etc

seia la valeur totale actuelle de l'annuité demandée.

58. Donc (si nous appelons AA, AAA , etc., la valeur d'une annuitësur tin groupe de deux, trois, etc., têtes égales) la valeur d'une annuité payable jusqu'au dernier décès d'un nombre quelconque de têtes, toutes de l'àge de A , sera

rCA - î^i^-^ A A + 'l^^Jl^J^^ AAA - etc.

S'il n'y avait que i têtes, cette formule deviendrait 2. A — AA\ s'il yen avait trois, elle serait 5^ — '^AA + AAA ; quatre, 4 ^ — - 6 A A + 4 AAA — A AAA ; et ainsi de suite.

Voyez , pour l'application de ce corollaire, la question YllI du chapitre XII.

Corollaire 2.

59. Si nous voulons déterminer la valeur d'une annuité pa} able jusqu'au dernier décès, et différée du délai n, il sera évident (d'après ce qui a été dit au prob. I, cor. 5), que les diverses séries verticales de la page 4i ne doivent commencerqu'au(7z4-i)^ terme, et continuer alors jusqu'aux dernières limites de la tie humaine. Donc la valeur de l'annuité différée demandée sera égale à A'+B'^ C— i^ABf— {ACf — (j56'y+(y^^ 6"/, expression que je désignerai parZ"*. Or si nous substituons à chacune de ces quantités Sa valeur correspondante d'après les principes du n*'44, la formule que nous désignons par L^ deviendra

expression plus commode pour l'usage, et dont oi^i peut déduire la règle suivante.

60. Substituez dans la règle générale du problème les valeurs des annuités différées sur une ou plusieurs têtes, aux valeurs des annuités payables durant toute l'existence des mêmes têtes, et opérez comme la règle l'indique avec ces valeurs substituées; le résultat sera l'annuité demandée.

Voyez, p)our l'application de ce corollaire, la question XI du chapitre XIL

Corollaire 3.

61 . Si la jouissance d'une annuité , payable jusqu'au dernier décès d'un nombre quelconque de têtes, et différée d'un nombre d'années /z, dépend encore de l'existeiïce simultanée de toutes les têtes à l'expiratioa

de ces n années, sa valeur sera égale à L"" x -y^X i +/)"" " ;

c'est-à-dire égale à la valeur d'une annuité payable jusqu'au dernier décès d'un même nombre de têtes plus âgées chacune de n années que les têtes proposées , multipliée par l'espérance que le groupe àe ces têtes a de recevoir i fr. à l'expiration de ce délai; et cette question doit être soigneusement distinguée de celle qui a fait l'objet du dernier corollaire.

Voyez, pour l'application de ce corollaire, le scolie de la question XI, au chapitre XTI.

Corollaire ^.

62. Après avoir trouvé, au moyen du second corollaire de ce problème , la valeur d'une annuité

(45) <lifl*crée, payable jusqu'au dernier décès d'un nombre quelconque de teres, nous pourrons aisément déterminer la valeur d'une annuité temporaire dans les mêmes circonstances; il suffira de prendre la différence entre cette annuité différée, et la valeur d'une semblable annuité immédiate trouvée par la formule de ce problème. Ainsi la formule L — L^ désignera dans tousles cas la valeur de cette annuité temporaire ; nousavonsdéjà trouvé une formule semblable aun''4î>, au sujet des groupes de têtes.

Voyez , pour l'application de ce corollaire , la question XII du chapitre XII.