux valeurs d'une annuité pour toute l'existence des têtes proposées , celles d'une annuité différée sur les mêmes têtes, nous obtiendrons la valeur de l'annuité différée avec la circonstance qui fait l'objet de ce problème.
(49) Et cette valeur, retranchée de celle d'une semblable annuité pour toute la durée de l'existence des têtes proposées, donnera la valeur d'une semblable annuité temporaire sur deux quelconques des trois têtes données.
Corollaire i.
67. Si cette annuité diiïérée dépend de Texistence simultanée de toutes les têtes proposées à l'expiration du délai dont elle est différée, sa valeur sera égale à la valeur d'une annuité semblable sur un même nombre de têtes plus âgées chacune que les têtes proposées d'un nombre d'années égal à ce délai , multipliée par l'espérance que le groupe de ces têtes a de recevoir I fr. à l'expiration de ce délai; et l'on doit distinguer soigneusement cette question de celle qu'a résolue la première partie du corollaire précédent.
