PROBLÈME IV

69. Trouver la valeur d'une annuité reposant sur un groupe quelconque de têtes ABC. . . ., après la dissolution d'un autre groupe de têtes PQR ....

SOLUTION

Désignons, comme dans le n° 24, les probabilités que le groupe ABC. ... a de subsister i^ 2, 5 . . , . ans.

abc abc abc ^ , , i*!.,/ ,

par — T— > — T — > — T — , et les probabilités que le

groupe PQR .... a de subsister i , 2 , 5 . . . . ans ,

par — — , ^-^^ — , ^— ^ — , etc. Or la chance que le

F^^ P^^ P^^ groupe ABC a de recevoir l'annuité une année quelconque, dépendra de son existence à la fin de cette année, et de la dissolution du groupe PQR avant la fin de cette même année. La probabilité de cet événement est, pour la première année, ~— (1 — ^-^I. j;

qui, multiplié par (i 4- f)~S donnera la valeur actuelle de la rente de la première année. On trouvera de

même que — , — {\ — ^—^ — J multiplie par (i+p)"~* désignera la valeur actuelle de la rente de la seconde

année, et -^-(^i— ^-j, multiplié par (i+p)-^,

celle de la rente de la troisième année; et ainsi de suite pour toutes les années suivantes, jusqu'aux dernières limites de la vie humaine; et la somme de tous ces termes, ou la série

fdh'c ab'cp'qr'

(i -f- p) \ <^bc abcpqr J

abc a b c p q r \

abc abcpqr J

I ' /a'"b"'c'' d''b"'c"p"'q"'r^"\ (ï "h f) \ ^^^ abcpqr )

+ etc.

sera la valeur totale actuelle de l'annuité demandéç. Mais la somme des colonnes verticales est évidemment égale à ABC ~ ABCPQR,

70. D'où il suit que si l'on retranche la valeur d'une annuité sur un groupe composé de toutes les têtes proposées, de la valeur d'une annuité sur le groupe des têtes en reversion: le reste sera la valeur de l'annuité en reversion demandée.